精品解析:2023年江苏省徐州市铜山区中考一模数学试题(解析版)
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这是一份精品解析:2023年江苏省徐州市铜山区中考一模数学试题(解析版),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年九年级第一次质量检测
数学试题
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置)
1. 实数2023的相反数是( )
A. B. 2023 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答.只有符号不同的两个数叫做互为相反数,由此即可得到答案
【详解】解: 2023的相反数是.
故选:A.
【点睛】本题考查主要考查了相反数的定义,掌握相反数的含义成为解答本题的关键.
2. 下列图形中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解:A,C,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
B选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式计算选择即可.
【详解】A、不是同类项,无法计算,故本项错误,不符合题意;
B、,故本项错误,不符合题意;
C、,故本项错误,不符合题意;
D、,故本项正确,符合题意;
故选D.
【点睛】本题考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式,熟练掌握相关知识是解题的关键.
4. 开学前,根据学校防疫要求,小宁同学连续14天进行了体温测量,结果统计如下表:
体温/℃
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数/天
3
3
4
2
2
这14天中,小宁体温的众数和中位数分别为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义进行计算即可求出结果.
详解】解:由统计表可知:
众数为:,
中位数为:,
故选:B.
【点睛】本题考查中位数和众数,熟练掌握中位数和众数的计算方法是解题的关键.
5. 如图,已知在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连结EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是( )
A. 12 B. 9 C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三线合一可得,根据垂直平分线的性质可得,进而根据∠EBC=45°,可得为等腰直角三角形,根据斜边上的中线等于斜边的一半可得,然后根据三角形面积公式即可求解.
【详解】解: AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
,
,
∠EBC=45°,
,
为等腰直角三角形,
,
,
则△EBC的面积是.
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定,垂直平分线的性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键.
6. 下列说法中,正确的是( )
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形; ②对角线相等的四边形是矩形;
③同弧或等弧所对的圆周角相等; ④半圆是弧,但弧不一定是半圆.
A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形,对角线相等的平行四边形为矩形,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可.
【详解】解:①、对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形为菱形,故该项正确;
②、对角线相等的平行四边形为矩形,故该选项错误;
③、在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,故该选项错误;
④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧,则半圆是弧,但弧不一定是半圆,故该项正确;
故选:A.
【点睛】本题考查基本概念,熟记知识点是解题关键.
7. 如图,在中,,.动点从点出发,沿线段以1单位长度/秒的速度运动,当点与点重合时,整个运动停止.以为一边向上作正方形,若设运动时间为秒,正方形与重合部分的面积为,则下列能大致反映与的函数关系的图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况,分别求出y与x的函数关系式,即可判定.
【详解】解:当时,,
此时的函数图像是在的部分,顶点为,
故C、D不符合,
当时,如图:
在中,,,
,
四边形是正方形,
,,
,
,,
此时的函数图像是在的部分,顶点为,
故选:B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像,求二次函数的解析式,采用分类讨论的思想是解决本题的关键.
8. 由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事:如图,三姐妹为了平分一块边长为2的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再拼成三个小正方形(阴影部分),则图中的长应是( )
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知,在中应用勾股定理即可求解.
【详解】解:如图,
∵地毯被平均分成3份,
∴每一个小正方形的面积为,
∴每一个小正方形的边长为,
∴,
在中,,
∵,
∴.
故选:A
【点睛】本题考查图形的拼剪,勾股定理,解直角三角形等知识,解题的关键是求出的长,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置)
9. 函数中,自变量的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解:依题意,得,
解得:,
故答案为.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑:①当函数解析式是整式时,字母可取全体实数;②当函数解析式是分式时,考虑分式的分母不能为0;③当函数解析式是二次根式时,被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.
10. 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在人民大会堂召开.在政府工作报告中指出,2022年全年国内生产总值增长,城镇新增就业人口12060000人,年末城镇调查失业率降到.其中12060000用科学记数法可以表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示,一般形式为,为正整数,且比原数的整数位数少1,据此可以解答.
【详解】解:.
故答案为:
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数,熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为,其中,是正整数,正确确定的值和的值是解题的关键.
11. 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】在此解析式中,当x增大时,y也随着增大,这样的一次函数表达式有很多,根据题意写一个即可.
【详解】解:如,y随x的增大而增大.
