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内蒙古高考数学模拟试卷
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这是一份内蒙古高考数学模拟试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内蒙古高考数学模拟试卷
一、选择题
1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（ ）
A．{2，3} B．∅ C．2 D．[2，3]
2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i
3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B．100 C．10 D．1
4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），=（ ）
A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20
5．若函数，则f（f（1））的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A． A B．CCC34
C． 43 D．CCC43
9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
60
根据上表可得回归直线方程为，则=（ ）
A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．13 D．
11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1﹣x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（ ）
A．a B．0 C．﹣a D．2016
二、填空题
13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 ．
14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为 ．
15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为 ．
16．已知△ABC满足A=，（ +）=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣．
（1）求证：数列{bn}是等比数列．
（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
18．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（I）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．
20．已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．
21．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
内蒙古高考数学模拟试卷试题解析
一、选择题
1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（ ）
A．{2，3} B．∅ C．2 D．[2，3]
【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集．
【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，
则A∩B={2，3}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】求出复数z即可求解结果．
【解答】解：复数z满足zi=1+i，
z===1﹣i．
z的共轭复数是：1+i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．
3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B．100 C．10 D．1
【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
m=6，n=4
满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，
输出y的值为1．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），=（ ）
A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20
【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．
【解答】解：∵ =（4，4），
∴，∴ =（﹣1，﹣5）．
∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．
故选A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
5．若函数，则f（f（1））的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
【分析】先求f（1），再求f（f（1））即可．
【解答】解：f（1）=2﹣4=﹣2，
f（f（1））=f（﹣2）
=2×（﹣2）+2=﹣2，
故选C．
【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．
6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；
当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，
综上可得：p是q的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是充要条件的概念，不等式的基本特，难度不大，属于基础题．
7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点P在直线上，得到tanα，利用万能公式和诱导公式化简得出答案．
【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，
∴sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2．
∴=﹣sin2α=﹣=．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．
8．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A． A B．CCC34
C． 43 D．CCC43
【分析】先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得．
【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：C123C93C6334，
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组，属于中档题．
9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
60
根据上表可得回归直线方程为，则=（ ）
A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，
【解答】解：由表中数据可得=165， =55，
∵（，）一定在回归直线方程上，
∴55=0.92×167+a，
解得a=﹣96.84．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．13 D．
【分析】几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形．利用勾股定理求出斜高．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，
则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=，A′B′=2．
∴棱台的上底面积为=，下底面积为=2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2=3，
梯形BCC′B′的面积为=3，
过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD=CC′=2，DE为△A′B′C′斜边高的，
∴DE=，∴AE==．∴梯形ABB′A′的面积为（）×=．
∴几何体的表面积S==13．
故选：C．
【点评】本题考查了棱台的结构特征和三视图，面积计算，属于中档题．
11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】确定N，Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线C的离心率．
【解答】解：∵MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，
∴|MN|=，
∴N（，y），
∵|F1Q|=|QN|，
∴Q是F1N的中点，
∴Q（﹣c， y），
N，Q代入双曲线C：﹣=1，可得﹣=1，﹣=1，
∴e=．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1﹣x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（ ）
A．a B．0 C．﹣a D．2016
【分析】求出函数的周期，结合函数在0＜x＜1时，f（x）递减，求出f（x）在[2015，2016]上的单调性，从而求出函数的最大值即可．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
满足f（﹣x）+f（x）=0，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（x+1）=f（1﹣x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），
即f（x+2）=﹣f（x），
f（x+4）=﹣f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递减，即f（x）在[2015，2016]递减，
∴f（x）在[2015，2016]上的最大值为f（2015），
∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），
∵f（1）=a，∴f（2015）=﹣a，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
二、填空题
13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 2 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：满足题中约束条件的可行域如图所示．
