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专题28 相互独立、频率及概率-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题28 相互独立、频率及概率-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册），文件包含专题28相互独立频率及概率解析版docx、专题28相互独立频率及概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
专题28 相互独立、频率及概率
一、相互独立事件
1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的
（2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立.
二、相互独立事件的概率计算
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
概率
A，B同时发生
P(A)P(B)
A，B都不发生
P()P()
A，B恰有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
三．频率稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且.
四、频率与概率的关系
1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即
考点一
相互独立事件的辨析
1.相互独立事件的判断
2.相互独立事件与互斥事件
考点二
相互独立事件的概率
考点三
辨析概率与频率
考点四
利用频率估算概率
考点五
游戏的公平性
考点一 相互独立事件的判断
1.相互独立事件的判断
例1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（ ）
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】根据事件相互独立的定义判断.
【详解】由题意知，
，所以C与D不相互独立，
，所以A与D不相互独立，
，所以B与D不相互独立，
，所以A与C相互独立，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.
例2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，
事件丙的概率，事件丁的概率，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；
对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.
故选：A
例3．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．甲､乙两运动员各射击一次，事件“甲射中10环”，事件“乙射中9环”
B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”
D．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
【答案】D
【分析】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于选项A：甲、乙两运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一次的结果与第二次的结果互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件与事件不为相互独立事件；
故选：D.
例4．（2022秋·高一单元测试）若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与 B．A与 C．与B D．与
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的性质，逐一判断即可得到本题答案.
【详解】因为与是相互独立事件，所以与，与，与都是相互独立事件，
而是的对立事件，与是互斥事件.
故选：A
2.相互独立事件与互斥事件
例5．（2023·山东聊城·统考模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
例6．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ）
A． B．
C．事件与是互斥事件 D．事件与是相互独立事件
【答案】AD
【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.
【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，
故选：.
例7．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）（多选）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的正误.
【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件A与事件C互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；
对C，，所以C正确；
对D，，所以D正确；
故选：ACD．
例8．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
【答案】ACD
【分析】先画出树状图，由，不可能同时发生可判断A；求得，，，的值，可判断C、D；利用可判断B．
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；
，，，，故C正确，D正确；
因为，，则，则事件与事件不独立，故B错误，
故选：ACD．
例9．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）“新高考”后，普通高考考试科目构成实“3＋2＋1”模式．“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选两门科目学习，设A表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，B表示事件“甲乙两人所选科目完全不同”，C表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，D表示事件“甲乙两人均选择生物”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．B与D为互斥事件
C．C与D相互独立 D．A与D相互独立
【答案】BD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断，再利用概率的计算公式求出即可判断.
【详解】甲、乙两名同学所选科目共有“所选科目完全不同”，“所选科目恰有一门相同”．“所选科目完全相同”这三种情况，即A与B为互斥事件但不对立，选项错误；
B与D为互斥事件，选项B正确；
易知，，，
，，
，选项错误；选项正确．
故选：．
考点二 相互独立事件的概率
例10．（河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A．0.12 B．0.16 C．0.2 D．0.32
【答案】A
【分析】利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
【详解】由题意，该厂生产的口罩中任选一个，选到绑带式口罩的概率为.
故选：A
例11．（2022春·浙江杭州·高二校考期中）假设，，且与相互独立，则（ ）
A．0.12 B．0.6 C．0.4 D．0.08
【答案】D
【分析】代入相互独立事件的概率计算公式即可求解.
【详解】由题意知，与相互独立，
则，
故选：D.
例12．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得 1分；如果两人都没投中，则小组得 0分，甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响．则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为______．
【答案】
【分析】利用独立事件概率计算公式以及分类讨论的思想解决本题.
【详解】该小组在两轮活动中得分之和为4分的概率为
，
该小组在两轮活动中得分之和为6分的概率为，
所以该小组在两轮活动中得分之和不低于4分的概率为．
故答案为：
例13．（2023春·天津河东·高二统考期中）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（ ）
A．2% B．30% C．72% D．26%
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，
任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.
故选：A
例14．（2023春·山西太原·高二统考期中）某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.
