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山东省高考数学模拟试卷(理科)
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这是一份山东省高考数学模拟试卷(理科)，共20页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
贵州省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的•）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（ ）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
2．已知复数z=，则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（ ）
A．±B．±C．±1D．±
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•= ．
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于 ．
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
贵州省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（ ）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合A，再由交集定义能求出集合A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，B={x|2＜x＜4}，
∴集合A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．
故选：D．
2．已知复数z=，则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．
【解答】解：化简可得z=
=
=
=﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，
故选：C
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故几何体的体积V==，
故选：A．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
B．根据函数零点的定义进行判断．
C．根据正态分布的大小进行求解．
D．根据方差的性质 进行判断．
【解答】解：A．由cosα≠0得α≠kπ+，则cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分不必要条件，故A错误，
B．由f（x）=0得ln|x|=0，z则|x|=1，即x=1或x=﹣1，即函数f（x）=3ln|x|的零点是1和﹣1，故B错误，
C．随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，
若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故C正确，
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故D错误，
故选：C
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知条件求出，所以该等比数列的公比为d=，由此能求出结果．
【解答】解：∵{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），
解得，
∴该等比数列的公比为d===3．
故选：C．
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由•=0得到AC⊥CB，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线AC与BD所成角的余弦值
【解答】解：∵•=0，AC=，BC=1，如图
∴AC⊥CB，
∴AC=CD=，
过点A作AE⊥CD，
在Rt△CAD和Rt△AEC，sin∠ACD===，
则AE=，CE=，
在空间四边形中，直二面角D﹣AC﹣B，
∵BC⊥AC，BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，
以C点为原点，以CD为y轴，CB为x轴，过点C与EA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
∴C（0，0，0），A（，，0），B（0，0，1），D（0，，0），
∴=（，，0），=（0，，﹣1），
∴||=， =2， •=2，
设AC与BD所成的角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（ ）
A．±B．±C．±1D．±
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），求出圆x2+y2=5的圆心，半径r=，再求出圆心到直线l：y=k（x+2）的距离d，利用过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，由勾股定理得，由此能求出k的值．
【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），
圆x2+y2=5的圆心O（0，0），半径r=，
圆心O（0，0）到直线l：y=k（x+2）的距离d=，
∵过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，
∴由勾股定理得，
即5=+3，
解得k=±1．
故选：C．
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．
【解答】解：区域D：表示矩形，面积为3．
到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=
∴所求概率为P=
故选：D．
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．
【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．
令得x=1．
当时，f'（x）＜0；
当1＜x＜e时，f'（x）＞0；
则当x=1时，f（x）min=f（1）=1+k， =max{+1+k，e﹣1+k}=e﹣1+k，
从而可得，解得k＞e﹣3，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于 ﹣270 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．
【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，
又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，
则（﹣3）5的展开式的通项为Tr+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，
令5﹣r=2，可得r=3，
则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，
故答案为﹣270．
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是 ﹣2≤a≤0 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】绘出函数图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．
【解答】解：绘制函数图象如图：
由图象可知：
要使f（x）≥ax﹣1恒成立，
只需函数g（x）=ax﹣1的图象恒在图象f（x）的下方，
∴a≤0，
设g（x）=ax﹣1与函数f（x）=x2﹣4x相切与点P（m，n），
∴m2﹣4m=（2m﹣4）m﹣1，
∴m=1，a=﹣2，
∴﹣2≤a≤0．
故答案为：﹣2≤a≤0．
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn= \frac{1}{2}﹣\frac{1}{n+2} ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，根据归纳推理得到数列{an}的通项公式，利用裂项法即可求出数列的前n项和．
【解答】解：当n=1时，a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3，
当n=2时，a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4，
当n=3时，a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5，
当n=4时，a5=a42﹣4a4+1=25﹣20+1=6，
则由归纳法可知an=n+1，
则bn==，
则数列{bn}的前n项和Sn=﹣=﹣，
故答案为：﹣