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】此题属于开放型试题,答案不唯一,考查了一次函数的性质,熟练掌握一次函数的增减性是解题关键.
12. 若关于的一元二次方程有实数根,则实数k的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有实数根,可得再解不等式可得答案.
【详解】解: 关于的一元二次方程有实数根,
∴, 即
解得: .
故答案为:.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
13. 如图所示的电路中,当随机闭合开关中的两个时,能够让灯泡发光的概率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得:随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,有3种方法,其中有两种能够让灯泡发光,故其概率为.
【详解】解:因为随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,有3种方法,
分别为:;;;
其中有2种能够让灯泡发光,分别是;;
所以P(灯泡发光)=.
故本题答案为:.
【点睛】本题考查是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
14. 将半径为6cm,圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为______cm.
【答案】2
【解析】
【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析,即可得到答案.
【详解】解:根据题意,得圆锥底面周长cm,
∴这个圆锥底面圆的半径cm,
故答案为:2.
【点睛】本题考查了扇形、圆锥的知识;解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质,从而完成求解.
15. 如图,△ABC的边BC长为4cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′,且BB′⊥BC,则阴影部分的面积为______.
【答案】8
【解析】
【分析】根据平移的性质即可求解.
【详解】解:由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC,BC=B′C′,BC∥B′C′,
∴四边形B′C′CB为平行四边形,
∵BB′⊥BC,
∴四边形B′C′CB为矩形,
∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC
=S矩形B′C′CB
=4×2
=8(cm2).
故答案为:8.
【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
16. 如图,已知AB是⊙O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是______.
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD,进而求出∠AOD=60°,再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°.
【详解】∵OC⊥AB,OD为直径,
∴,
∴∠AOB=∠BOD,
∵∠AOB=120°,
∴∠AOD=60°,
∴∠APD=∠AOD=30°,
故答案为:30°.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识,掌握垂径定理是解答本题的关键.
17. 我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问:鸡翁、母、雏各几何.”意思为:一只公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,三只小鸡值1钱,现有100钱,要买100只鸡,问:公鸡、母鸡、小鸡各多少只.若已知小鸡81只,设公鸡、母鸡的只数分别为x、y,请列出关于x、y的二元一次方程组:______.
【答案】
【解析】
【分析】设公鸡、母鸡的只数分别为x、y,根据“一只公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,三只小鸡值1钱,现有100钱,要买100只鸡”,列出方程组,即可求解.
【详解】解:设公鸡、母鸡的只数分别为x、y,根据题意得:
.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用.明确题意,准确列出方程组是解题的关键.
18. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,BE平分∠ABC,点F在线段BE上.BF=3.过点F作FG⊥DF交BC边于点G,交BD边于点H,则GH=_____.
【答案】
【解析】
【分析】作辅助线,构建相似三角形和全等三角形,先根据△BFM是等腰直角三角形求BM和FM的长,证明△DNF≌△FMG,得DN=FM=3,NF=MG=1;再利用AD∥BC和平行线分线段成比例定理依次列比例式,求QN和QF的长,设GH=x,列方程可求得GH的长.
【详解】解:如图,过点F作BC的垂线,分别交BC、AD于点M、N,则MN⊥AD,延长GF交AD于点Q,
∵四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=6,
∴∠ABC=90°,AD∥BC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=45°,
∴△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形,
∵BF=3,BE=4,
∴EF=BE-BF=,
∴EN=NF=1,
∴DE=2,DN=3,
∴AN=BM=FM=DN=3,
∵∠DFG=∠DNF=90°,
∴∠FDN=∠GFM,
在△FDN和△GFM中,
,
∴△FDN≌△GFM(ASA),
∴NF=MG=1,
由勾股定理得:FG=FD=,
∵QN∥BC,
∴,
∴,
∴FQ=,QN=,
设GH=x,则FH=,
∵QD∥BG,
∴,
∴.
解得,
经检验,是原方程的解,
即GH=.
故答案为:.
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形、平行线分线段成比例定理,此题应用得知识点较多,恰当地作辅助线是本题的关键,根据构建的平行线列比例式求线段的长,本题还利用了勾股定理求线段的长,从而使问题得以解决.
