人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.2 消元---解二元一次方程组第2课时教案设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【回顾】

    1.解二元一次方程组的基本思想是什么？

预设答案：消元

2.代入法解二元一次方程组的步骤是什么？

预设答案：①变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代：将新式子代入到另一个方程中得一元一次方程；③求：解一元一次方程进而求出两个未知数的值；④解：写出方程组的解.

教师活动：教师带领学生回顾上节课的知识，强调解二元一次方程组的基本思想是消元，通过消去一个未知数将二元一次方程转化为一元一次方程进行求解. 然后教师给出下面的二元一次方程组，让学生用代入消元法进行求解.待学生计算结束后，教师展示过程，并结合过程再次强调代入法解二元一次方程组的步骤.

解二元一次方程组：

解：由①，得：y10x，③

把③代入②，得：2x(10x)16，

解得：x6.

把x6代入③，得：y4.

所以方程组的解为：

追问：还有别的消元方法吗？

回顾已学知识并回答.

计算并回答.

帮助学生回顾旧知，便于建立新旧知识之间的联系.

    巩固代入法解二元一次方程组，在此基础上，提出新的问题，引导学生思考，为讲解加减法做铺垫.

环节二 探究新知

【思考】

问题1  解二元一次方程组：

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？

教师活动：引导学生观察两个方程中未知数y的系数，发现y的系数相同，都是1.进而引导学生思考：怎样才可以把y消去呢？此时可让学生分小组讨论，2分钟后小组代表发言.

可依据等式的性质，把两个方程分别相减，就可以消去未知数y.如：②式的左边①式的左边②式的右边①式的右边.即2xy(xy)1610，整理化简，得：2xyxy6，解得：x  6.具体过程如下：

解：②①，得：

        2xy(xy)1610，

                x6.

        把x6代入①，得：y4.

所以方程组的解为：

    追问1：①②行吗？

追问2：求出的值后，把x6代入②行吗？

预设答案：都可以，具体过程如下：

解：①②，得：

    xy(2xy)1016，

            x6.

    把x6代入②，得：y4.

所以方程组的解为：

问题2  联系上面的解法，想一想怎样解方程组：

教师活动：引导学生观察，两个方程中未知数y的系数互为相反数，把两个方程的两边分别相加，就可以消去未知数y.

解：①②，得：3x10y15x10y2.88，

18x10.8，

x0.6.

   把x0.6代入①，得：30.610y2.8，

y0.1.

所以方程组的解为：

【归纳】

教师活动：教师展示上面两个方程组的解题过程，让学生通过对比分析，归纳出加减消元法的概念.

    当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

强调：当未知数系数相反时，让两个方程相加，即可消去这个未知数；当未知数的系数相同时，让两个方程相减，即可消去这个未知数.

口诀记忆：同减异加.

小组讨论

根据追问的思路进行计算，得出相应结果.

学生思考并计算.

通过观察方程组中同一个未知数的系数特点，引导学生思考新的消元方法.培养学生的观察能力以及小组协作解决问题的能力.

使学生能够举一反三，有减法联想到加法.

归纳总结出加减消元法的概念.

【做一做】

选择你喜欢的方法解方程组：

教师活动：先让学生观察两个方程中x的系数，发现x的系数相同，引导学生消未知数x.学生大概率会用本节课学习的加减法消x，待学生完成后，教师展示两种方法消x的过程，使学生体会两种方法之间的计算差异.

加减法：解：①②，得：

               2y(4y)6，

                     y1.

        把y1代入①，得：

               3x28，

                  x2.

所以方程组的解为：

代入法：解：由①，得： x.

        把③代入②，得：

            34y2，

                      y1.

        把y1代入①，得：

            3x28，

               x2.

所以方程组的解为：

总结：

根据未知数系数的特点，选择恰当的方法解二元一次方程组，可以适当简化计算. 当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法比较简便.

    追问：能否用加减法消去未知数y?