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由题意和三角函数公式化简可得cosB=，可得B=；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得b2≥，再由三角形三边关系可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B，
∴3（cosAcosC﹣sinAsinC）=2cos2B﹣2
∴3cos（A+C）=2cos2B﹣2
∴﹣3cosB=2cos2B﹣2
解得cosB=，B=；
（Ⅱ）∵a+c=1，∴由余弦定理可得
b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac
=1﹣3ac≥1﹣3（）2=，当且仅当a=c=时取等号，
∴b≥，再由三角形三边关系可得b＜a+c=1，
综合可得b的取值范围为[，1）
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．
（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，
所以甲班的学生人数为，
所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）当点M为PB的中点时，根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面ACM
（Ⅱ）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】证明：（I）设AC、BD的交点为N，连结MN，
因为M、N分别为BP、BD的中点，
所以PD∥MN，
又MN⊂平面ACM，
所以PD∥平面ACM；
（II）设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，面PCD⊥面ABCD，
所以PO⊥面ABCD，
又因为在菱形ABCD中，∠ADC=60°，
所以OA⊥CD，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（，0，0），B（，2，0），C（0，1，0），P（0，0，），
设=λ，（0＜λ＜1），
则=+=+λ=（﹣λ，1﹣2λ，λ），
=（，﹣1，0），
设平面ACM的法向量为 =（x，y，z），
由，得
令x=1，则y=，z=3﹣，即=（1，，3﹣），
又平面ABCD的法向量为==（0，0，），
所以cos＜，＞|=||==，
解得：λ=或λ=1（舍去），
所以点M为线段PB的中点．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（I）求得K的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出CK=3，从而得出p=2，进而得到抛物线方程；
（II）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；
（ii）运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．
【解答】（1）解：K（﹣，0），圆C的圆心C（2，0），半径r=1．
作MR⊥x轴于R，则|CR|==．
∵KM⊥CM，∴|MR|2=|KR|•|CR|，即，
∴|KR|=，|KC|=3．
∴2+=3，解得p=2，
∴抛物线E的方程为y2=4x；
（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，
∵=，即（）2+y1y2=，
解得y1y2=﹣18或2（舍去），
即﹣4t=﹣18，解得t=．
∴直线AB恒过定点Q（，0）．
②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，
同理|GD|=•，
则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••
=4，
令m2+=μ（μ≥2），则S=4，
∴S（μ）在[2，+∞）上是增函数．
则当μ=2时，S取得最小值88．
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x），当x∈（0，1）时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），由此可得a+=＞，从而x1+x2＞，只要求出在[3，+∞）的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得x＞0，f′（x）=﹣﹣1
=﹣=﹣．
由f′（x）=0，得x1=，x2=a．
因为a＞1，所以0＜＜1，且a＞．
所以在区间（0，）上，f′（x）＜0；在区间（，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．
即﹣﹣1=﹣﹣1，
所以a+=+=，a∈[3，+∞）．
因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜（）2恒成立，
所以＞，又x1+x2＞0，
所以a+=＞，整理得x1+x2＞，
令g（a）=，因为a∈[3，+∞），
所以a+单调递增，g（a）单调递减，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=，
可得x1+x2＞，可得线段PQ中点横坐标的取值范围是（，+∞）．
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，
解得或﹣6（舍去），则．…
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．
【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．
直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，
|PA|==2d∈．
∴|PA|的最大值与最小值分别为，．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）由g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥﹣2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，知f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，则．由当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，知，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，
∴|x+2|≤5，
∴﹣5≤x+2≤5，
解得﹣7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥﹣2的解集为{x|﹣7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，
∴f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
则h（x）=，
∴．
∵当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，
∴，解得，
所以，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]．
贵州省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的•）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（ ）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
2．已知复数z=，则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（ ）
A．±B．±C．±1D．±
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•= ．
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于 ．
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
贵州省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（本大題共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B=（ ）
A．（1，4）B．（2，4）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合A，再由交集定义能求出集合A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，B={x|2＜x＜4}，
∴集合A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．
故选：D．
2．已知复数z=，则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得．
