2020-2021学年广西桂林市第十八中学高一上学期开学考试数学试题（解析版）

2020-2021学年广西桂林市第十八中学高一上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．下列四个关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是集合中的元素，判断A选项正确；因为与是两个集合，判断B选项错误；因为是集合中的元素，判断C选项错误；因为数不在集合中，判断D选项错误.

【详解】

解：A选项：因为是集合中的元素，所以，故A选项正确；

B选项：与是两个集合，集合之间没有属于关系，故B选项错误；

C选项：因为是集合中的元素，所以，故C选项错误；

D选项：因为集合中的元素是点，数不在集合中，故D选项错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用根式和分式的性质可得：，解不等式结合选项得出答案．

【详解】

令，解得，则函数的定义域为

故选：D

【点睛】

本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．

3．已知集合，则的真子集共有（    ）个

A．3 B．4 C．6 D．7

【答案】D

【解析】写出集合，即可确定真子集的个数.

【详解】

因为，所以其真子集个数为.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.

4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．

【考点】本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．

点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．

5．已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，阴影部分区域所表示的集合为，利用补集和交集的定义可求得所求集合.

【详解】

已知是实数集，集合，，则，

阴影部分表示的集合是.

故选：B.

【点睛】

本题考查补集与交集的混合运算，同时也考查了利用韦恩图表示集合，考查计算能力，属于基础题.

6．如图，A,B,C是函数的图象上的三点，其中A，B，C，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】根据所给函数y＝f（x）的图象上的点B，C的坐标即可求出f[f（3）]＝1．

【详解】

解：根据图像可知，f（3）＝2，f（2）＝1，

∴f[f（3）]＝f（2）＝1．

故选B．

【点睛】

本题考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，属于基础题．

7．若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分，和讨论，当时，比较对称轴和区间端点的关系，列出不等式得出答案．

【详解】

当时，在区间上是单调递增的，符合题意；

当时，舍去；

当时，在区间上是单调递增，则，解得；

综上可得，实数的取值范围是

故选：D

【点睛】

本题考查二次函数的性质，考查单调性的应用，考查分类讨论思想，属于基础题．

8．函数，则的最大值和最小值分别为（    ）

A．10，6 B．10，8 C．10，6 D．10，7

【答案】A

【解析】分当和时，分别判断函数的单调性，计算函数的最值，可得出的最大值和最小值．

【详解】

当时，在上单调递增，则最大值为，最小值为

当时，在上单调递增，则最小值为，最大值小于

综上可得，的最大值和最小值分别为

故选：A

【点睛】

本题考查分段函数的性质，考查函数的单调性和最值，属于基础题．

9．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】先根据题意建立不等式组，再求解出，最后给出选项即可.

【详解】

解：因为函数在上是增函数，

所以，解得，则

故选：D.

【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，是基础题

10．已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出函数的定义域，在定义域内找到函数内层函数的递减区间即为答案．

【详解】

令所以函数的定义域为

根据复合函数的单调性：同增异减,要找的单调递增区间，即找函数的单调递减区间为,

故选C

【点睛】

本题考查复合函数的单调性：同增异减．需要注意的是定义域优先原则．属于基础题．

11．已知，则在区间上的最大值和最小值之和等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】利用分离参数思想得，设，判断在为奇函数，的最值之和为0，即可得到所求的最值之和．

【详解】

设，则函数为奇函数，因此在区间上的最大值和最小值之和为0，可得在区间上的最大值和最小值之和为2，故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的最值求法，注意运用构造函数和奇函数的性质，考查运算能力，属于基础题．

12．设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

【答案】A

【解析】由已知中函数，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间，，集合，，我们可以构造满足条件的关于，的方程组，解方程组，即可得到答案．

【详解】

，，为奇函数，

时，，时，

在上单调递减

函数在区间，上的值域也为，，则，

即，，解得，

，使成立的实数对有0对

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于，的方程组，是解答本题的关键．

二、填空题

13．因式分解______.

【答案】

【解析】解：

故答案为：

【详解】

本题考查分组分解法因式分解，属于基础题.