教师活动：引导学生观察两个方程中y的系数，发现y的系数既不相同，也不互为相反数，无法直接用加减消元法.进一步观察发现，两个方程中y的系数存在倍数关系，引导学生思考，是否可以通过变形，将y的系数化为相同或互为相反数呢？事实上，只需把第一个方程两边同时扩大到原来的2倍.

解：①2，得：6x4y16. ③

        ②③，得：9x18，

                    x2.

    把x2代入①，得：

       322y8，

            y1.

所以方程组的解为：

总结：        

当两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元，可对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.

【归纳】

加减法解二元一次方程组的一般步骤：

1.变形：将同一个未知数的系数化为相同或互为相反数.

2.加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.

3.求解：依次求出两个未知数的值.

4.写解：写出方程组的解.

学生思考并动手计算.

学生思考，小组合作，充分交流.

通过练习，巩固加减法解二元一次方程组，并对比两种解法在计算量上的差异，使学生能够根据未知数系数的特点，选取最适合的消元方法.

进一步巩固加减消元法，使学生明白，当同一个未知数的系数存在倍数关系时，可以利用等式的性质将其转化，再利用加减法消元求解.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1  用加减法方程组：

教师活动：两个方程中同一个未知数的系数既不相等，也不互为相反数，又不存在倍数关系，无法直接用加减消元法.引导学生仿照前面做一做的思路，思考如何把未知数的系数化为相同或者互为相反数.教师可适当提示：要消去哪个未知数，可先将两个方程中该未知数的系数都化为它们的最小公倍数，再利用加减法进行消元.

法一：

解：①5，得：15x20y80.  ③

    ②3，得：15x18y99.  ④

    ③④，得：20y(18y)19，

y.

    把y代入①，得：

        3x4()16，

                 x6.

所以方程组的解为：

追问：把y代入②可以吗？

预设答案：把y代入②，得：

        5x6()33，

                 x6.

法二：

解：①3，得：9x12y48.  ③

    ②2，得：10x12y66.  ④

    ③④，得：19x114，

                 x6.

    把x6代入①，得：

       364y16，

         y.

所以方程组的解为：

总结：       

当未知数的系数没有倍数关系，则应将两个方程同时变形，同时选择系数比较小的未知数消元.

    例2  2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

教师活动：引导学生分析，如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦(2x5y)hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦(3x2y)hm2.由此考虑两种情况下的工作量.

    解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.

根据两种工作方式中的相等关系，得方程组

去括号，得：

②①，得：11x4.4.

解这个方程，得：x0.4.

把x0.4代入①，得：y0.2.

因此，这个方程组的解是：

答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.

教师活动：带领学生回顾解方程组的思路.

学生思考、计算并回答.

通过例题，进一步加深加减消元法，巩固所学知识.

环节四 巩固新知

教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.用加减消元法解方程组

由①②得        ，解得       ，

由①②得        ，解得       .

答：8x16，x2，6y12，y2.

2.把方程组通过加减消元消去x得到的方程是(    )

A. y4              B. 7y14

C. 7y14            D. y14

答：A.

3.用加减消元法解方程组时，在下列四种解法中，计算比较简单的一种是(    )

A. ①2②3消去x              

B. ①②消去x

C. ①②消去y                 

D. ①②4消去y

答：D.

    4.用加减消元法解方程组：                   

解：①2，得：10x4y50.  ③

   ③②，得：7x35，

               x5.

   把x5代入①，得：y0.

所以方程组的解为：

    5.运输360 t化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440 t化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？

解：设每节火车车厢与每辆汽车平均各装化肥x t和y t.   

由题意得：

化简，得：

②①，得：2x100.

解这个方程，得：x50.

把x50代入①，得：y4.

因此，这个方程组的解是：

答：每节火车车厢与每辆汽车平均各装化肥50 t和4 t. 

学生自主练习

通过练习，进一步巩固所学知识，加深理解.培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价.

通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

环节六

布置作业

教科书第98页习题8.2第3题.

学生课后自主完成.

通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.