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人教版八年级数学上册第十三章《轴对称综合》讲义第12讲 第12讲 轴对称综合
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这是一份人教版八年级数学上册第十三章《轴对称综合》讲义第12讲 第12讲 轴对称综合，共14页。试卷主要包含了折叠，如图，图①等内容，欢迎下载使用。
第12讲 轴对称综合
第一部分 知识梳理
知识点一：直角三角形性质
直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半
知识点二：轴对称的应用及变换
（1）折纸问题
（2）作图－－轴对称变换
知识点三：轴对称的应用
最短路径问题:
知识点四：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
第二部分 考点精讲精练
考点1、折叠、作图－－轴对称变换
例1、用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②
例2、作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条：直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）
A.（－2，1） B.（－3，1） C.（－2，－1） D.（－2，－1）
例4、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
例5、已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）
（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______；
（2）分别延长DM，EP，FN至______，使______=______，______=______，______=______；
（3）顺次连接______，______，______，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．
举一反三：
1、下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
2、如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（0，－3） C．（3，0） D．（2，1）
3、下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．
4、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在直线MN上找一点C（C点在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形（画出一种即可）；
（2）请直接写出△ABC的面积．
5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
考点2、直角三角形性质（30°）
例1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则（ ）
A．AD=2BD B．AD=3BD C．AD=4BD D．AD=5BD
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．其中DE是AB的中垂线，交AB于D，交AC于E，连接BE．若EC=2，则AC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD=2BC，则∠A=______．
（例2） （例3）
例4、如果等腰三角形的底边上的高为4厘米，腰长为8厘米，那么底角的度数是 ，顶角的度数是 ．
例5、如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．
（1）求∠3的度数；
（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求BE的长．
例6、如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．
（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
举一反三：
1、若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（ ）
A．30°，60° B．30°，90° C．60°，90° D．45°，90°
2、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC=6cm，∠BAD=30°，∠B=90°．则CD的长为 ．
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．若BC=18cm，CD=6cm，则DE= cm，AD= cm．
（2） （3）
4、如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE=AB．
5、如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P．
（1）求证：∠ABE=∠CAD；（2）若BH⊥AD于点H，求证：PB=2PH．
考点3、最短路径问题
例1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
例2、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
例3、茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
例4、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
例5、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数。
举一反三：
1、如图所示，直线CD同侧有两个点A，B，在CD上找一点P使得AP+BP最短，并说明理由，盼盼的解题思路如下，请你帮助完成操作及填空
（1）作点B关于CD的对称点B′，连结AB′交CD于点P，连结BP，点P就是所求作的点；
（2）再在CD上另取一点P′，连结AP′，B′P′，
∵AP+BP= （用图中的线段表示）
∵AP′+B′P′＞ ，理由是
∴AP′+B′P′＞AP+BP
∴AP+BP最短．
2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_______°．
3、如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？
4、如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
5、如图所示，A，B两村在河的同一侧，以河岸为x轴建立直角坐标系，则A，B两村对应的坐标分别为A（-1，1），B（3，3），现要在河边P处修建一个水泵站，分别直接向A，B两村送水，点P选在哪个位置，才可能使所用的水管最短？试写出点P对应的坐标．
第三部分 课堂小测
1、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（－2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（ ）
A.（2，1） B.（－2，－1） C.（4，1） D.（4，－1）
3、如图，在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2） （3）
4、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为1：2：3，且AB=2，则BC= ．
5、如图，已知∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠A=30°，AB=4cm，则：
（1）BC= ； （2）∠BCD= ；
（3）BD= ； （4）AD= ．
6、如图所示，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？
7、有一货场A的北偏东75°的方向上有一所学校C，一辆拖拉机以200米/分的速度从A点出发沿公路向正东方向行驶，2分钟后，到达B处，此时观察到学校位于B点的东偏北30°的方向上，已知该拖拉机形成的噪音影响的范围在130m以内．问：这条公路上该拖拉机形成的噪音会对学校造成影响吗？
