八年级下学期期中考试数学试卷

八年级下学期期中数学试卷

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

1.（4分）下列是一元二次方程的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2.（4分）若是关于的方程的一个根，则的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

3.（4分）学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学参加市里举办的“汉字听写大赛”，下表是四位同学几次测试成绩的平均分和方差的统计结果，如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.（4分）在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

5.（4分）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ）

A. -1 B. -2 C. 1 D. 2

6.（4分）如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7.（4分）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（    ）

A. 测量对角线是否相互平分

B. 测量两组对边是否分别相等

C. 测量对角线是否互相垂直

D. 测量其中三个角是否是直角

8.（4分）某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人.设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为，根据题意列方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

9.（4分）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

10.（4分）如图，在四边形中，，，，，.若点，分别是边，的中点，则的长是（    ）

A. 3 B. 4 C. 2 D.

11.（4分）从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12.（4分）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2020次相遇在边（    ）上.

A.  B.  C.  D.

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13.（4分）在函数中，自变量的取值范围是___________.

14.（4分）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则它的面积是___________.

15.（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的取值范围是___________.

16.（4分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”.图为点、的“相关矩形”的示意图.现在已知点的坐标为，若点在直线上，若点，的“相关矩形”为正方形，则直线的表达式为___________.

17.（4分）如图，在平行四边形中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么__________.

18.（4分）已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个.

三、解答题：（本大题8个小题，共78分）

19.（8分）解一元二次方程

（1）；                                   （2）.

20.（8分）如图，平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点作，，垂足分别为、，延长、分别交、于、.

（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：.

21.（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，尽量呆在家，勤洗手，多运动，多看书，少熬夜.”重庆实验外国语学校为鼓励学生抗疫期间在家阅读，组织八年级全体同学参加了疫期居家海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示.

（1）本次共抽查学生__________人，并将条形统计图补充完整；

（2）读书本数的众数是___________本，中位数是__________本.

（3）在八年级2000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？

（4）在八年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率.

22.（10分）如图，直线的解析式为，它与轴交于点，直线与轴交于点，点为两条直线的交点，且点的横坐标为2.

（1）求直线的解析式；（2）求的面积.

23.（10分）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整.

（1）列表：

①__________；

②若，为该函数图象上不同的两点，则__________.

（2）描点并画出该函数的大致图象：

（3）①根据函数图象可得：该函数的最大值为__________.

②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：__________.

24.（10分）为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆实验外国语学校决定向某医药生产厂家购买防疫物资，学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元.

（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？

（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买，但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了瓶，医用酒精多订购了原计划的，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低元，消毒液单价不变，最终学校比原计划只多花费了元就完成了订购，求的值.

25.（10分）问题背景：在学习平行四边形和轴对称图形时，我们曾总结出以下结论结论1：如图1所示，过平行四边形对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的周长和面积.菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形.

结论2：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线（过圆心的直线）都是圆的对称轴，都平分圆的面积和周长.

问题探究：

（1）在图2中作一条直线，使它同时将正方形和圆都分成面积相等的两部分；

（2）如图3，点是矩形内一点，，，点与坐标原点重合，、分别位于、轴正半轴，，直线经过点将矩形分成面积相等的两部分，请直接写出直线的解析式；

（3）如图4，在平面直角坐标系中，四边形是某医院筹建的新冠肺炎患者隔离区用地示意图，，，，，.医院将隔离区护士站（其占地面积不计）设在点处，为了方便急救，准备过点修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由.

26.（12分）如图1，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，交于点，交于点.过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点.

（1）若，，求的长；

（2）如图2，连接，交于点，若，求证：.

（3）如图3，当点与点重合时，若，将沿射线方向平移，当点到达点时停止平移.当平移结束后（即点到达点时），将绕点顺时针旋转一个角度，的对应点，的对应点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，在旋转过程中，当是直角三角形，且时，直接写出的面积.

八年级下学期期中数学试卷

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

1.【解答】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意.

B、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意.

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.

D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.【解答】解：根据题意，得当时，，

解得，；

故选：D.

3.【解答】解：∵乙、丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，

∴应从乙和丙同学中选，

∵丙同学的方差比乙同学的小，

∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学；

故选：C.

4.【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，共5个球，

∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是.

故选：A.

5.【解答】解：这里，，则.

故选：B.

6.【解答】解：∵四边形是平行四边形，

∴，，，

∴，

又∵平分，

∴，

∴，

∴，

即.

故选：B.

7.【解答】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，

∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，

故选：D.