目标函数z=x+2y取得最大值，
即使得函数在y轴上的截距最大．
结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Zmax=0+2×1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解，
14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为 ．
【分析】利用三棱锥P﹣ABC的内切球的球心，将三棱锥分割成4个三棱锥，利用等体积，即可求得结论．
【解答】解：由题意，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，球心为O，则由等体积
VB﹣PAC=VO﹣PAB+VO﹣PAC+VO﹣ABC
可得=++，
∴r=．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键．
15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为 8 ．
【分析】抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，圆心到准线的距离d=，可得=2，解出即可得出．
【解答】解：抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，
圆心（﹣1，0）到准线的距离d=，
∴=2，化为： =1，m≠0，解得m=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知△ABC满足A=，（ +）=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是 [1，3] ．
【分析】由题意可知，△ABC为等边三角形，再结合题意画出图形，分M与A在BC同侧及M与A在BC异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理结合求得MA的取值范围，最后取并集得答案．
【解答】解：由△ABC满足A=，（ +）=0，
可得△ABC为等边三角形，
又点M在△ABC外，且MB=2MC=2，
如图1．若M与A在BC同侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则，
可得1﹣2cosβ=acosα，
又cosα=，
∴|MA|2=a2+1﹣2acos（α﹣60°）=5﹣4cos（β﹣60°）∈[1，7），
则|MA|∈[1，）；
如图2．若M与A在BC异侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则，
可得1﹣2cosβ=acosα，
又cosα=，
∴|MA|2=a2+1﹣2acos（α+60°）=5+4sin（β﹣60°）∈（，9]，
则|MA|∈（，3]．
综上，|MA|的最小值为1，最大值为3，
故答案为：[1，3]．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，灵活转化是解决该题的关键，题目设置难度较大．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣．
（1）求证：数列{bn}是等比数列．
（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意可得an+1﹣=3（an﹣），即为bn+1=3bn，由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，可得bn=3n﹣1，由题意可得m≥的最大值，求得f（n）==+，为递减数列，可得最大值，进而得到m的范围．
【解答】解：（1）证明：an+1=3an﹣1，
可得an+1﹣=3（an﹣），
即为bn+1=3bn，
则数列{bn}是首项为a1﹣=1，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得bn=3n﹣1，
不等式≤m对∀n∈N*恒成立，即有
m≥的最大值，
由f（n）==+，
由3n递增，可得f（n）递减，
即有f（1）取得最大值1，
则m≥1，即有m的范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用构造法，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．
18．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（I）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据这500个数据的频率分布直方图，利用组中值求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）根据这500个数据的频率分布直方图，这批日光灯管的平均寿命为50×0.05+150×0.1+250×0.15+350×0.3+450×0.15+550×0.2+650×0.05=392.5天；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，
从本批次灯泡中购买4个，X表示4个灯泡中次品的个数，则X～B（4，0.25），
∴P（X=0）=C40×（1﹣0.25）4=，
P（X=1）=C41×0.25×（1﹣0.25）3=，
P（X=2）=C42×0.252×（1﹣0.25）2=，
P（X=3）=C43×0.253×（1﹣0.25）=
P（X=4）=C44×0.254×（1﹣0.25）0=
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=1．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．
【分析】（I）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（II）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出和平面BDE的法向量，则|cos＜＞|=．即可求出a的值．
【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥AE，又AC⊂平面ACFE，AE⊂平面ACFE，AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB为x轴，y轴，过O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则B（0，，0），D（0，﹣，0），E（1，0，2），设CF=a，则F（﹣1，0，a）．
∴=（﹣1，0，a），=（0，2，0），=（﹣1，，﹣2）．
设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，
即，令z=1，得=（﹣2，0，1）．
∴cos＜＞==．
∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴=．
解得a=3或a=﹣（舍）．
∴|CF|=3．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．
20．已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．
【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；
（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．
【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，
∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，
解得：a=1，b=e﹣2；
（2）由（1）得：f（x）=ex﹣x2，
f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，
∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）max=f（1）=e﹣1；
（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），
且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，
故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，
下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，
设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，
g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，
由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴g′（ln2）＜0，
∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，
∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，
x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，
又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，
故≥x，x＞0，
由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），
∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，
∴≥x≥lnx+1，
即≥lnx+1，
∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，
即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，
当且仅当x=1时“=”成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．
21．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而=， =，由此能求出的最大值是．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．
∵圆C的参数方程是（φ为参数），
∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，
即x2+y2﹣4y=0，
∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．依题意得，点P，M的极坐标分别为和，
∴|OP|=4sinα，|OM|=，
从而==．
同理， =．
∴==，
故当时， 的值最大，该最大值是．…（10分）