8、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
9、（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）是一个台球桌，若击球者想通过击打E球，让E球先撞上AB边上的点P，反弹后再撞击F球，请在图（2）中画出这一点P．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
10、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AB=40，求DB的长．
第四部分 提高训练
1、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，－1）、C（－1，－1）、D（－1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于AC所在直线的对称点P1，作P1关于BD所在直线的对称点P2，作点P2关于AC所在直线的对称点P3，作P3关于BD所在直线的对称点P4，作点P4关于AC所在直线的对称点P5，作P5关于BD所在直线的对称点P6，……，按如此操作下去，则点P2019的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，－2） D．（－2，0）
2、如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=______；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=______．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=______．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
3、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标。
第五部分 课后作业
1、已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（－3，2） B．（3，2） C．（－3，－2） D．（3，－2）
2、如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
（1） （2）
3、如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD= cm．
4、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，CD是斜边AB上的高，则BD长是 ．
（3） （4）
5、如图：梯形中ABCD，AD∥BC，AB=CD=5，BC=6，∠C=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小值为 ．
6、如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求BC的长．
7、如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使△PMN的周长最小．
8、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，－1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
9、已知，P为∠AOB内一点，PO=24cm，∠AOB=30°，试在OA、OB上分别找出两点C、D，使△PCD周长最小，并求这个最小周长．
10、已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第12讲 轴对称综合
第二部分 考点精讲精练
考点1、折叠、作图－－轴对称变换
例1、A
例2、B
例3、A
例4、解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；
（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；
（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．
例5、
解：依据轴对称的性质得：
（1）M，P，N；
（2）点G，H，L MG=DM PH=EP NL=FN；
（3）GH，HL，LG．
举一反三：
1、B
2、D
3、解：找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点即为对称轴，如图所示．
4、
5、
考点2、直角三角形性质（30°）
例1、B
例2、D
例3、___15°___．
例4、
例5、解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=90°，即3∠3=90°，
∴∠3=30°；
（2）DE⊥AB．
理由：在△ADB中，∠2=∠3，
∴△ADB是等腰三角形；
又∵DE平分∠ADB，
∴DE是边AB上的中垂线，
∴DE⊥AB；
例6、
举一反三：
1、B
2、 12 ．
3、
4、
5、
考点3、最短路径问题
例1、B
例2、D
例3、
①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
例4、如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，
连接P1P2交OX于M，交OY于N，
则PM+MN+NP最短．
例5、解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°
举一反三：
1、解：（1）作点B关于CD的对称点B′，连结AB′交CD于点P，连结BP，点P就是所求作的点；
（2）再在CD上另取一点P′，连结AP′，B′P′，
∵AP+BP=AP+PB′（用图中的线段表示）
∵AP′+B′P′＞AB′，理由是（三角形的三边关系），
∴AP′+B′P′＞AP+BP
∴AP+BP最短．
故答案为：AP+PB′，AB′，三角形的三边关系．
2、解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°。
3、如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，
所以ED=ED′，C，D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以
CE+ED是最短的．
4、作出点A关于l1的对称点E，点B适于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点B，
则AC，CD，BD是他走的最短路线．
5、解：作B关于x轴的对称点B′，则B′坐标为（3，-3）．
连接AB′，与x轴的交点即P点．
∵PB=PB′，
∴AP+PB=AP+PB′=AB′（水管最短）．
因为A（-1，1），B′（3，-3）在第二四象限的角平分线上，
所以P点坐标为（0，0）．
第三部分 课堂小测
1、C
2、C
3、C
4、 1 ．
5、
6、先作出点A关于台球边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O．
将球杆沿BOA1的方向撞击B球，可使白球先撞击台球边EF，然后反弹后又能击中黑球A．
7、
8、以下答案供参考
9、（1）如图（1）：根据分析得OP为∠AOB的角平分线，PE是线段CD的中垂线．
（2）如图（2）E'为E以AB为轴的对称点，由入射角∠EPQ=∠FPQ则由E点打击P点可击中F点．
10、
第四部分 提高训练
1、D
解：∵作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，
∴每变换4次一循环，
∴点P2019的坐标为：2019÷4=502…3，
点P2019的坐标与P3坐标相同，
∴点P2019的坐标为：（-2，0）， 故选：D．
2、
3、作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
第五部分 课后作业
1、B
2、C
3、 4 cm．
4、 6 ．
5、
6、
7、解：如图所示；分析：作点M关于AB的对称点M′，连接M′N交AB于点P，则点P即为所求点．
8、
9、解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于C，交OB于D，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
CP=P1C，PD=P2D，则△PCD的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
