四川省高考数学模拟试卷与解析(理科)

这是一份四川省高考数学模拟试卷与解析(理科)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
2．已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S5=30，则a3=（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知i为虚数单位，若复数z=a2﹣1+（1+a）i（其中a∈R）为纯虚数，则=（　　）
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．3
6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（　　）
A．40 B．60 C．80 D．100
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知函数，其中ω＞0．若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．10 D．16
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B． C．bac＞abc D．logac＞logbc
10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE=120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
11．过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若=x+y，其中x，y∈R，则4x﹣y的取值范围是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中，常数项是　　．
14．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X＞4）=　　．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为　　日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
16．已知函数f（x）=（x﹣2）ex﹣+kx（k是常数，e是自然对数的底数，e=2.71828…）在区间（0，2）内存在两个极值点，则实数k的取值范围是　　．　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若b+c=2，求a的取值范围．
18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA1B1B为正方形，且AA1⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ） 若BC1∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．

21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）　
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
　
四川省高考数学模拟试卷（理科）试题解析　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），
由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，
即A=（﹣1，3），
∵B={x|x≥1}，
∴A∪B=（﹣1，+∞），
则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，
故选D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．
　
2．已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S5=30，则a3=（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．
【解答】解：由等差数列的前n项和公式及其性质可得：S5=30==5a3，
解得a3=6．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
3．已知i为虚数单位，若复数z=a2﹣1+（1+a）i（其中a∈R）为纯虚数，则=（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由已知求得a值，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z=a2﹣1+（1+a）i为纯虚数，
∴，解得：a=1．
∴z=2i，
则==．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
　
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．
【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，
所以几何体的体积为2×2×2+=8+
故选C．
【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．
　
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，
设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，
又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，
则b=，
c==2a，
故双曲线的离心率e==2；
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．
　
6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（　　）
A．40 B．60 C．80 D．100
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，②、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C63=20种选法，
剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，
则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，
剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，
则不同的放法总数是20×2×1=40；
故选：A．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．
　
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
n=2，i=0，m=48，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，
满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，
…
∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，
∴共要循环9次，故i=9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．
　
8．已知函数，其中ω＞0．若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．10 D．16
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意根据正弦函数的最大值，正弦函数的图象的对称性，可得ω•+=2kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．
【解答】解：∵函数，其中ω＞0．若对x∈R恒成立，
∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，故ω的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
　
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B． C．bac＞abc D．logac＞logbc
【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论．
【解答】解：∵0＜c＜1，a＞b＞1，
故ca＜cb，故A不成立；
故ac＞bc，ab﹣bc＞ab﹣ac，即b（a﹣c）＞a（b﹣c），即，故B不成立；
ac﹣1＞bc﹣1，ab＞0，故bac＜abc，故C不成立；
logca＜logcb＜0，故logac＞logbc，故D成立，
故选：D．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．
　
10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE=120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】如图所示，EO⊥平面ABCD，OF⊥AB，EF⊥AB，则∠EBO为BE与平面ABCD所成角，设EB=2a，求出EO=a，即可求出BE与平面ABCD所成角．
【解答】解：如图所示，EO⊥平面ABCD，OF⊥AB，EF⊥AB，
则∠EBO为BE与平面ABCD所成角，
设EB=2a，则EF=a，OF=a，
∴EO=a，
∴sin∠EBO=，
∵0＜∠EBO＜，
∴∠EBO=．
故选C．