【答案】0.62/
【分析】分别求出选中一级射手．二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率，再求和即可
【详解】射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.
则任选一名射手能够通过选拔进入比赛的概率.
故答案为：0.62
考点三 辨析概率与频率
例15．（2021秋·高一课时练习）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
例16．（2022秋·高一单元测试）某厂产品的合格率为98%，估算该厂件产品中合格品的件数可能为（ ）.
A．160件 B．7840件 C．7998件 D．7800件
【答案】B
【分析】由总数乘以合格率即可得出合格品的件数.
【详解】由合格率的含义可知， 件产品中可能含有合格品（件）.
故选：B.
例17．（2022·高一单元测试）下列命题正确的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．随机事件发生的概率可用随机试验中随机事件发生的频率来估计
D．古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点
【答案】D
【分析】根据概率、古典概型、随机事件的概念进行理解判断.
【详解】一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，不一定有10件是次品，故A错误；
抛硬币的试验，出现正面的概率是，故B错误；
随机试验中，随机事件重复的次数越多，随机事件发生的频率会趋于稳定，故C错误；
古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点，故D正确.
故选：D．
例18．（2023春·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由频率和概率的概念与意义进行辨析即可.
【详解】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；
对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；
对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.
综上所述，真命题个数为个.
故选：A.
例19．（2021秋·高一单元测试）（多选）若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着的逐渐增加，下列说法不正确的是（ ）
A．与某个常数相等
B．与某个常数的差逐渐减小
C．与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．在某个常数附近摆动并趋于稳定
【答案】ABC
【分析】由概率的定义知，事件发生的频率在概率附近摆动，并趋于稳定．
【详解】随着的增大，频率会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，故A、B、C错误，D正确，
故选：ABC．
考点四 利用频率估算概率
例20．（2023·全国·高一专题练习）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）：
542
548
549
551
549
550
551
555
550
557
若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【分析】抽取10瓶水中净含量在之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频率估计概率，即可求解.
【详解】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为，
由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为.
故选：D
例21．（2021春·山西晋中·高三统考阶段练习）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数
3
6
25
38
18
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【详解】命题意图 本题考查用样本频率估计总体的概率．
解析 由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
例22．（2022秋·福建泉州·高二校考开学考试）甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
【答案】(1)0.65
(2)0.648
【分析】（1）由频率可得到概率估计值；
（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、三次比赛胜利，第二次比赛失败.
【详解】（1）设事件为 “甲获胜”，
计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次：
对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，
用频率估计事件的概率近似值为；
（2）设事件为第局“甲获胜”，则，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
∴.
例23．（2021秋·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.
【答案】(1)0.2
(2)0.3
【分析】（1）由表格可知同时购买乙和丙的顾客的人数，即可解决；
（2）由表格可知同时购买3种商品的顾客人数，即可解决.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.
例24．（2020秋·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）李老师为了解学生疫情期间“空中课堂“”的学习情况，对部分学生进行了调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)李老师一共调查了_____名同学；
(2)B类女生有_____名，D类男生有_____名，将下面条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
(3)为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)20
(2)5；1；统计图见解析；
(3)
【分析】（1）（2）利用条形统计图、扇形统计图的性质直接求解；
（3）利用树状图求出总可能数与要求可能数，即可得出答案．
【详解】（1）类学生有人，所占比例为，
李老师一共调查的学生数是：名．
（2）B类女生有：名，
D类男生有：名，
补全统计图如下：
（3）根据题意画图如下：
共有8种等可能情况，其中所选两位同学恰好是一男一女的有4种，
所选两位同学恰好是一男一女的概率是．
考点五 游戏的公平性
例25．（2021秋·高一单元测试）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
【答案】ABD
【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误.
【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.
故选：ABD.
例26．（2022·高一单元测试）（多选）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（ ）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【分析】列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.
【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，
所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.
故选：BD.
例27．（2022·高二课时练习）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1； B．游戏1和游戏3； C．游戏2； D．游戏3．
【答案】D
【分析】依次求出每个游戏中甲胜的概率，然后可得答案，
【详解】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3）、（黑1，白）、（黑2，白）、（黑3，白），
所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；
游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；
游戏3中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1，白2）、（黑2，白1）、（黑2，白2）、（白1，白2），
所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．
故选：D．
例28．（2023春·全国·高一专题练习）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.
