河南省高考数学模拟试卷与解析(文科)

这是一份河南省高考数学模拟试卷与解析(文科)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（　　）
A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i
2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
4．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（　　）

A． B． C． D．
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为　　．
14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为　　．
15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是　　．
16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为　　．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（）的值．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
年龄x（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式： =， =﹣．

19．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PM；
（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．

20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
　
河南省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（　　）
A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．
【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．
①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．
当a=1时，B={1，﹣1}，满足B⊆A．
②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，
当a=﹣1时，B={1，3}，满足B⊆A，
当a=3时，B={1，3}，满足B⊆A．
综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．
故选：B．
【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．　
3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2 •，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，
∴（）•=﹣2 =0，
（）•=﹣2 =0，∴ ==2，设与的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得 cosθ====，
∴θ=60°，
故选B．
【点评】本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．　
4．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】等比数列的性质．
【分析】利用等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得d=a1，即可求出．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，
∴a42=a2a8，
∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），
∴d2=a1d，
∵d≠0，
∴d=a1，
∴==3．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．
【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，
b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，
=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，
∵sin13°＞sin12°＞sin11°，
∴a＞c＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，
故选：B．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
【考点】数列的应用．
【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．
【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，
a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．
∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，
所以要求的概率，
所以空白框内应填入的表达式是P=．
故选：C．
【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．　
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．
【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．
【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选C．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．　
10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】利用正方体的结构特征求解．
【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，
无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．
三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；
过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；
正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，
则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；
过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．
故选：B．

【点评】本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点A到抛物线的准线的距离．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，
直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∴|AM|=6，
∴点A到抛物线的准线的距离为6
故选：A．

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；
由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；
由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；
分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，
根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．
【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；
对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，
∴f（x）有3个零点，②错误；
对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；
x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；
对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），得
x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；
∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即﹣e﹣2＜f（x）＜1；
x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=﹣1；
∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；
∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；
∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；
综上，正确的命题是①③④，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．
【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），
可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，
可得4c2=5a2
e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．　
14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为　8　．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，
则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，
则有a+2b=1；
则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；
即+的最小值为8；
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1．　
15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是　（，1）　．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，取交集即可．
【解答】解：已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），
故m＞，
令g（x）=，则g（x）在[，]递减，
故g（x）≤g（）=，
故p为真时：m＞；
q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1=（2x+1）2+m﹣2，
令f（x）=0，得2x=﹣1，
若f（x）存在零点，
则﹣1＞0，解得：m＜1，
故q为真时，m＜1；若“p且q”为真命题，
则实数m的取值范围是：（，1），
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题．
　
16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为　1﹣　．
【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），
∴动点P（a，b）满足0≤≤2且0≤•≤2，
∴，
z=（a﹣）2+（b）2，
∴作出不等式组对应的平面区域如图：
∵点P到点C的距离大于，
∴|CP|，则对应的部分为阴影部分，
由解得，
即E（，），|OE|==，
∴正方形OEFG的面积为，
则阴影部分的面积为π，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）（2017•洛阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（）的值．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx
==sin（2ωx﹣）﹣．由最小正周期得ω
（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
cosB、B，再求f（A）的取值范围
【解答】解：（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=sinωx•cosωx﹣cos2ωx
==sin（2ωx﹣）﹣．
∵最小正周期为T=π，∴，⇒ω=1．
∴f（x）=sin（2x﹣）﹣
∴f（）=sin（2×）﹣=．
（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA．
∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴．
∴A，2A﹣，∴sin（2A﹣）．
f（A）的取值范围：（﹣1，]．
【点评】本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题．
　
18．（12分）（2017•洛阳模拟）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
年龄x（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式： =， =﹣．

【考点】线性回归方程；茎叶图．
【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；
（2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8，
∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为=；
（2）=35， =3.5， ===， =﹣=．
∴=x+．
x=50时， =4.55小时．
【点评】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．
　
19．（12分）（2017•洛阳模拟）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PM；
（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的性质．
【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，证明：BD⊥平面PEM，即可证明BD⊥PM；
（2）利用等体积方法，求点A到平面PBM的距离．
【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，M分别是AD，DC的中点，
∴EM∥AC，
∴EM⊥BD．
∵PA=AD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BD，
∵EM∩PE=E，
∴BD⊥平面PEM，
∵PM⊂平面PEM，
∴BD⊥PM．
（2）解：∵PA=PD=，∠APD=90°，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM==，
∴PM=PB==2．
等边三角形DBC中，BM=，∴S△PBM=，S△ABM==．
设三棱锥A﹣PBM的高为h，则由等体积可得，
∴h=，
∴点A到平面PBM的距离为．

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题．
　
20．（12分）（2017•洛阳模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），2a=|AF1|+|AF2|=+=8，即可求方程、离心率．
（2）写出直线TN\TM的方程，得P（，得Q（0，），即|PN|=|4+|=||，|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|==．
【解答】解：（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），
∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8
∴a=4，∴b2=a2﹣c2=4，e=
椭圆C的标准方程：．e=．
（2）T（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），则．
M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：，
令y=0，得P（，
直线TN的方程：，
令x=0，得Q（0，）
则|PN|=|4+|=||
则|MQ|=|2+|=||
|PN|•|QM|==
∴|PN|•|QM|为定值16
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
　
21．（12分）（2017•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出F（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设切点（m，lnm﹣），求出f（x）的导数，由题意可得a=+，lnm﹣=ma+b，即可得到a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．
【解答】解：（1）a=2时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣﹣2x﹣b，
F′（x）=+﹣2，（x＞0），
F′（x）=，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令F′（x）＜0，解得：x＞1，
故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）：设切点（m，lnm﹣），函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=+，
即有切线的斜率为+，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，
则a=+，lnm﹣=ma+b，
即有b=lnm﹣﹣1，
a+b=lnm﹣+﹣1，
令=t＞0，则a+b=﹣lnt﹣t+t2﹣1，
令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，
则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，
当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．
即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．
则a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，
故a+b的最小值为﹣1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•洛阳模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设P（cosα， sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，利用三角函数知识即可求解．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为=1，
曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，直角坐标方程为x+y﹣6=0；
（2）设P（cosα， sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，
即=|sin（α+）﹣3|，
当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．
【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•洛阳模拟）已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m的范围，即可得出结论；
（2）利用柯西不等式，可得2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|=|m﹣3|．
当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，
令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．
解得m≤﹣3或m≤1
∴m的最大值为1．
（2）∵a+b+c=1．
由柯西不等式，≥（a+b+c）2=1，
∴，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．
即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．
【点评】本题给出等式a+b+c=1，求式子2a2+3b2+4c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．