三、解答题(本大题共有10小题,共86分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. (1)计算:;
(2)解方程:.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)先根据零指数幂,负整数指数幂,绝对值性质化简,再计算,即可求解;
(2)先去分母,把分式方程化为整式方程,然后解出整式方程,再检验,即可求解.
【详解】解:(1)
(2)
去分母得:,
解得:,
检验:当时,,
∴原方程的解为.
【点睛】本题主要考查了零指数幂,负整数指数幂,解分式方程,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
20. (1)先化简,再求值:,其中;
(2)解不等式组:
【答案】(1),;(2)
【解析】
【分析】(1)先计算括号内的,再计算除法,然后把代入化简后的结果,即可求解;
(2)分别求出两个不等式的解集,即可求解.
【详解】解:(1)
,
当时,原式;
(2),
解不等式得:,
解不等式得:,
∴原不等式组的解集为.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,解一元一次不等式组,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
21. 有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和;乙袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字,0和2.
(1)小美从乙袋中随机取出一个小球,则小球上数字为正数的概率是______;
(2)小丽先从甲袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为x;再从乙袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为y,借助表格或树状图求的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)直接根据概率公式计算,即可求解;
(2)根据题意,列出表格可得一共有6种等可能结果,其中的有5种,再由概率公式计算,即可求解.
【小问1详解】
解:根据题意得:
小美从乙袋中随机取出一个小球,则小球上数字为正数的概率是;
故答案为:
【小问2详解】
解:根据题意,列出表格如下:
1
0
2
一共有6种等可能结果,其中的有5种,
∴的概率为.
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率,明确题意,准确画出树状图或列出表格是解题的关键.
22. 如图,已知:∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.
(1)求证:OB=OC;
(2)若AC=4,DO=1,求BC的长度.
【答案】(1)见解析 (2)2
【解析】
【分析】(1)根据HL定理先证明Rt△ABC≌Rt△DCB,再证明∠ACB=∠DBC,再利用等腰三角形两腰相等证明OB=OC
(2)通过勾股定理先算出AB长度,再求BC长度.
【详解】(1)证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC;
(2)∵Rt△ABC≌Rt△DCB,
∴AC=BD=4,
∵OB=OC,
∴OA=OD=1,
∴OB=OC=3,
在Rt△OAB中,AB==2,
在Rt△ABC中,BC==2.
【点睛】本题考查HL定理和勾股定理的应用,掌握这两个定理是本题关键.
23. 为创建“绿色校园”,某学校准备将校园内一块长34m,宽20m的长方形空地建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草如图所示,要使种植花草的面积为608m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
【答案】小道进出口的宽度应为1米.
【解析】
【分析】设小道进出口的宽度为x米,然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可.
【详解】设小道进出口的宽度为x米,依题意得
(34﹣2x)(20﹣x)=608,
整理,得x2﹣37x+36=0.
解得x1=1,x2=36,
∵36>20(不合题意,舍去),
∴x=1.
答:小道进出口的宽度应为1米.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程.
24. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况,需要调查来院就诊病人的两个生理指标x,y,他分别在这种疾病的患者和非患者中,各随机选取人作为调查对象,将收集到的数据整理后,绘制统计图如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这名被调查者中,
①指标x大于的有______人;
②将20名患者的指标y的平均数记作,方差记作,名非患者的指标y的平均数记作,方差记作,则______,______(填“>”,“=”或“<”);
(2)来该院就诊的名非患者中,估计指标x低于的大约有______人;
(3)若将“指标x低于,且指标y低于”作为判断是否患有这种疾病的依据,则发生漏判的概率是多少?
【答案】(1)3;,
(2)100 (3)
【解析】
【分析】(1)根据图象,数出直线上方的人数即可;由图象可得:20名患者的指标y的取值范围是,名非患者的指标y的取值范围是,位置相对比较集中,因此即可求解.
(2)利用样本估计总体,用乘样本中非患者指标x低于所占百分比即可.
(3)数出指标x低于,且指标y低于的人数,而患者有人,求出患病的概率即可求出答案.
【小问1详解】
解:①根据图象可得,指标x大于的有3人,
故答案为:3.
②由图象可得:20名患者的指标y的取值范围是,名非患者的指标y的取值范围是,位置相对比较集中,
∴,,
故答案为:,.
【小问2详解】
解:由图象可得,调查的名非患者中,指标x低于的有4人,
∴来该院就诊的500名非患者中,指标x低于的大约(人),
故答案为:.