【解答】解：化简可得z=
=
=
=﹣2+i，
∴=﹣2﹣i，
对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限，
故选：C
3．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故几何体的体积V==，
故选：A．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分必要条件
B．函数f（x）=3ln|x|的零点是（1，0）和（﹣1，0）
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
B．根据函数零点的定义进行判断．
C．根据正态分布的大小进行求解．
D．根据方差的性质 进行判断．
【解答】解：A．由cosα≠0得α≠kπ+，则cosα≠0是α≠2kπ+（k∈Z）的充分不必要条件，故A错误，
B．由f（x）=0得ln|x|=0，z则|x|=1，即x=1或x=﹣1，即函数f（x）=3ln|x|的零点是1和﹣1，故B错误，
C．随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，
若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故C正确，
D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故D错误，
故选：C
5．若{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知条件求出，所以该等比数列的公比为d=，由此能求出结果．
【解答】解：∵{an}是等差数列，公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），
解得，
∴该等比数列的公比为d===3．
故选：C．
6．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4
故选B
7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
8．在平行四边形ABCD中， •=0，AC=，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D﹣AC﹣B，则AC与BD所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由•=0得到AC⊥CB，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线AC与BD所成角的余弦值
【解答】解：∵•=0，AC=，BC=1，如图
∴AC⊥CB，
∴AC=CD=，
过点A作AE⊥CD，
在Rt△CAD和Rt△AEC，sin∠ACD===，
则AE=，CE=，
在空间四边形中，直二面角D﹣AC﹣B，
∵BC⊥AC，BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，
以C点为原点，以CD为y轴，CB为x轴，过点C与EA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
∴C（0，0，0），A（，，0），B（0，0，1），D（0，，0），
∴=（，，0），=（0，，﹣1），
∴||=， =2， •=2，
设AC与BD所成的角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
9．过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为（ ）
A．±B．±C．±1D．±
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），求出圆x2+y2=5的圆心，半径r=，再求出圆心到直线l：y=k（x+2）的距离d，利用过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，由勾股定理得，由此能求出k的值．
【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），
圆x2+y2=5的圆心O（0，0），半径r=，
圆心O（0，0）到直线l：y=k（x+2）的距离d=，
∵过点（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2=5相交于M、N两点，且线段MN=2，
∴由勾股定理得，
即5=+3，
解得k=±1．
故选：C．
10．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据题意，区域D：表示矩形，面积为3．到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率．
【解答】解：区域D：表示矩形，面积为3．
到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为+=
∴所求概率为P=
故选：D．
11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
12．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．
【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．
令得x=1．
当时，f'（x）＜0；
当1＜x＜e时，f'（x）＞0；
则当x=1时，f（x）min=f（1）=1+k， =max{+1+k，e﹣1+k}=e﹣1+k，
从而可得，解得k＞e﹣3，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于 ﹣270 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．
【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，
又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，
则（﹣3）5的展开式的通项为Tr+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，
令5﹣r=2，可得r=3，
则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，
故答案为﹣270．
15．已知函数f（x）=，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数的取值范围是 ﹣2≤a≤0 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】绘出函数图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．
【解答】解：绘制函数图象如图：
由图象可知：
要使f（x）≥ax﹣1恒成立，
只需函数g（x）=ax﹣1的图象恒在图象f（x）的下方，
∴a≤0，
设g（x）=ax﹣1与函数f（x）=x2﹣4x相切与点P（m，n），
∴m2﹣4m=（2m﹣4）m﹣1，
∴m=1，a=﹣2，
∴﹣2≤a≤0．
故答案为：﹣2≤a≤0．
16．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1，令bn=，则数列{bn}的前n项和Sn= \frac{1}{2}﹣\frac{1}{n+2} ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，根据归纳推理得到数列{an}的通项公式，利用裂项法即可求出数列的前n项和．
【解答】解：当n=1时，a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3，
当n=2时，a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4，
当n=3时，a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5，
当n=4时，a5=a42﹣4a4+1=25﹣20+1=6，
则由归纳法可知an=n+1，
则bn==，
则数列{bn}的前n项和Sn=﹣=﹣，
故答案为：﹣
三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由题意和三角函数公式化简可得cosB=，可得B=；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得b2≥，再由三角形三边关系可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B，
∴3（cosAcosC﹣sinAsinC）=2cos2B﹣2
∴3cos（A+C）=2cos2B﹣2
∴﹣3cosB=2cos2B﹣2
解得cosB=，B=；
（Ⅱ）∵a+c=1，∴由余弦定理可得
b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac
=1﹣3ac≥1﹣3（）2=，当且仅当a=c=时取等号，