(1)甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；
(2)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为. 如果，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；
(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.
【详解】（1）设事件两球编号均为奇数为事件，
由已知随机试验的样本空间为共16个基本事件，事件包含基本事件，所以，
所以事件两球编号均为奇数的概率为；
（2）由(1)事件包含基本事件，所以，
所以事件甲赢的概率为，故事件乙赢的概率为，
因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.
例29．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是_________.
【答案】④
【分析】①抛一枚骰子，奇数或偶数点向上的可能性相同，即可判断；②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器确定谁发球的可能性相同，即可判断；③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，红色牌和黑色牌的可能性相同，即可判断；④同时抛掷两枚硬币，计算恰有一枚正面向上和两枚都是正面向上的概率，即可判断.
【详解】①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜,
由于抛一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数的可能性是相同的，故游戏公平；
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，
因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是，故游戏公平；
③一副不含大、小王的扑克牌中各有红色牌和黑色牌26张，
故从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色或者黑色的可能性相同，
故扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜，游戏公平；
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都是正面向上的概率为，
则同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．游戏不公平，
故答案为：④
一、单选题
1．（2021·高一课时练习）在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为（ ）．
A．10% B．11% C．20% D．30%
【答案】D
【分析】由一个十进制数是1开头的概率为，而，即可得解.
【详解】根据题意，一个十进制数是1开头的概率为，而，以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为30%.
故选：D.
【点睛】本题考查学生的阅读理解能力以及估算能力，属于常考题.
2．（2021春·陕西西安·高二西北大学附中校考期中）某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%. 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产的一等品的概率是
A．0.32 B．0.54 C．0.6 D．0.9
【答案】B
【分析】计算出甲厂生产的一等品的数量，由此求得所求概率.
【详解】依题意，在个灯泡中，甲厂生产的一等品的数量为，所以从这个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产的一等品的概率是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用频率估计概率，属于基础题.
3．（2021秋·安徽六安·高二校考期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.
【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；
B选项：3点朝上的概率为，B错误；
C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；
D选项：花色是红桃的概率为，D错误.
故选：C.
4．（2022秋·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．随机事件的频率等于概率
B．随机事件的概率
C．一个随机事件的频率是固定的
D．当重复试验次数足够大时，可用频率估计概率
【答案】D
【分析】根据随机事件的频率与概率的关系分析判断即可.
【详解】对于A、D，当重复试验次数足够大时，可用频率来估计概率，所以A错误，D正确，
对于B，随机事件的概率，所以B错误，
对于C，一个随机事件的频率与试验次数有关，不是固定的，所以C错误，
故选：D
5．（2021秋·高一课时练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．
故选:A．
6．（2021·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
7．（2021秋·高一单元测试）造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
【答案】C
【分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
【答案】C
【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
故选：C
9．（2022·高一课时练习）某品牌饮料推出“开盖有奖”促销活动，宣传页面称“购买本品，获得‘再来一瓶’的中奖率为10%”，这意味着（ ）
A．买100瓶饮料就一定能中奖10次 B．买10瓶饮料必中一次奖
C．买100瓶饮料至少有10瓶能中奖 D．购买1瓶饮料，中奖的可能性为10%
【答案】D
【分析】根据概率定义判断即可.
【详解】用概率度量随机事件发生可能性的大小，这里“中奖率10%”即指中奖的可能性为10%．
故选：D.
二、多选题
10．（2022·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
根据表中数据，下列结论中正确的有（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】BCD
【分析】根据统计表逐项分析可得答案.
【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．
故选：BCD．
11．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知随机事件A，B满足，，则（ ）
A．若事件A，B互斥，则
B．若，则事件A，B互斥
C．若事件A，B相互独立，则
D．若，则事件A，B相互独立
【答案】ACD
【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，，A，B互斥，否则不一定有A，B互斥，故B错误；
对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；
对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．
故选：ACD．
12．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则A，B相互独立
C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，，
所以，所以A，B相互独立，故B正确；
对于C，A与B相互独立，则也相互独立，
则，故C错误；
对于D，A与B相互独立，则也相互独立，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【详解】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平；
故答案为不公平
14．（2021·高一课时练习）李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：
李明
张健
投中数
30
25
未中数
20
15
上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________，投中的频率是 ____________，两人中投中率更优秀的是 ____________ .