△PCD的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=24cm．
10、
第12讲 轴对称综合
第一部分 知识梳理
知识点一：直角三角形性质
直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半
知识点二：轴对称的应用及变换
（1）折纸问题
（2）作图－－轴对称变换
知识点三：轴对称的应用
最短路径问题:
知识点四：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
第二部分 考点精讲精练
考点1、折叠、作图－－轴对称变换
例1、用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②
例2、作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条：直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）
A.（－2，1） B.（－3，1） C.（－2，－1） D.（－2，－1）
例4、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
例5、已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）
（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______；
（2）分别延长DM，EP，FN至______，使______=______，______=______，______=______；
（3）顺次连接______，______，______，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．
举一反三：
1、下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
2、如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（0，－3） C．（3，0） D．（2，1）
3、下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．
4、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在直线MN上找一点C（C点在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形（画出一种即可）；
（2）请直接写出△ABC的面积．
5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
考点2、直角三角形性质（30°）
例1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则（ ）
A．AD=2BD B．AD=3BD C．AD=4BD D．AD=5BD
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．其中DE是AB的中垂线，交AB于D，交AC于E，连接BE．若EC=2，则AC=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD=2BC，则∠A=______．
（例2） （例3）
例4、如果等腰三角形的底边上的高为4厘米，腰长为8厘米，那么底角的度数是 ，顶角的度数是 ．
例5、如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．
（1）求∠3的度数；
（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求BE的长．
例6、如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．
（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．
举一反三：
1、若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（ ）
A．30°，60° B．30°，90° C．60°，90° D．45°，90°
2、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC=6cm，∠BAD=30°，∠B=90°．则CD的长为 ．
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．若BC=18cm，CD=6cm，则DE= cm，AD= cm．
（2） （3）
4、如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE=AB．
5、如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P．
（1）求证：∠ABE=∠CAD；（2）若BH⊥AD于点H，求证：PB=2PH．
考点3、最短路径问题
例1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
例2、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
例3、茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
例4、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
例5、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数。
举一反三：
1、如图所示，直线CD同侧有两个点A，B，在CD上找一点P使得AP+BP最短，并说明理由，盼盼的解题思路如下，请你帮助完成操作及填空
（1）作点B关于CD的对称点B′，连结AB′交CD于点P，连结BP，点P就是所求作的点；
（2）再在CD上另取一点P′，连结AP′，B′P′，
∵AP+BP= （用图中的线段表示）
∵AP′+B′P′＞ ，理由是
∴AP′+B′P′＞AP+BP
∴AP+BP最短．
2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_______°．
3、如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？
4、如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
5、如图所示，A，B两村在河的同一侧，以河岸为x轴建立直角坐标系，则A，B两村对应的坐标分别为A（-1，1），B（3，3），现要在河边P处修建一个水泵站，分别直接向A，B两村送水，点P选在哪个位置，才可能使所用的水管最短？试写出点P对应的坐标．
第三部分 课堂小测
1、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2、如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（－2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（ ）
A.（2，1） B.（－2，－1） C.（4，1） D.（4，－1）
3、如图，在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2） （3）
4、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为1：2：3，且AB=2，则BC= ．
5、如图，已知∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠A=30°，AB=4cm，则：
（1）BC= ； （2）∠BCD= ；
（3）BD= ； （4）AD= ．
6、如图所示，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？
7、有一货场A的北偏东75°的方向上有一所学校C，一辆拖拉机以200米/分的速度从A点出发沿公路向正东方向行驶，2分钟后，到达B处，此时观察到学校位于B点的东偏北30°的方向上，已知该拖拉机形成的噪音影响的范围在130m以内．问：这条公路上该拖拉机形成的噪音会对学校造成影响吗？
8、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