【点评】本题考查与线与圆的杉坐标方程的求法，考查两组线段比值的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
内蒙古高考数学模拟试卷
一、选择题
1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（ ）
A．{2，3} B．∅ C．2 D．[2，3]
2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i
3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B．100 C．10 D．1
4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），=（ ）
A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20
5．若函数，则f（f（1））的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A． A B．CCC34
C． 43 D．CCC43
9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
60
根据上表可得回归直线方程为，则=（ ）
A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．13 D．
11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1﹣x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（ ）
A．a B．0 C．﹣a D．2016
二、填空题
13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 ．
14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为 ．
15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为 ．
16．已知△ABC满足A=，（ +）=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣．
（1）求证：数列{bn}是等比数列．
（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
18．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（I）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．
20．已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．
21．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
内蒙古高考数学模拟试卷试题解析
一、选择题
1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（ ）
A．{2，3} B．∅ C．2 D．[2，3]
【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集．
【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，
则A∩B={2，3}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】求出复数z即可求解结果．
【解答】解：复数z满足zi=1+i，
z===1﹣i．
z的共轭复数是：1+i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．
3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B．100 C．10 D．1
【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
m=6，n=4
满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，
输出y的值为1．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），=（ ）
A．﹣12 B．﹣20 C．12 D．20
【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．
【解答】解：∵ =（4，4），
∴，∴ =（﹣1，﹣5）．
∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．
故选A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
5．若函数，则f（f（1））的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
【分析】先求f（1），再求f（f（1））即可．
【解答】解：f（1）=2﹣4=﹣2，
f（f（1））=f（﹣2）
=2×（﹣2）+2=﹣2，
故选C．
【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．
6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；
当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，
综上可得：p是q的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是充要条件的概念，不等式的基本特，难度不大，属于基础题．
7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点P在直线上，得到tanα，利用万能公式和诱导公式化简得出答案．
【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，
∴sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2．
∴=﹣sin2α=﹣=．
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．
8．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种．
A． A B．CCC34
C． 43 D．CCC43
【分析】先分组，再分配，最后选组长，根据分步计数原理可得．
【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：C123C93C6334，
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的应用，分组分配问题，进行分组分析时要特别注意是否为平均分组，属于中档题．
9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
60
根据上表可得回归直线方程为，则=（ ）
A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，
【解答】解：由表中数据可得=165， =55，
∵（，）一定在回归直线方程上，
∴55=0.92×167+a，
解得a=﹣96.84．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．13 D．
【分析】几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形．利用勾股定理求出斜高．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，
则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=，A′B′=2．
∴棱台的上底面积为=，下底面积为=2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2=3，
梯形BCC′B′的面积为=3，
过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD=CC′=2，DE为△A′B′C′斜边高的，
∴DE=，∴AE==．∴梯形ABB′A′的面积为（）×=．
∴几何体的表面积S==13．
故选：C．
【点评】本题考查了棱台的结构特征和三视图，面积计算，属于中档题．
11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】确定N，Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线C的离心率．
【解答】解：∵MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，
∴|MN|=，
∴N（，y），
∵|F1Q|=|QN|，
∴Q是F1N的中点，
∴Q（﹣c， y），
N，Q代入双曲线C：﹣=1，可得﹣=1，﹣=1，
∴e=．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1﹣x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（ ）
A．a B．0 C．﹣a D．2016
【分析】求出函数的周期，结合函数在0＜x＜1时，f（x）递减，求出f（x）在[2015，2016]上的单调性，从而求出函数的最大值即可．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
满足f（﹣x）+f（x）=0，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（x+1）=f（1﹣x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），
即f（x+2）=﹣f（x），
f（x+4）=﹣f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递减，即f（x）在[2015，2016]递减，
∴f（x）在[2015，2016]上的最大值为f（2015），
∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），
∵f（1）=a，∴f（2015）=﹣a，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性、单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
二、填空题
13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 2 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：满足题中约束条件的可行域如图所示．
目标函数z=x+2y取得最大值，
即使得函数在y轴上的截距最大．