【答案】 张健
【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些.
【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是 ，频率是，
张健投中的频数是，频率是，
所以张健更优秀一些.
故答案为：；；；；张健.
15．（2023·重庆·统考模拟预测）一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则________．
【答案】
【分析】根据题意得到袋子中有个红球，个黑球，利用相互独立事件的概率公式，分别求得第1次摸出的是红球和第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率，结合题意列出方程，即可求解.
【详解】由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球，
当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为；
当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为，
因为第2次摸得红球的概率为，即，
解得.
故答案为：.
四、解答题
16．（2022·高一单元测试）某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【详解】（1），
，
，
.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
.
17．（2022秋·高一单元测试）某厂家声称其产品的合格率为99%，检验人员从该厂1000件产品中随机抽查了3件，发现有2件次品，能否断定该厂家谎报合格率？
【答案】有理由怀疑该厂家谎报合格率.
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出3件产品中有2件次品的概率，再利用小概率事件判断作答.
【详解】根据厂家声称的合格率，则3件产品中有2件次品的概率为
，
概率为0.0297%的事件是不太可能发生的，所以有理由怀疑该厂家谎报合格率.
18．（2023秋·高一单元测试）为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；
（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
专题28 相互独立、频率及概率
一、相互独立事件
1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2、判断事件是否相互独立的方法
（1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的
（2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立.
二、相互独立事件的概率计算
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
概率
A，B同时发生
P(A)P(B)
A，B都不发生
P()P()
A，B恰有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
三．频率稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且.
四、频率与概率的关系
1.频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
2.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即
考点一
相互独立事件的辨析
1.相互独立事件的判断
2.相互独立事件与互斥事件
考点二
相互独立事件的概率
考点三
辨析概率与频率
考点四
利用频率估算概率
考点五
游戏的公平性
考点一 相互独立事件的判断
1.相互独立事件的判断
例1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（ ）
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】根据事件相互独立的定义判断.
【详解】由题意知，
，所以C与D不相互独立，
，所以A与D不相互独立，
，所以B与D不相互独立，
，所以A与C相互独立，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.
例2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，
事件丙的概率，事件丁的概率，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；
对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.
故选：A
例3．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．甲､乙两运动员各射击一次，事件“甲射中10环”，事件“乙射中9环”
B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”
D．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
【答案】D
【分析】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于选项A：甲、乙两运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一次的结果与第二次的结果互不影响，故事件与事件为相互独立事件；
对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件与事件不为相互独立事件；
故选：D.
例4．（2022秋·高一单元测试）若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与 B．A与 C．与B D．与
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的性质，逐一判断即可得到本题答案.
【详解】因为与是相互独立事件，所以与，与，与都是相互独立事件，
而是的对立事件，与是互斥事件.
故选：A
2.相互独立事件与互斥事件
例5．（2023·山东聊城·统考模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
例6．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ）
A． B．
C．事件与是互斥事件 D．事件与是相互独立事件
【答案】AD
【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.
【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，
故选：.
例7．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）（多选）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）
A．事件A与事件C互斥
B．事件B与事件C互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．事件B与事件C相互独立
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的概念可判断AB的正误，根据独立事件的判断方法可得CD的正误.
【详解】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，
故事件A与事件C互斥，故A正确；
若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；
对C，，所以C正确；
对D，，所以D正确；
故选：ACD．
例8．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
【答案】ACD
【分析】先画出树状图，由，不可能同时发生可判断A；求得，，，的值，可判断C、D；利用可判断B．
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；
，，，，故C正确，D正确；
因为，，则，则事件与事件不独立，故B错误，
故选：ACD．
例9．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）“新高考”后，普通高考考试科目构成实“3＋2＋1”模式．“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选两门科目学习，设A表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，B表示事件“甲乙两人所选科目完全不同”，C表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，D表示事件“甲乙两人均选择生物”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．B与D为互斥事件
C．C与D相互独立 D．A与D相互独立
【答案】BD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断，再利用概率的计算公式求出即可判断.