8.【解答】解：设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为，根据题意得：

，

故选：B.

9.【解答】解：∵菱形，，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：D.

10.【解答】解：连接，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵点，分别是边，的中点，

∴，

故选：B.

11.【解答】解：∵的分式方程有整数解，

∴，

∵是整数，

∴；

∵分式方程有意义，

∴或2，

∴，

∴，

∵关于的方程有实数解，

∴或，

∴使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解的值为–2，

故选：B.

12.【解答】解：设甲的速度为，正方形的边长为，他们需要秒第2020次相遇，则乙的速度为，

依题意，得：，

解得：，

∴，

又∵，

∴它们第2020次相遇在边上.

故选：A.

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13.【解答】解：由题意得，，

解得，，

故答案为：.

14.【解答】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，

∴面积.

故答案为24.

15.【解答】解：根据题意得，

解得，

∵，解得，

∴的范围为.

故答案为.

16.【解答】解：如图所示，若点在直线上，则、的“相关矩形”与轴平行的边长度为2，

设，就有，

∴，

当时，直线的表达式为；

当时，直线的表达式为；

故答案为：或.

17.【解答】解：如图，连接，，

∵将向外翻折至，其中为其对称轴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：36.

18.【解答】解：①当点菱形的边上时，

在菱形中，，则和为等边三角形，

∵点、将对角线三等分，则，

作点关于的对称点，则、、共线，

连接交于点，则此时最小，

则最小值，

过点作，交的延长线于点，

在中，，，

则，，

在中，，

则，

②当在点时，，

故在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，

那么四条边上一共8个.

故答案为：8.

三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

19.【解答】解：（1）开方得：或，

解得：，；

（2）方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，.

20.【解答】证明：（1）∵四边形是平行四边形，

∴，

即，

∵，，

∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）∵四边形是平行四边形，

∴，，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴.

21.【解答】解：（1）本次共抽查学生（人），

读书10本的学生有：（人），

补全的条形统计图如图所示，

故答案为：50；

（2）读书本数的众数是10本，中位数是（本），

故答案为：10，12.5；

（3）（人），

即读书15本及以上（含15本）的学生估计有1000人；

（4）树状图如下图所示，

一共有12种可能性，其中恰好是两位男生可能性有2种，

故恰好是两位男生分享心得的概率是.

22.【解答】解：（1）当时，，

∴，

设的表达式为，

把，代入可得，解得，

∴的表达式为；

（2）∵一次函数的图象与轴交于点，

∴，

∴.

23.【解答】解：（1）①把代入得；

②把代入得，，

解得：或，

∵，为该函数图象上不同的两点，

∴；

故答案为-1；-6；

（2）该函数的图象如图所示，

（3）根据函数的图象知，

①该函数的最大值为2；

②性质：该函数的图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；

故答案为：2，该函数的图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小.

24.【解答】解：（1）设原计划购买消毒液瓶，则原计划购买医用酒精瓶，

依题意，得：，

解得：.

答：原计划最多购买消毒液3000瓶.

（2）依题意，得：，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去）.

答：的值为50.

25.【解答】解：（1）过正方形对角线的交点和圆心作直线，如图2所示：

则将正方形和圆都分成面积相等的两部分，直线即为所求；

（2）连接、交于点，如图3所示：

∵四边形是矩形，

∴，，，，

∴，

过、作直线，则直线即为所求，

设直线的解析式为，

由题意得：，

解得：，

∴直线的解析式为；

（3）直线存在，理由如下：

过点作于点，如图4所示：

则点为矩形的对称中心，

∴过点的直线只要平分的面积即可，

∵在边上必存在点使得将面积平分.

∴直线平分梯形的面积，

即直线为所求直线；

设直线的表达式为且点，

∴即，

∴，

∵，，，，∴，，

∴直线的表达式为，则，

解得：，

∴直线的解析式为，

∴，

解得：，

∴点的坐标为，

把代入直线的解析式，得，

∴与线段的交点，

∴，

∴.

∴，

解得：，或（不合题意舍去），

∴，

∴直线的表达式为.

26.【解答】解：（1）如图1，∵四边形是菱形，

∴，，，

∴，

∴，

解得.

（2）如图2，延长交于点.

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

设，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴.

（3）当点与点重合时，则四边形和四边形都是菱形，

∴，，

∵，

∴，.

当，且时，如图3，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴.

当，且时，如图4，

则，

，

∴.

综上所述，的面积是或.

故答案为：或.