北京高考数学模拟试卷-(文+理)

这是一份北京高考数学模拟试卷-(文+理)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京高考数学模拟试卷（文史类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
（1）已知i为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2）已知，则下列不等式一定成立的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）执行如图所示的程序框图，则输出的值是 （ ） 　
（A）15 （B）29 （C） 31 （D） 63

（4）“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（ ）
(A)甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙都有可能
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）已知集合，，则AIB= ．
（10）在平面直角坐标系中，已知点,,，点为边界及内部的任意一点，则的最大值为 ．
（11）已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于 .
（12）设函数则 ；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
（13）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点.设这两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标是 ；该双曲线的渐近线方程为 ．
（14）设为曲线上动点，为曲线上动点，则称的最小值为曲线,之间的距离，记作．若，，则 _____；若，，则_______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
（15）（13分）在△中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求和△的面积．







（16）（13分）已知数列是首项，公比的等比数列．设
．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．　






（17）（13分）某中学随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在和（单位:）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于的概率．








（18）（14分）如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．




（19）（14分）已知椭圆：的一个焦点坐标为.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆与轴交于，两点（点在点的上方），是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．


















（20）（13分）已知函数，．（Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.
（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．
若，且恒成立，求的取值范围．






北京高考数学模拟试卷（理工类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知i为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．23 B．31 C．32 D．63

3．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称
D．函数在区间上单调递增
5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（ ）
A．12 B． 24 C．36 D． 48
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 且．若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛第一名得分为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．双曲线的渐近线方程是 ，离心率是 ．
10．若平面向量，，且，则的值是 ．
11．等比数列{an}的前n项和为．已知，则{an}的通项公式 ， ．
12．在极坐标系中，圆被直线所截得的弦长为 ．
13．已知满足若有最大值8，则实数的值为 ．
14．已知两个集合，满足．若对任意的，存在，使得
（），则称为的一个基集．若
，则其基集元素个数的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15．（13分）在△中, 角的对边分别为，且，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△的面积．







16．（13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．






17．（14分）如图1，在△中，，，分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到△的位置，使．点为线段上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线与平面所成角的大小．






18．（13分）已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段 的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．






19．（14分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．






20．（13分）各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：
① ；② ；③是的因数（）．
（Ⅰ）当时，写出数列的前五项；
（Ⅱ）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．




北京高考数学模拟试卷（文史类）答案

题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
B
D
C
A
B
C
A
B

题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案

3

2；

；

（15）解：（Ⅰ）因为，
所以.
因为，所以，
所以. 　　　
因为，且，所以． …………6分
（Ⅱ）因为，，
所以由余弦定理，
得，即.
解得或（舍）.
所以.
． …………13分
（16）解：（Ⅰ）由已知得：.
（）.
则.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，则数列是以为首项，为公差的等差数列.
.
则.
即+.
即 (). …………13分
（17）解：（Ⅰ）根据题意，
.
解得 ．
所以样本中学生身高在内（单位:）的人数为
． ……………4分
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则

．
所以，该校男生的平均身高为． …………8分
（Ⅲ）样本中男生身高在内的人有
（个），记这两人为．
由（Ⅰ）可知，学生身高在内的人有个，记这四人为．
所以，身高在和内的男生共人．
从这人中任意选取人，有，
共种情况．
设所选两人的身高都不低于为事件，
事件包括，共种情况．
所以，所选两人的身高都不低于的概率为
． ………………13分
（18）解：（Ⅰ）在三棱柱中，，
且平面，平面，
所以平面. ………………4分
（Ⅱ）因为底面，，
所以，， 则平面.
即平面.
所以. ………9分
（Ⅲ）因为在侧面中，，，是棱的中点，
所以.则.
因为平面， 所以.
所以平面.
又平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作于，所以平面.
则 .
所以在线段上存在点，使得. …………14分
（19）解：(Ⅰ)依题意，，，所以.
则椭圆的方程为.
离心率. …………4分
(Ⅱ)设，，则，．
又，所以直线的方程为．
令，则．
又，为线段的中点，所以．
所以，，