【详解】甲、乙两名同学所选科目共有“所选科目完全不同”，“所选科目恰有一门相同”．“所选科目完全相同”这三种情况，即A与B为互斥事件但不对立，选项错误；
B与D为互斥事件，选项B正确；
易知，，，
，，
，选项错误；选项正确．
故选：．
考点二 相互独立事件的概率
例10．（河北省石家庄市部分学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A．0.12 B．0.16 C．0.2 D．0.32
【答案】A
【分析】利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
【详解】由题意，该厂生产的口罩中任选一个，选到绑带式口罩的概率为.
故选：A
例11．（2022春·浙江杭州·高二校考期中）假设，，且与相互独立，则（ ）
A．0.12 B．0.6 C．0.4 D．0.08
【答案】D
【分析】代入相互独立事件的概率计算公式即可求解.
【详解】由题意知，与相互独立，
则，
故选：D.
例12．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得 1分；如果两人都没投中，则小组得 0分，甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响．则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为______．
【答案】
【分析】利用独立事件概率计算公式以及分类讨论的思想解决本题.
【详解】该小组在两轮活动中得分之和为4分的概率为
，
该小组在两轮活动中得分之和为6分的概率为，
所以该小组在两轮活动中得分之和不低于4分的概率为．
故答案为：
例13．（2023春·天津河东·高二统考期中）某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（ ）
A．2% B．30% C．72% D．26%
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，
任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.
故选：A
例14．（2023春·山西太原·高二统考期中）某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.
【答案】0.62/
【分析】分别求出选中一级射手．二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率，再求和即可
【详解】射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.
则任选一名射手能够通过选拔进入比赛的概率.
故答案为：0.62
考点三 辨析概率与频率
例15．（2021秋·高一课时练习）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
例16．（2022秋·高一单元测试）某厂产品的合格率为98%，估算该厂件产品中合格品的件数可能为（ ）.
A．160件 B．7840件 C．7998件 D．7800件
【答案】B
【分析】由总数乘以合格率即可得出合格品的件数.
【详解】由合格率的含义可知， 件产品中可能含有合格品（件）.
故选：B.
例17．（2022·高一单元测试）下列命题正确的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是
C．随机事件发生的概率可用随机试验中随机事件发生的频率来估计
D．古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点
【答案】D
【分析】根据概率、古典概型、随机事件的概念进行理解判断.
【详解】一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，不一定有10件是次品，故A错误；
抛硬币的试验，出现正面的概率是，故B错误；
随机试验中，随机事件重复的次数越多，随机事件发生的频率会趋于稳定，故C错误；
古典概型的样本点具有等可能性和有限性两个特点，故D正确.
故选：D．
例18．（2023春·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由频率和概率的概念与意义进行辨析即可.
【详解】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；
对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；
对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；
对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题.
综上所述，真命题个数为个.
故选：A.
例19．（2021秋·高一单元测试）（多选）若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着的逐渐增加，下列说法不正确的是（ ）
A．与某个常数相等
B．与某个常数的差逐渐减小
C．与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．在某个常数附近摆动并趋于稳定
【答案】ABC
【分析】由概率的定义知，事件发生的频率在概率附近摆动，并趋于稳定．
【详解】随着的增大，频率会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，故A、B、C错误，D正确，
故选：ABC．
考点四 利用频率估算概率
例20．（2023·全国·高一专题练习）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）：
542
548
549
551
549
550
551
555
550
557
若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【分析】抽取10瓶水中净含量在之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频率估计概率，即可求解.
【详解】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为，
由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为.
故选：D
例21．（2021春·山西晋中·高三统考阶段练习）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数
3
6
25
38
18
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）
A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【详解】命题意图 本题考查用样本频率估计总体的概率．
解析 由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
例22．（2022秋·福建泉州·高二校考开学考试）甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
【答案】(1)0.65
(2)0.648
【分析】（1）由频率可得到概率估计值；
（2）事件“甲获胜”可分类为：第一次和第二次比赛胜利；第一次比赛失败，第二、三次比赛胜利；第一、三次比赛胜利，第二次比赛失败.
