2019-2020学年四川省江油中学高一下学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2019-2020学年四川省江油中学高一下学期第三次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年四川省江油中学高一下学期第三次月考数学试题  一、单选题1．设、、，，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.【详解】对于A，由，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，，因为，，所以，即，故C正确；对于D，，因为，，所以，所以，即，故D错误；故选：C【点睛】本题主要不等式的性质以及作差法比较大小，属于基础题.2．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据关于的不等式的解集是，得出，从而求出的取值范围.【详解】∵关于的不等式的解集是，∴，即，解得，∴实数取值范围是，故选：C.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立的问题，解题时通常用判别式来解答，是基础题目.3．设是等差数列的前项和,若,则A． B． C． D．【答案】A【解析】，，选A. 4．设向量，满足，，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知求得，开方得答案．【详解】解：，，，则．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，属于基础题．5．已知实数满足约束条件，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图像，即可得出结果.【详解】画出约束条件所表示的平面区域如下，因为可化为，则表示直线在轴上的截距，由图像可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，由得，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.6．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（    ）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.7．设，.若是与的等比中项，则的最小值（    ）A．2 B．4 C． D．8【答案】B【解析】是与的等比中项，可得．利用及其基本不等式的性质即可得出．【详解】解：是与的等比中项，，．，．，当且仅当时取等号．的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A、C之间的距离为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，，利用正切函数的定义求得，；在中，利用余弦定理求得，然后利用勾股定理求解.【详解】，，；在中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为.故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．在中，若，则的形状一定是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】首先利用正弦定理求得，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】解：已知：，利用正弦定理：，解得：，即，所以：或，解得：或所以：的形状一定是等腰或直角三角形故选：D．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题．10．如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为（   ）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解析】试题分析：原几何体为有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是边长为1的正方形，垂直于底面的侧棱长也为1，因此，该几何体可以补形为一个棱长为1的正方体，其外接球就是这个正方体的外接球，直径为正方体的对角线长，即2R＝，故R＝故外接球表面积为：4πR2＝3π.【考点】三视图，几何体的外接球及其表面积11．已知O是内部一点，，且，则的面积为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得点为三角形的重心，故得的面积为面积的．再根据得到，故可得的面积，进而得到所求．【详解】∵，∴，∴点为三角形的重心，∴的面积为面积的．∵，，∴，∴的面积为，∴的面积为．故选A．【点睛】解答本题的关键是根据条件得到点为三角形的重心，进而得到的面积比，然后根据三角形的面积公式求解，体现了向量具有“数”和“形”两方面的性质．12．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点D为原点，DA、DC、 分别为 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P坐标为 ，则 设 的夹角为，所以 ，所以当 时， 取最大值 ．当 时， 取最小值．因为 ．故选D．【点睛】因为，所以求 夹角的取值范围．建立坐标系，用空间向量求夹角余弦，再求最大、最小值．  二、填空题13．不等式的解集为，则        ．【答案】【解析】试题分析：由一元二次方程与一元二次不等式之间的关系可知，方程的两根是，所以因此.【考点】一元二次方程与一元二次不等式之间的关系.14．正项等比数列中，若，则________.【答案】4【解析】由正项等比数列中，可得，再利用对数运算性质即可得出．【详解】由正项等比数列中，可得，因为正项等比数列中 ，则．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．在ABC中，，，则_____．【答案】﹣8【解析】先根据平面向量的减法运算可知，再代入原等式化简，并结合数量积的运算即可得解．【详解】解：∵，，∴.故答案为：﹣8．【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知函数，点为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则________.【答案】【解析】利用平面向量数量积的坐标运算与同角三角函数的基本关系求得，可得出，进而利用裂项求和法可求得所求代数式的值.【详解】，则点，则，由平面向量的数量积的坐标运算可得，，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用裂项相消法求和，同时也考查了平面向量数量积以及同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题17．已知向量，与向量（1）当为何值时，；（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．【解析】（1）由计算；（2）由计算；（3）由模的坐标运算表示出，然后由二次函数性质得结论．【详解】（1），，所以时，；（2）由题意，，所以；（3）由已知，所以，所以时，取得最小值3，此时．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．18．已知的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解；（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.【详解】（1），，由正弦定理：得，由于，．，．（2）由余弦定理，得，又，①又的面积为，，即②由①②得，则，得．的周长为．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点． （1）求证：；     （2）求证：平面；（3）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论；（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．已知数列的前项和为，满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出，原式变形得，再写一项，两式作差即可求解的通项公式；（2）由（1）结合裂项公式得，再采用叠加法即可求证【详解】（1）由得，，∴，由得，，∴，，∴，即，∴，即数列是首项为1，公差为4的等差数列，∴.（2）由（1）得，则，当时，成立，当时，，∴.【点睛】本题考查由与的关系式求数列的通项公式，裂项公式和累加法求证数列不等式恒成立问题，属于中档题