人教版九年级数学上册24.3　正多边形和圆练习题

24.3　正多边形和圆

知识点 1　正多边形与圆的关系

1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是(　　)

A．矩形  B．菱形

C．正方形  D．不能确定

2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．

图24－3－1

知识点 2　与正多边形有关的计算

3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

4．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为(　　)

A．3   B．3  C．6  D．6

5．2019·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于(　　)

A．4  B．2  C．2   D．4

6．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　　)

图24－3－2

A．60°　　　　　B．45°

C．30°　　　　　D．22.5°

7．正八边形的中心角等于________度．

8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)

图24－3－3

9．2019·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC＝________°.

图24－3－4

10．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.

求证：(1)AC＝BE；

(2)AM⊥CD.

图24－3－5

知识点 3　与正多边形有关的作图

11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．

12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是(　　)

图24－3－6

A.  B.  C.  D.

13．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)

A．120°  B．6° 

C．114°  D．114°或6°

14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为(　　)

A.  B．2 －2

C．2－  D.－1

15．2019·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

16．2019·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．

图24－3－7

17．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 ，试求正六边形的周长．

图24－3－8

18．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

图24－3－9

(1)求图①中∠MON的度数；

(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．

教师详解详析

1．C　[解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.

2．证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°.

又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，

即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，

∴＝＝＝＝，

∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，

∴五边形AEBCD是正五边形．

3．B　[解析] 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n＝360，解得n＝5.故选B.

4．B

5．A　[解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.

6．C　[解析] 连接OB，则∠AOB＝60°，

∴∠ADB＝∠AOB＝30°.

7．45

8．1＋

[解析] 如图，∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝1，

∴BD＝，

∴正方形的边长等于AB＋2BD＝1＋.

9．24　[解析] 正六边形的一个内角＝×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝×(180°－132°)＝24°.

10．证明：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，

∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.

(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，

∴△ABC≌△AED，

∴AC＝AD.

又∵M是CD的中点，

∴AM⊥CD.

11．解：如图所示．

作法：①作直径AC；

②作直径BD⊥AC，依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是⊙O的内接正方形；

③分别以点A，C为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点E，H和F，G，顺次连接AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形．

12．C　[解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C满足要求．

13．D　[解析] 分两种情况考虑：

(1)如图①所示，∵AB是⊙O内接正五边形的一边，∴∠AOB＝＝72°.∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝＝60°，∴∠BOC＝72°－60°＝12°，∴∠BAC＝∠BOC＝6°.

(2)如图②所示，∠AOB＝72°，∠AOC＝60°，∴∠OAB＝54°，∠OAC＝60°，∴∠BAC＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D.

14．B　[解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 .如图，根据三角形内切圆的性质可得CD＝CE＝r，AD＝BE＝AO＝BO＝2 －r，∴AB＝AO＋BO＝4 －2r＝4，解得r＝2 －2.故选B.

15．A　[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝1；

如图②，∵OB＝2，∴OE＝；

如图③，∵OA＝2，∴OD＝，

则该三角形的三边长分别为1，，.

∵12＋()2＝()2，

∴该三角形是直角三角形，

∴该三角形的面积是×1×＝.

故选A.

16．2π＋4　[解析] 如图，连接HO，并延长交BC于点P，连接EO，并延长交CD于点M.

∵正方形ABCD外切于⊙O，

∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，

∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB＝90°.

又∵∠OFB＝90°，∴点P与点F重合，

∴HF为⊙O的直径，

同理：EG为⊙O的直径．

由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形DGOH为正方形．

同理：四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，

∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，

∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝2 ，

则阴影部分面积＝S⊙O＋S△HGF

＝·π·22＋×2 ×2

＝2π＋4.

故答案为2π＋4.

17．解：如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.

在Rt△OAH中，设OA＝R，则OH＝R，由勾股定理可得AH＝＝＝ R.

而△ACE的面积是△OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48 ，解得R＝8，

即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.

18．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.

图①

∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.

又∵BM＝CN，OB＝OC，

∴△OBM≌△OCN，

∴∠BOM＝∠CON，

∴∠MON＝∠BOC＝120°.

方法二：如图②，连接OA，OB.

图②

∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.

∵BM＝CN，∴AM＝BN.

又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，

∴∠AOM＝∠BON，

∴∠MON＝∠AOB＝120°.

(2)90°　72°　(3)∠MON＝.