【详解】（1）设事件为 “甲获胜”，
计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了13次：
对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，
用频率估计事件的概率近似值为；
（2）设事件为第局“甲获胜”，则，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
∴.
例23．（2021秋·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.
【答案】(1)0.2
(2)0.3
【分析】（1）由表格可知同时购买乙和丙的顾客的人数，即可解决；
（2）由表格可知同时购买3种商品的顾客人数，即可解决.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.
例24．（2020秋·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）李老师为了解学生疫情期间“空中课堂“”的学习情况，对部分学生进行了调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)李老师一共调查了_____名同学；
(2)B类女生有_____名，D类男生有_____名，将下面条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
(3)为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)20
(2)5；1；统计图见解析；
(3)
【分析】（1）（2）利用条形统计图、扇形统计图的性质直接求解；
（3）利用树状图求出总可能数与要求可能数，即可得出答案．
【详解】（1）类学生有人，所占比例为，
李老师一共调查的学生数是：名．
（2）B类女生有：名，
D类男生有：名，
补全统计图如下：
（3）根据题意画图如下：
共有8种等可能情况，其中所选两位同学恰好是一男一女的有4种，
所选两位同学恰好是一男一女的概率是．
考点五 游戏的公平性
例25．（2021秋·高一单元测试）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平
D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
【答案】ABD
【分析】根据事件发生的随机性，即可判断正误.
【详解】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.
故选：ABD.
例26．（2022·高一单元测试）（多选）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（ ）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【分析】列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.
【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，
所以.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以.
因为，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.
故选：BD.
例27．（2022·高二课时练习）下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球．
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1； B．游戏1和游戏3； C．游戏2； D．游戏3．
【答案】D
【分析】依次求出每个游戏中甲胜的概率，然后可得答案，
【详解】游戏1中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3）、（黑1，白）、（黑2，白）、（黑3，白），
所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；
游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；
游戏3中，取2个球的所有可能情况为：（黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1，白2）、（黑2，白1）、（黑2，白2）、（白1，白2），
所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．
故选：D．
例28．（2023春·全国·高一专题练习）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.
(1)甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；
(2)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为. 如果，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；
(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.
【详解】（1）设事件两球编号均为奇数为事件，
由已知随机试验的样本空间为共16个基本事件，事件包含基本事件，所以，
所以事件两球编号均为奇数的概率为；
（2）由(1)事件包含基本事件，所以，
所以事件甲赢的概率为，故事件乙赢的概率为，
因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.
例29．（2022春·陕西宝鸡·高一统考期末）甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是_________.
【答案】④
【分析】①抛一枚骰子，奇数或偶数点向上的可能性相同，即可判断；②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器确定谁发球的可能性相同，即可判断；③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，红色牌和黑色牌的可能性相同，即可判断；④同时抛掷两枚硬币，计算恰有一枚正面向上和两枚都是正面向上的概率，即可判断.
【详解】①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜,
由于抛一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数的可能性是相同的，故游戏公平；
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，
因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是，故游戏公平；
③一副不含大、小王的扑克牌中各有红色牌和黑色牌26张，
故从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色或者黑色的可能性相同，
故扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜，游戏公平；
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都是正面向上的概率为，
则同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．游戏不公平，
故答案为：④
一、单选题
1．（2021·高一课时练习）在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为（ ）．
A．10% B．11% C．20% D．30%
【答案】D
【分析】由一个十进制数是1开头的概率为，而，即可得解.
【详解】根据题意，一个十进制数是1开头的概率为，而，以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为30%.
故选：D.
【点睛】本题考查学生的阅读理解能力以及估算能力，属于常考题.
2．（2021春·陕西西安·高二西北大学附中校考期中）某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%. 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产的一等品的概率是
A．0.32 B．0.54 C．0.6 D．0.9
【答案】B
【分析】计算出甲厂生产的一等品的数量，由此求得所求概率.