14．已知，2，，则实数为________．

【答案】0或1

【解析】分别令，和，并将的值代入集合检验是否符合元素的互异性，进而可得实数的值．

【详解】

当时，，符合题意；

当时，，舍去；

当时，解得或（舍），则，符合题意；

则实数为0或1

故答案为：0或1

【点睛】

本题考查集合元素的性质，考查互异性的应用，属于基础题．

15．已知函数，则等于________．

【答案】-1

【解析】令，求出的值，代入解析式中可得结果．

【详解】

令，解得，则

故答案为：-1

【点睛】

本题考查函数的表示方法，考查函数求值，属于基础题．

16．若函数是偶函数,且在上是增函数,若,则满足的实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】根据偶函数性质得出在上是减函数，由此可得不等式．

【详解】

∵是偶函数，且在上是增函数，，

∴在上是减函数，．

又，

∴，解得且．

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，由奇偶性和单调性结合起来解函数不等式，这种问题一类针对偶函数，一类针对奇函数，它们有固定的解题格式．如偶函数在上是增函数，可转化为，奇函数在上是增函数，首先把不等式转化为再转化为．

三、解答题

17．已知全集，集合，，求：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先求出或，再求出；

（2）先求出或，再求，最后求即可.

【详解】

解：（1）因为，所以或，

因为，所以

（2）因为，所以或，

因为，所以

【点睛】

本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.

18．已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2+ax+b 的部分图象如图所示:

（1）求 f（x）的解析式；

（2）在网格上将 f（x）的图象补充完整，并根据 f（x）图象写出不等式 f（x）≥1的解集．

【答案】（1）f（x）＝；（2）（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）

【解析】（1）根据函数图像，将代入解二元一次方程即可求得解析式

（2）结合图像，采用数形结合的方法，当f（x）的图像在上方时，即可求得x的取值范围

【详解】

（1）由题意知f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣3，即得a＝﹣2，b＝﹣2，

即当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x﹣2．∵f（x）是偶函数，

∴当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2+2x﹣2＝f（x），即f（x）＝x2+2x﹣2，x＜0，

即f（x）＝．

（2）对应图象如图：当f（x）＝1时，得x＝3或x＝﹣3，若f（x）≥1，得x≥3或x≤﹣3，

即不等式的解集为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）

【点睛】

本题考查用待定系数法求二次函数解析式、数形结合法求解不等式，对于高一学生来说，数形结合的思想方法要多加体会，重点培养

19．已知集合，.

（1）若，求实数的范围．

（2）若，求实数的范围；

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先判断得到，再分和两种情况讨论，最后求出实数的范围；

（2）根据题意直接分和两种情况讨论，最后求实数的范围.

【详解】

（1）因为，所以，

因为，所以，又因为，

当时，，解得，符合题意，

当时，，解得，

综上所述：若，实数的范围为：.

（2）因为，则分和讨论：

当时，则，解得；

当时，即时，因为，则或，解得，不符合题意.

综上所述：若，实数的范围为：.

【点睛】

本题考查利用集合的运算结构判断集合之间的包含关系、根据集合的包含关系求参数范围，是中档题.

20．函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝＋1.

(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(2)当x<0时，求函数f(x)的解析式．

【答案】(1)见解析 (2)见解析

【解析】（1）令，计算，由此证得在上是减函数.

（2）当时，利用函数为上的奇函数，由求得的解析式.

【详解】

(1)设0<x1<x2，由x>0时，f(x)＝＋1

得：f(x1)－f(x2)＝(＋1)－(＋1)＝，

∵0<x1<x2，∴x1x2>0，x2－x1>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(2)当x<0时，－x>0，

∵x>0时， f(x)＝＋1，

∴f(－x)＝＋1＝－＋1，

又f(x)为奇函数， f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－＋1, f(x)＝－1，

∴x>0时， f(x)＝－1.

【点睛】

本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数奇偶性求解析式，属于基础题.

21．已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）依题意，为方程的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）依题意对任意的 恒成立，当时，显然成立，当时，参变分离，利用基本不等式求出的取值范围；

【详解】

解：（1）关于的不等式的解集为，即，为方程的两解，所以解得

（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即恒成立，

①当时，不等式恒成立，此时

②当时，，

因为，所以，所以

当且仅当时，即，即时取等号，所以，

综上

【点睛】

本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.

22．已知函数．

（1）求的值域；

（2）设函数，，若对于任意，总存在，使得 成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先求分段函数在上的取值范围，再求在上的取值范围，最后写出的值域即可；

（2）先求函数在的值域，再将“对于任意，总存在，使得 成立”转化为“”，最后求实数的取值范围.

【详解】

（1）当时，令（），则，则，

因为在上单调递减，在 上单调递增，则

当时，在上是增函数，此时．

的值域为．

（2）因为函数在上单调递增，

所以函数在的值域为，

因为对于任意，总存在，使得 成立，

所以，则或

解得：或，

则实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查求分段函数的值域、利用函数单调性求最值、利用函数能成立问题求参数，还考查了转化的数学思维方式，是中档题