．
因为点在椭圆上，则，所以．
则．
因此．故． ……………14分
（20）解：(Ⅰ) 函数的定义域为.
，.
（ⅰ）当时，，.
因为，所以.
即.
解得. ………………3分
(ⅱ)因为，则在上有解.
即在上有解.
设，，
则.
（1）当时，恒成立，则函数在上为增函数.
当时，取，
取，,
所以在上存在零点.
当时，存在零点，，满足题意.
（2）当时，令，则.
则在上为增函数，上为减函数.
所以的最大值为.
解得.
取，.
因此当时，方程在上有解.
所以，的最大值是. ………………8分
另解：函数的定义域为.
，.
则，.
因为，则在上有解.
即在上有解.
因为，所以.
令().
.
得.
当，，为增函数；
当，，为减函数；
所以.
所以，的最大值是. ………………8分
（Ⅱ）
.
因为为在其定义域内的两个不同的极值点，
所以是方程的两个根.
即，.
两式作差得，.
因为，由，得.则

.
令，则，由题意知:
在上恒成立，
令，
则=.
（1） 当，即时，
，，所以在上单调递增.
又，则在上恒成立.
（2） 当，即时，
时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数.
又，所以不恒小于，不合题意.
综上，. ………………13分
















北京高考数学模拟试卷（理工类）答案
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
B
B
A
C
D
C
D
C

题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案




2


4
（15）（13分）
解：（Ⅰ）因为，所以．
所以．
所以． …………7分
（Ⅱ）因为，所以．
又因为，所以．
所以． …………13分
（16）（13分）
解：（Ⅰ）根据题意得：．
解得 ． …………3分
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则


．
所以估计该市中学全体男生的平均身高为． …………7分
（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．
由已知得，随机变量的可能取值为．
所以；
；
；
．
随机变量的分布列为










因为~，所以．…………………………………13分








（17）（14分）
B
A1
F
C
E
D
Q
G
解：（Ⅰ）因为，
所以△为等边三角形．
又因为点为线段的中点，
所以．
由题可知，
所以平面．
因为平面，所以．
又，所以平面．
所以． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，如图
建立空间直角坐标系，则，，
F
A1
B
C
E
D
Q
G
x
y
z
，，，．
设平面的一个法向量为，
,，
所以即
令，所以，所以
假设在线段上存在点，使平面．
设，.
又，所以．
所以.则.
所以.
解得，.
则在线段上存在中点，使平面．
且 ……………………10分
（Ⅲ）因为，又，所以．
所以．又因为，
所以．
因为设直线与平面所成角为，
则
直线与平面所成角为. ………………………………14分
（18）（13分）
解：(Ⅰ)依题意，得．又，
在中，，所以．
所以椭圆的标准方程为． …………4分
(Ⅱ)设，，则，．
因为点在椭圆上，所以．即．
又，所以直线的方程为．
令，得．
又，为线段的中点，所以．
所以，．
因为


，
所以．． ……………………13分
（19）（14分）
解：（Ⅰ），则.
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减. …………4分
（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.
依题意，，.
于是与抛物线切于点，
由得.
所以 …………8分
（Ⅲ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时，”成立.
所以.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时，的最大值为.
综上，的最大值为. …………14分
（20）（13分）
解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分
（Ⅱ）因为，所以，
又数列的前3项互不相等，
（1）当时，
若，则，
且对，都为整数，所以；
若，则，
且对，都为整数，所以；
（2）当时，
若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；
若，则，
且对，都为整数，所以；
综上，的值为. …………8分
（Ⅲ）对于，令，
则.
又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.
当时，则.
从而.
由题设知，又及均为整数，
所以，故常数.
从而常数.
故存在正整数，使得时，为常数. ………………………………13分