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广西高考数学模拟试卷(文科)
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这是一份广西高考数学模拟试卷(文科)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
2．复数z=的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（ ）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（ ）
A． B． C． D．2
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ）
A．30π B．28π C．26π D．25π
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（ ）
A．15 B．15 C．31 D．31
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．44 B．56 C．68 D．72
12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．
18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．
21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
广西高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】直接根据交集的定义即可求出．
【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，
则A∩B={0，1，2}
故选：D．
2．复数z=的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．
【解答】解：z===﹣3﹣2i，
则复数z=的虚部为﹣2，
故选：A．
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（ ）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．
【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．
故选：C．
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．
【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，
所以cosα＞0，α是第一象限角，
cosα==．
∴tanα==．
故选：B．
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【考点】线性回归方程．
【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．
【解答】解： ==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．
∴，解得m=5．
故选B．
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．
【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，
∴c＞b＞a，
故选：C．
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：由题意知： =π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），
因为，所得图象关于x=轴对称，
所以， ++φ=kπ+，k∈Z，
所以，φ=kπ﹣，k∈Z，
因为，0＜φ＜π，
所以，φ=．
可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
故选：B．
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ）
A．30π B．28π C．26π D．25π
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，
联立，解得B（5，3）；
联立，解得C（3，5）；
又A（0，2），
∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．
则圆环的面积为34π﹣4π=30π．
故选：A．
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（ ）
A．15 B．15 C．31 D．31
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．
∵a2=2﹣=a1×，
解得a1=﹣1．
则数列{an}的前10项和S10==25﹣1=31，
故选：D．
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．
【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1
∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）
即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，
故选：A．
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．44 B．56 C．68 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，
且长方体长、宽、高为4、4、6；
三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；
三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；
∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，
故选：C．
12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．
【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，
设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，
可得|F2M|===b，
即有|OM|==a，
由S=16，可得ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2，且=，
解得a=8，b=4，c=4，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．
【解答】解：根据条件：；
∴
=16+16+16
=16×3；
∴．
故答案为：．
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为 1 ．
【考点】程序框图．
【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=0，n=3
执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2
不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7
满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．
故答案为：1．
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为 ﹣4 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：an，Sn．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S8=8，a3=4．
∴8a1+d=8，a1+2d=4，
解得a1=8，d=﹣2．
∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，Sn==9n﹣n2．
则==+n﹣15，
令f（x）=﹣15，（x≥1）．
f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，
又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．
∴f（n）的最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞） ．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＞0时，，；
∵f（x）在[0，1]上单调递减；
∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；
即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；
y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；
∴a≥e2；
（2）当a=0时，f（x）=ex，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；
∴a≠0；
（3）当a＜0时，在R上单调递增；
令得，；
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；
又f（x）在[0，1]上为减函数；
∴；
∴a≤﹣e2；
∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．
【解答】（本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…
因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以，…
因为sinB≠0，所以，…
因为0＜A＜π，所以．…
（Ⅱ）由余弦定理可知：，…
所以：，
解得：． …
设BC边上的高为h，由，…
得：，…
解得：h=1． …
18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．
【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；
（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．
【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，
x2==8；
=×（1.52×4）=2.25，
=×（1×2+4×2）=2.5；…
（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，
各局的得分分别是6，6，9，9；
小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，
各局的得分分别是7，9，6，10；
则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，
它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…
其中满足条件的有：
（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…
故所求的概率为．…
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；
（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．
【解答】解：（1）连接BD，B1D1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，
∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，
∴E是B1D1的中点，
∴BE⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥BE．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，
∴S△ABC===，
∴=S△ABC•AA1==．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；
（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．
【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，
又a2﹣c2=16，
解得a=7，b=4，c=．
∴椭圆C的方程为+=1；
由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），
即有r2=65，
则圆M的方程：x2+y2=65；
（2）如图，
①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±4，
∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），
∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；
②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），
由，
得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，
整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，
∴k1k2=，
∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，
∴16﹣m2=n2﹣49，
∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．
（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．
【解答】解：（1）依题意，，
故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…
故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…
（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，
故，对∀x＞1恒成立；…
令，则，令h'（x）=0，得，
当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…
所以当时，h（x）取得最小值…
∴…
又∵，∴…
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∴AC•AD=AB•CD；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵ED∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，
∴∠CAD=∠CDE，
∵DE=4，DC=5，
∴CE=3，
∴sin∠CAD==sin∠CDE=，
∴AD=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．
（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．
∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．
（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，
∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．
【解答】解：（1）由题意得：
m2+n﹣（mn+m）
=m2﹣mn+n﹣m
=（m﹣1）（m﹣n），
∵n＞1，故m＞1，
故（m﹣1）（m﹣n）＞0，
即m2+n＞mn+m；
（2）由题意得：
+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，