∴b≥，再由三角形三边关系可得b＜a+c=1，
综合可得b的取值范围为[，1）
18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．
（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，
解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，
所以甲班的学生人数为，
所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，
在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，
ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B﹣AC﹣M的余弦值为时，试确定点M的位置．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）当点M为PB的中点时，根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面ACM
（Ⅱ）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】证明：（I）设AC、BD的交点为N，连结MN，
因为M、N分别为BP、BD的中点，
所以PD∥MN，
又MN⊂平面ACM，
所以PD∥平面ACM；
（II）设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，面PCD⊥面ABCD，
所以PO⊥面ABCD，
又因为在菱形ABCD中，∠ADC=60°，
所以OA⊥CD，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（，0，0），B（，2，0），C（0，1，0），P（0，0，），
设=λ，（0＜λ＜1），
则=+=+λ=（﹣λ，1﹣2λ，λ），
=（，﹣1，0），
设平面ACM的法向量为 =（x，y，z），
由，得
令x=1，则y=，z=3﹣，即=（1，，3﹣），
又平面ABCD的法向量为==（0，0，），
所以cos＜，＞|=||==，
解得：λ=或λ=1（舍去），
所以点M为线段PB的中点．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C：x2﹣4x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为
（Ⅰ）求抛物线E的方程
（Ⅱ）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=（其中O为坐标原点）
（i）求证：直线AB上必过定点，并求出该定点Q的坐标
（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（I）求得K的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出CK=3，从而得出p=2，进而得到抛物线方程；
（II）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；
（ii）运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．
【解答】（1）解：K（﹣，0），圆C的圆心C（2，0），半径r=1．
作MR⊥x轴于R，则|CR|==．
∵KM⊥CM，∴|MR|2=|KR|•|CR|，即，
∴|KR|=，|KC|=3．
∴2+=3，解得p=2，
∴抛物线E的方程为y2=4x；
（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，
∵=，即（）2+y1y2=，
解得y1y2=﹣18或2（舍去），
即﹣4t=﹣18，解得t=．
∴直线AB恒过定点Q（，0）．
②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，
同理|GD|=•，
则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••
=4，
令m2+=μ（μ≥2），则S=4，
∴S（μ）在[2，+∞）上是增函数．
则当μ=2时，S取得最小值88．
21．已知函数f（x）=lnx+﹣x﹣3（a＞1）
（Ⅰ）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调区间
（Ⅱ）当a≥3时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P，Q，使得曲线y=f（x）在P，Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x），当x∈（0，1）时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），由此可得a+=＞，从而x1+x2＞，只要求出在[3，+∞）的最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得x＞0，f′（x）=﹣﹣1
=﹣=﹣．
由f′（x）=0，得x1=，x2=a．
因为a＞1，所以0＜＜1，且a＞．
所以在区间（0，）上，f′（x）＜0；在区间（，1）上，f′（x）＞0．
故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．
即﹣﹣1=﹣﹣1，
所以a+=+=，a∈[3，+∞）．
因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜（）2恒成立，
所以＞，又x1+x2＞0，
所以a+=＞，整理得x1+x2＞，
令g（a）=，因为a∈[3，+∞），
所以a+单调递增，g（a）单调递减，
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=，
可得x1+x2＞，可得线段PQ中点横坐标的取值范围是（，+∞）．
[选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC
（Ⅰ）求证：BE=2AD；
（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；
（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD；…
（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，
则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，
解得或﹣6（舍去），则．…
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．
【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．
直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．
（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，
|PA|==2d∈．
∴|PA|的最大值与最小值分别为，．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知函数f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥﹣2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）由g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥﹣2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，知f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，则．由当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，知，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=﹣|x+2|+3，g（x）≥﹣2，
∴|x+2|≤5，
∴﹣5≤x+2≤5，
解得﹣7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥﹣2的解集为{x|﹣7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x﹣1|+2，g（x）=﹣|x+2|+3，
∴f（x）﹣g（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
设h（x）=|2x﹣1|+|x+2|﹣1，
则h（x）=，
∴．
∵当x∈R时，f（x）﹣g（x）≥m+2恒成立，
∴，解得，
所以，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]．
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