【点评】本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．
　
11．过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设直线AB的方程为y=k（x﹣1），由，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由弦长公式得|AB|，以﹣换k得|CD|，故所求面积为S=|AB||CD|=8（+2）即可求最值．
【解答】解：设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为﹣，
直线AB的方程为y=k（x﹣1），
由，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
，
由弦长公式得|AB|==×=，
以﹣换k得|CD|=4k2+4，
∵AB、CD互相垂直
故所求面积为S=|AB||CD|=8（+2）≥8（2）≥32（当k2=1时取等号），
即面积的最小值为32．故选：B
【点评】题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用，属于中档题．
　
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若=x+y，其中x，y∈R，则4x﹣y的取值范围是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标与圆的方程；
设出点P的坐标，求出三个向量坐标，将P的坐标代入圆的方程求出4x﹣y的取值范围．
【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）
直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=；
∴以点C为圆心，以为半径的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，
设P（m，n）则=（m，n），=（2，0），=（﹣1，1）；
∴（m，n）=（2x﹣y，y）
∴m=2x﹣y，n=y，
∵P在圆内或圆上
∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，
设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得
80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，
设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7，x∈[，]，
则，
解得2≤t≤3+，
∴4x﹣y的取值范围是[2，3+]．
故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是综合题．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中，常数项是　28　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：通项公式Tr+1=x8﹣r=（﹣1）r，
令8﹣=0，解得r=6．
∴常数项==28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
14．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）=0.3，则P（X＞4）=　0.2　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X＞4）．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=2
∵P（0≤X≤2）=0.3，
∴P（X＞4）=0.5﹣0.3=0.2，
故答案为0.2．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．
　
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为　2.6　日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【考点】数列的应用．
【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．
【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．
莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An=，Bn=，
由题意可得： =，化为：2n+=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
16．已知函数f（x）=（x﹣2）ex﹣+kx（k是常数，e是自然对数的底数，e=2.71828…）在区间（0，2）内存在两个极值点，则实数k的取值范围是　（1，e）∪（e，e2）　．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，问题转化为k=ex在（0，2）的交点问题，求出k的范围即可．
【解答】解：f′（x）=（x﹣1）ex﹣k（x﹣1）=（x﹣1）（ex﹣k），
若f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
则f′（x）=0在（0，2）有2个解，
令f′（x）=0，解得：x=1或k=ex，
而y=ex（0＜x＜2）的值域是（1，e2），
故k∈（1，e）∪（e，e2），
故答案为：（1，e）∪（e，e2）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若b+c=2，求a的取值范围．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值．
（Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求范围0＜b＜2，进而可求a的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，（2分）
化简得，
整理得，即，（4分）
由于0＜B+C＜π，则，
所以．（6分）
（Ⅱ）根据余弦定理，得（8分）
=b2+c2+bc
=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）
=b2﹣2b+4
=（b﹣1）2+3．（10分）
又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，
所以a的取值范围是．（12分）
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．
　
18．（12分）（2017•资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（II）利用超几何分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由（0.005+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.009．（4分）
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.009×10=9人，
其中男生6人，女生3人．
则X的值可以为0，1，2，3.，，，．（9分）
则X分布列如下：
X
0
1
2
3
P




（10分）
所以X的期望．（12分）
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
19．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面AA1B1B为正方形，且AA1⊥平面ABC，D为线段AB上的一点．
（Ⅰ） 若BC1∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，利用线面平行的性质定理、三角形中平行线的性质即可得出．
（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系可得：平面A1CD的法向量，又平面BCC1的一个法向量=（0，0，1），利用向量夹角公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）D为AB的中点，理由如下：
连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，
因为BC1∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD=DE，
所以BC1∥DE，
故D为AB的中点．（4分）
（Ⅱ）不妨设AB=2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1，OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．
知，
则，，
设面A1CD的法向量m=（x，y，z），
由得
令x=1，得A1CD的一个法向量为，
又平面BCC1的一个法向量n=（0，0，1），
设二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角为α，
则．
即该二面角的余弦值为．（12分）

【点评】本题考查了线面垂直与平行的判定与性质定理、向量垂直与数量积的关系、平面法向量的应用、向量夹角公式、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
20．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．

【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题知b=1，由，b=1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），利用斜率计算公式即可得出．
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出．
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，可得△CEF的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由题知b=1，由，
所以a2=2，b2=1．
故椭圆的方程为． （3分）
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，
因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），
所以．（6分）
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，
由得，
解得，同理，
因为B，O，C三点共线，则由，
整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，
所以．（6分）
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，
令y=2，得，
而，
所以，△CEF的面积=
=．（8分）
由得，
则S△CEF=，当且仅当取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为．（12分）
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
　
21．（12分）（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；
（Ⅱ）令，问题转化为，设，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当 a=﹣1时，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），
则，令f'（x）=0，得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=0时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，
所以f（x）max=f（0）=0，
所以，f（x）≤0，得证．
（Ⅱ）不等式，
即为．
而
=．
令．故对任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使恒成立，
所以，
设，则，
设u（t）=t﹣1﹣lnt，知对于t≥e恒成立，
则u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，
于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，
即对于t≥e恒成立，
所以为[e，+∞）上的增函数，
所以；
设p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，
当a≥0时，p（x）为（0，+∞）上的减函数，
且其值域为R，可知符合题意．
当a＜0时，，由p'（x）=0可得，
由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数，
由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，
所以．
从而由，解得，
综上所述，a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
　
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）（2017•资阳模拟）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由消去θ化为普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由得
则曲线C1的普通方程为（x+1）2+y2=1．
又由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y．
把两式作差得，y=﹣x，代入x2+y2=2y，
可得交点坐标为为（0，0），（﹣1，1）．
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，
当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时，
直线AB的方程为x﹣y+1=0，则O到AB的距离为，
所以△OAB的面积为．（10分）
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ） 分类讨论，解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ）利用分析法证明不等式．
【解答】（Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10﹣|x+1|．
当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1，解得x≤﹣10；
当﹣9≤x≤﹣1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；
当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0．
所以原不等式的解集为{x|x≤﹣10或x≥0}．
（Ⅱ）证明：要证，即，只需证明．
则有==
==．
因为|x|2＞1，|y|2＜1，则=，
所以，原不等式得证．（10分）
【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．