【小问3详解】
解:由图象可得,指标x低于,且指标y低于的有人,而患者有人,
则发生漏判的概率是:.
【点睛】本题考查了平均数、方差的意义,利用样本估计总体,以及概率公式,从图中获取有用信息是解题关键.
25. 如图,在中,,以为直径的⊙与交于点,连接.
(1)求证:;
(2)若⊙与相切,求的度数;
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点.(不写作法,保留作图痕迹)
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)作图见详解
【解析】
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明;
(2)根据切线的性质可以得到,然后在等腰直角三角形中即可求解;
(3)根据等弧所对的圆周角相等,可知可以作出AD的垂直平分线,的角平分线,的角平分线等方法均可得到结论.
【小问1详解】
证明:∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴.
【小问2详解】
∵与相切,
∴,
又∵,
∴.
【小问3详解】
如下图,点就是所要作的的中点.
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等,理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键.
26. 我市一4A级风景区(如图1)为了缅怀在宿北大战中献身革命先烈,在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”.学完了三角函数知识后,某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度.如图2,已知,斜坡的坡度为,斜坡的水平长度为24米,在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”,在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为,在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为.求:
(1)坡顶A到地面的距离;
(2)求碑亭的高度(结果保留根号).
【答案】(1)10米 (2)米
【解析】
【分析】(1)过点A作于点D,根据斜坡的坡度为,可求出米,即可求解;
(2)过点C作于点E,则米,设米,在和中,利用锐角三角函数,即可求解.
【小问1详解】
解:如图,过点A作于点D,
∵斜坡的坡度为,斜坡的水平长度为24米,
∴米,
即坡顶A到地面的距离10米;
【小问2详解】
解:过点C作于点E,则米,
设米,
在中,,
即,
解得:,
在中,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
即,
解得:,
即碑亭的高度为米.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,明确题意,准确构造直角三角形是解题的关键.
27. 问题背景:
一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知AD是△ABC的角平分线,可证=.小慧的证明思路是:如图2,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明=.
(1)尝试证明:请参照小慧提供的思路,利用图2证明=;
(2)应用拓展:如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.
①若AC=1,AB=2,求DE的长;
②若BC=m,∠AED=,求DE的长(用含m,的式子表示).
【答案】(1)详见解析
(2)①DE=;②
【解析】
【分析】(1)利用AB∥CE,可证得,即,由AD平分∠BAC,可知AC=EC,即可证得结果;
(2)利用(1)中的结论进行求解表示即可.
【小问1详解】
解:∵AB∥CE,
∴∠BAD=∠DEC,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠DEC,
∴AC=EC,
∵∠BDA=∠CDE,
∴,
∴,
即,
∴;
【小问2详解】
①由折叠可知,AD平分∠BAC,CD=DE,
由(1)得,,
∵AC=1,AB=2,
∴,
∴,
解得:CD=,
∴DE= CD=;
②由折叠可知∠AED=∠C=,
∴,
由①可知,
∴,
∴,
即:.
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用,灵活转化比例关系是解题的关键.
28. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-交y轴与点C,点E是直线AB上的动点,过点EF∥y轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______;
(2)在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
(3)在(2)的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为圆E上一动点,求AM+CM的最小值.
【答案】(1);(2)运动到x轴时,此时,;(3)
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可;
(2)先判断出要以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,只有为对角线,利用中点坐标公式建立方程即可;
(3)先取的中点,进而判断出,即可得出,连接交圆于点,再求出点的坐标即可得出结论.
【详解】解:(1)将点代入抛物线解析式可得:
,解得
抛物线的解析式为
(2)设直线解析式为
将代入得,解得
由题意可得:
设,,则
∵,,
∴为直角三角形,
结合图形可得,以A,E,F,H为顶点矩形为矩形,为矩形的对角线
由矩形的性质可得,线段的中点重合
则,
解得,
∴,
由E点坐标可知,E在x轴上
(3)取的中点,如下图:
由(2)可知,,,
∴
∴
连接交圆于点,连接
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴,当三点共线时,等号成立
设,
化简得
解得或(舍去,在点的左边)
∴
∴
即的最小值为
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求解析式,矩形的性质,相似三角形的判定与性质,中点坐标公式,距离公式,解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解.
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