【详解】依题意，在个灯泡中，甲厂生产的一等品的数量为，所以从这个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产的一等品的概率是.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用频率估计概率，属于基础题.
3．（2021秋·安徽六安·高二校考期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
【答案】C
【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.
【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；
B选项：3点朝上的概率为，B错误；
C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；
D选项：花色是红桃的概率为，D错误.
故选：C.
4．（2022秋·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．随机事件的频率等于概率
B．随机事件的概率
C．一个随机事件的频率是固定的
D．当重复试验次数足够大时，可用频率估计概率
【答案】D
【分析】根据随机事件的频率与概率的关系分析判断即可.
【详解】对于A、D，当重复试验次数足够大时，可用频率来估计概率，所以A错误，D正确，
对于B，随机事件的概率，所以B错误，
对于C，一个随机事件的频率与试验次数有关，不是固定的，所以C错误，
故选：D
5．（2021秋·高一课时练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．
故选:A．
6．（2021·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
7．（2021秋·高一单元测试）造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
【答案】C
【分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
8．（2022·全国·高三专题练习）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
【答案】C
【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
故选：C
9．（2022·高一课时练习）某品牌饮料推出“开盖有奖”促销活动，宣传页面称“购买本品，获得‘再来一瓶’的中奖率为10%”，这意味着（ ）
A．买100瓶饮料就一定能中奖10次 B．买10瓶饮料必中一次奖
C．买100瓶饮料至少有10瓶能中奖 D．购买1瓶饮料，中奖的可能性为10%
【答案】D
【分析】根据概率定义判断即可.
【详解】用概率度量随机事件发生可能性的大小，这里“中奖率10%”即指中奖的可能性为10%．
故选：D.
二、多选题
10．（2022·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
根据表中数据，下列结论中正确的有（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】BCD
【分析】根据统计表逐项分析可得答案.
【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．
故选：BCD．
11．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知随机事件A，B满足，，则（ ）
A．若事件A，B互斥，则
B．若，则事件A，B互斥
C．若事件A，B相互独立，则
D．若，则事件A，B相互独立
【答案】ACD
【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，，A，B互斥，否则不一定有A，B互斥，故B错误；
对于C选项，因为事件A，B相互独立，故，故C正确；
对于D选项，因为，故事件A，B相互独立，故D正确．
故选：ACD．
12．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则A，B相互独立
C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则
【答案】BD
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，，
所以，所以A，B相互独立，故B正确；
对于C，A与B相互独立，则也相互独立，
则，故C错误；
对于D，A与B相互独立，则也相互独立，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【详解】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平；
故答案为不公平
14．（2021·高一课时练习）李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：
李明
张健
投中数
30
25
未中数
20
15
上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________，投中的频率是 ____________，两人中投中率更优秀的是 ____________ .
【答案】 张健
【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些.
【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是 ，频率是，
张健投中的频数是，频率是，
所以张健更优秀一些.
故答案为：；；；；张健.
15．（2023·重庆·统考模拟预测）一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则________．
【答案】
【分析】根据题意得到袋子中有个红球，个黑球，利用相互独立事件的概率公式，分别求得第1次摸出的是红球和第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率，结合题意列出方程，即可求解.
【详解】由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球，
当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为；
当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为，
因为第2次摸得红球的概率为，即，
解得.
故答案为：.
四、解答题
16．（2022·高一单元测试）某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如下：
时间
2017
2018
2019
2020
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；
(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）对（1）中的四组数据取平均值.
【详解】（1），
，
，
.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
.
17．（2022秋·高一单元测试）某厂家声称其产品的合格率为99%，检验人员从该厂1000件产品中随机抽查了3件，发现有2件次品，能否断定该厂家谎报合格率？
【答案】有理由怀疑该厂家谎报合格率.
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出3件产品中有2件次品的概率，再利用小概率事件判断作答.
【详解】根据厂家声称的合格率，则3件产品中有2件次品的概率为
，
概率为0.0297%的事件是不太可能发生的，所以有理由怀疑该厂家谎报合格率.
18．（2023秋·高一单元测试）为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；
（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
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