9、（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）是一个台球桌，若击球者想通过击打E球，让E球先撞上AB边上的点P，反弹后再撞击F球，请在图（2）中画出这一点P．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
10、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AB=40，求DB的长．
第四部分 提高训练
1、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，－1）、C（－1，－1）、D（－1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于AC所在直线的对称点P1，作P1关于BD所在直线的对称点P2，作点P2关于AC所在直线的对称点P3，作P3关于BD所在直线的对称点P4，作点P4关于AC所在直线的对称点P5，作P5关于BD所在直线的对称点P6，……，按如此操作下去，则点P2019的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，－2） D．（－2，0）
2、如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=______；
（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=______．
（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=______．
（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
3、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标。
第五部分 课后作业
1、已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（－3，2） B．（3，2） C．（－3，－2） D．（3，－2）
2、如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
（1） （2）
3、如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD= cm．
4、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，CD是斜边AB上的高，则BD长是 ．
（3） （4）
5、如图：梯形中ABCD，AD∥BC，AB=CD=5，BC=6，∠C=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小值为 ．
6、如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求BC的长．
7、如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使△PMN的周长最小．
8、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，－1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
9、已知，P为∠AOB内一点，PO=24cm，∠AOB=30°，试在OA、OB上分别找出两点C、D，使△PCD周长最小，并求这个最小周长．
10、已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第12讲 轴对称综合
第二部分 考点精讲精练
考点1、折叠、作图－－轴对称变换
例1、A
例2、B
例3、A
例4、解：（1）点A关于y轴对称的点的坐标是（2，3）；
（2）图形如右，点B的对应点的坐标是（0，﹣6）；
（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．
例5、
解：依据轴对称的性质得：
（1）M，P，N；
（2）点G，H，L MG=DM PH=EP NL=FN；
（3）GH，HL，LG．
举一反三：
1、B
2、D
3、解：找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点即为对称轴，如图所示．
4、
5、
考点2、直角三角形性质（30°）
例1、B
例2、D
例3、___15°___．
例4、
例5、解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=90°，即3∠3=90°，
∴∠3=30°；
（2）DE⊥AB．
理由：在△ADB中，∠2=∠3，
∴△ADB是等腰三角形；
又∵DE平分∠ADB，
∴DE是边AB上的中垂线，
∴DE⊥AB；
例6、
举一反三：
1、B
2、 12 ．
3、
4、
5、
考点3、最短路径问题
例1、B
例2、D
例3、
①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
例4、如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，
连接P1P2交OX于M，交OY于N，
则PM+MN+NP最短．
例5、解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°
举一反三：
1、解：（1）作点B关于CD的对称点B′，连结AB′交CD于点P，连结BP，点P就是所求作的点；
（2）再在CD上另取一点P′，连结AP′，B′P′，
∵AP+BP=AP+PB′（用图中的线段表示）
∵AP′+B′P′＞AB′，理由是（三角形的三边关系），
∴AP′+B′P′＞AP+BP
∴AP+BP最短．
故答案为：AP+PB′，AB′，三角形的三边关系．
2、解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°。
3、如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，
所以ED=ED′，C，D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以
CE+ED是最短的．
4、作出点A关于l1的对称点E，点B适于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点B，
则AC，CD，BD是他走的最短路线．
5、解：作B关于x轴的对称点B′，则B′坐标为（3，-3）．
连接AB′，与x轴的交点即P点．
∵PB=PB′，
∴AP+PB=AP+PB′=AB′（水管最短）．
因为A（-1，1），B′（3，-3）在第二四象限的角平分线上，
所以P点坐标为（0，0）．
第三部分 课堂小测
1、C
2、C
3、C
4、 1 ．
5、
6、先作出点A关于台球边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O．
将球杆沿BOA1的方向撞击B球，可使白球先撞击台球边EF，然后反弹后又能击中黑球A．
7、
8、以下答案供参考
9、（1）如图（1）：根据分析得OP为∠AOB的角平分线，PE是线段CD的中垂线．
（2）如图（2）E'为E以AB为轴的对称点，由入射角∠EPQ=∠FPQ则由E点打击P点可击中F点．
10、
第四部分 提高训练
1、D
解：∵作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，
∴每变换4次一循环，
∴点P2019的坐标为：2019÷4=502…3，
点P2019的坐标与P3坐标相同，
∴点P2019的坐标为：（-2，0）， 故选：D．
2、
3、作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
第五部分 课后作业
1、B
2、C
3、 4 cm．
4、 6 ．
5、
6、
7、解：如图所示；分析：作点M关于AB的对称点M′，连接M′N交AB于点P，则点P即为所求点．
8、
9、解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于C，交OB于D，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
CP=P1C，PD=P2D，则△PCD的周长的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
△PCD的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=24cm．
10、
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