当且仅当m=2n=时“=”成立．
广西高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
2．复数z=的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（ ）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（ ）
A． B． C． D．2
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ）
A．30π B．28π C．26π D．25π
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（ ）
A．15 B．15 C．31 D．31
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．44 B．56 C．68 D．72
12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．
18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．
21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
广西高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】直接根据交集的定义即可求出．
【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，
则A∩B={0，1，2}
故选：D．
2．复数z=的虚部为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．
【解答】解：z===﹣3﹣2i，
则复数z=的虚部为﹣2，
故选：A．
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（ ）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．
【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．
故选：C．
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．
【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，
所以cosα＞0，α是第一象限角，
cosα==．
∴tanα==．
故选：B．
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【考点】线性回归方程．
【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．
【解答】解： ==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．
∴，解得m=5．
故选B．
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．
【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，
∴c＞b＞a，
故选：C．
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：由题意知： =π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），
因为，所得图象关于x=轴对称，
所以， ++φ=kπ+，k∈Z，
所以，φ=kπ﹣，k∈Z，
因为，0＜φ＜π，
所以，φ=．
可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
故选：B．
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ）
A．30π B．28π C．26π D．25π
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，
联立，解得B（5，3）；
联立，解得C（3，5）；
又A（0，2），
∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．
则圆环的面积为34π﹣4π=30π．
故选：A．
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（ ）
A．15 B．15 C．31 D．31
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．
∵a2=2﹣=a1×，
解得a1=﹣1．
则数列{an}的前10项和S10==25﹣1=31，
故选：D．
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．
【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1
∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）
即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，
故选：A．
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．44 B．56 C．68 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，
且长方体长、宽、高为4、4、6；
三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；
三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；
∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，
故选：C．
12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．
【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，
设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，
可得|F2M|===b，
即有|OM|==a，
由S=16，可得ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2，且=，
解得a=8，b=4，c=4，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．
【解答】解：根据条件：；
∴
=16+16+16
=16×3；
∴．
故答案为：．
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为 1 ．
【考点】程序框图．
【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=0，n=3
执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2
不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7
满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．
故答案为：1．
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为 ﹣4 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：an，Sn．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S8=8，a3=4．
∴8a1+d=8，a1+2d=4，
解得a1=8，d=﹣2．
∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，Sn==9n﹣n2．
则==+n﹣15，
令f（x）=﹣15，（x≥1）．
f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，
又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．
∴f（n）的最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞） ．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＞0时，，；
∵f（x）在[0，1]上单调递减；
∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；
即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；
y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；
∴a≥e2；
（2）当a=0时，f（x）=ex，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；
∴a≠0；
（3）当a＜0时，在R上单调递增；
令得，；
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；
又f（x）在[0，1]上为减函数；
∴；
∴a≤﹣e2；
∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．
【解答】（本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…
因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以，…
因为sinB≠0，所以，…
因为0＜A＜π，所以．…
（Ⅱ）由余弦定理可知：，…
所以：，
解得：． …
设BC边上的高为h，由，…
得：，…
解得：h=1． …
18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．
【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；
（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．
【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，
x2==8；
=×（1.52×4）=2.25，
=×（1×2+4×2）=2.5；…
（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，
各局的得分分别是6，6，9，9；
小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，
各局的得分分别是7，9，6，10；
则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，
它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…
其中满足条件的有：
（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…
故所求的概率为．…
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；
（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．
【解答】解：（1）连接BD，B1D1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，
∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，
∴E是B1D1的中点，
∴BE⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥BE．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，
∴S△ABC===，
∴=S△ABC•AA1==．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；
（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．
【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，
又a2﹣c2=16，
解得a=7，b=4，c=．
∴椭圆C的方程为+=1；
由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），
即有r2=65，
则圆M的方程：x2+y2=65；
（2）如图，
①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±4，
∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），
∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；
②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），
由，
得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，
整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，
∴k1k2=，
∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，
∴16﹣m2=n2﹣49，
∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．
（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．
【解答】解：（1）依题意，，
故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…
故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…
（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，
故，对∀x＞1恒成立；…
令，则，令h'（x）=0，得，
当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…
所以当时，h（x）取得最小值…
∴…
又∵，∴…
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∴AC•AD=AB•CD；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵ED∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，
∴∠CAD=∠CDE，
∵DE=4，DC=5，
∴CE=3，
∴sin∠CAD==sin∠CDE=，
∴AD=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．
（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．
∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．
（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，
∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．
【解答】解：（1）由题意得：
m2+n﹣（mn+m）
=m2﹣mn+n﹣m
=（m﹣1）（m﹣n），
∵n＞1，故m＞1，
故（m﹣1）（m﹣n）＞0，
即m2+n＞mn+m；
（2）由题意得：
+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，
当且仅当m=2n=时“=”成立．
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