结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Zmax=0+2×1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解，
14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为 ．
【分析】利用三棱锥P﹣ABC的内切球的球心，将三棱锥分割成4个三棱锥，利用等体积，即可求得结论．
【解答】解：由题意，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，球心为O，则由等体积
VB﹣PAC=VO﹣PAB+VO﹣PAC+VO﹣ABC
可得=++，
∴r=．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键．
15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为 8 ．
【分析】抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，圆心到准线的距离d=，可得=2，解出即可得出．
【解答】解：抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，
圆心（﹣1，0）到准线的距离d=，
∴=2，化为： =1，m≠0，解得m=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知△ABC满足A=，（ +）=0，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是 [1，3] ．
【分析】由题意可知，△ABC为等边三角形，再结合题意画出图形，分M与A在BC同侧及M与A在BC异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理结合求得MA的取值范围，最后取并集得答案．
【解答】解：由△ABC满足A=，（ +）=0，
可得△ABC为等边三角形，
又点M在△ABC外，且MB=2MC=2，
如图1．若M与A在BC同侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则，
可得1﹣2cosβ=acosα，
又cosα=，
∴|MA|2=a2+1﹣2acos（α﹣60°）=5﹣4cos（β﹣60°）∈[1，7），
则|MA|∈[1，）；
如图2．若M与A在BC异侧，
设∠BMC=β，∠BCM=α，
则，
可得1﹣2cosβ=acosα，
又cosα=，
∴|MA|2=a2+1﹣2acos（α+60°）=5+4sin（β﹣60°）∈（，9]，
则|MA|∈（，3]．
综上，|MA|的最小值为1，最大值为3，
故答案为：[1，3]．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，灵活转化是解决该题的关键，题目设置难度较大．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣．
（1）求证：数列{bn}是等比数列．
（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意可得an+1﹣=3（an﹣），即为bn+1=3bn，由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，可得bn=3n﹣1，由题意可得m≥的最大值，求得f（n）==+，为递减数列，可得最大值，进而得到m的范围．
【解答】解：（1）证明：an+1=3an﹣1，
可得an+1﹣=3（an﹣），
即为bn+1=3bn，
则数列{bn}是首项为a1﹣=1，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得bn=3n﹣1，
不等式≤m对∀n∈N*恒成立，即有
m≥的最大值，
由f（n）==+，
由3n递增，可得f（n）递减，
即有f（1）取得最大值1，
则m≥1，即有m的范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用构造法，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．
18．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（I）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据这500个数据的频率分布直方图，利用组中值求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）根据这500个数据的频率分布直方图，这批日光灯管的平均寿命为50×0.05+150×0.1+250×0.15+350×0.3+450×0.15+550×0.2+650×0.05=392.5天；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，
从本批次灯泡中购买4个，X表示4个灯泡中次品的个数，则X～B（4，0.25），
∴P（X=0）=C40×（1﹣0.25）4=，
P（X=1）=C41×0.25×（1﹣0.25）3=，
P（X=2）=C42×0.252×（1﹣0.25）2=，
P（X=3）=C43×0.253×（1﹣0.25）=
P（X=4）=C44×0.254×（1﹣0.25）0=
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=1．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．
【分析】（I）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（II）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出和平面BDE的法向量，则|cos＜＞|=．即可求出a的值．
【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥AE，又AC⊂平面ACFE，AE⊂平面ACFE，AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB为x轴，y轴，过O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则B（0，，0），D（0，﹣，0），E（1，0，2），设CF=a，则F（﹣1，0，a）．
∴=（﹣1，0，a），=（0，2，0），=（﹣1，，﹣2）．
设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，
即，令z=1，得=（﹣2，0，1）．
∴cos＜＞==．
∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴=．
解得a=3或a=﹣（舍）．
∴|CF|=3．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．
20．已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．
【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；
（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．
【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，
∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，
解得：a=1，b=e﹣2；
（2）由（1）得：f（x）=ex﹣x2，
f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，
∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）max=f（1）=e﹣1；
（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），
且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，
故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，
下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，
设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，
g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，
由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴g′（ln2）＜0，
∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，
∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，
x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，
又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，
故≥x，x＞0，
由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），
∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，
∴≥x≥lnx+1，
即≥lnx+1，
∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，
即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，
当且仅当x=1时“=”成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．
21．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而=， =，由此能求出的最大值是．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．
∵圆C的参数方程是（φ为参数），
∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，
即x2+y2﹣4y=0，
∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．依题意得，点P，M的极坐标分别为和，
∴|OP|=4sinα，|OM|=，
从而==．
同理， =．
∴==，
故当时， 的值最大，该最大值是．…（10分）
【点评】本题考查与线与圆的杉坐标方程的求法，考查两组线段比值的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
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