2023年湖北省荆州市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年湖北省荆州市中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在实数，，，中，无理数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各式运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是(    )A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
 
 4.  已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 5.  已知，则与最接近的整数为(    )A.  B.  C.  D. 6.  为评估一种水稻的种植效果，选了块地作试验田这块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是(    )A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数7.  如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是(    )A.
B.
C.
D. 8.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余尺；将绳子对折再量木条，木条余尺，问木条长多少尺？若设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 10.  如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  若，则 ______ ．12.  如图，为斜边上的中线，为的中点若，，则 ______ ．
13.  某校为了解学生对，，，四类运动的参与情况，随机调查了本校名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是，，，若该校有名学生，则估计有______ 人参与类运动最多．14.  如图，，点在上，，为内一点根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为______ ．
 15.  如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为______ ，结果精确到
16.  如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点若，则点的坐标是______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．18.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当时，用配方法解方程．19.  本小题分
如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接求证：．
20.  本小题分
首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高单位：数据分，，，，五组制成了如下的统计图表不完整． 组别身高分组人数根据以上信息回答：
这次被调查身高的志愿者有______ 人，表中的 ______ ，扇形统计图中的度数是______ ；
若组的人中，男女各有人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
21.  本小题分
如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
求证：是的切线；
∽；
若，，求．
22.  本小题分
荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售已知元采购种的件数是元采购种件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍．
求，饰品每件的进价分别为多少元？
若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过件时，种超过的部分按进价打折设购进种饰品件，
求的取值范围；
设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．23.  本小题分
如图，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
如图，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为，为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
如图，在中，，，延长至点，使，作的等联角和将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
确定的形状，并说明理由；
若：：，，求等联线和线段的长用含的式子表示．

 24.  本小题分
已知：关于的函数．
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是______ ；
如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线：交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点设的面积为，的面积为．
当点为抛物线顶点时，求的面积；
探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：实数，，，中，无理数是，
故选：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 2.【答案】 【解析】解：，
选项A运算正确，符合题意；
，
选项B运算错误，不符合题意；
，
选项C运算错误，不符合题意；
，
选项D运算错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方，逐项判断即可．
此题主要考查了合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方，解答此题的关键是要明确：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
 3.【答案】 【解析】解：该几何体的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
该几何体的左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
该几何体的俯视图是中心对称图形，又是轴对称图形，选项符合题意；
主视图和左视图是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
故选：．
根据组合体的三视图判断即可．
本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是掌握简单几何体的三视图及轴对称图形、中心对称图形的概念．
 4.【答案】 【解析】解：电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，、均大于，
反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是选项，
故选：．
根据题意得到电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，于是得到结论．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
 5.【答案】 【解析】解：，
而，
，
与最接近的整数，，
故选：．
根据平方差公式进行计算，然后估算即可．
本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．
 6.【答案】 【解析】解：标准差，方差能反映数据的波动程度，
故选：．
根据平均数、众数和中位数及方差的意义求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的意义．
 7.【答案】 【解析】解：延长交于，延长交于，过作，
，
，
，，
，
，
，，
，
同理：，
．
故选：．
延长交于，延长交于，过作，得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可求出的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到，由三角形外角的性质求出、的度数，即可解决问题．
 8.【答案】 【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，所列方程组为：．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：当时，，则点坐标为；
当时，，解得，则点坐标为，
则，，
绕点顺时针旋转后得到，
，，，，
即轴，轴，
点的坐标为．
故选：．
先根据坐标轴上点的坐标特征求出点坐标为，点坐标为，则，，再根据旋转的性质得，，，，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点的坐标．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图所示：

，
，，
在中，
，，
，
，
解得：，
，
，
，
的长．
故选：．
先根据垂径定理求出的长，由题意得，在中利用勾股定理即可求出的值，然后再利用三角比计算出所对的圆心角的度数，由弧长公式求出的长即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
 11.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
则，，
那么，
故答案为：．
根据绝对值及偶次幂的非负性求得，的值，然后代入中计算即可．
本题考查绝对值及偶次幂的非负性和算术平方根的定义，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：为斜边上的中线，，
，
，，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：人．
故估计有人参与类运动最多．
故答案为：．
根据用样本估计总体，列出算式计算即可求解．
本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
 14.【答案】 【解析】解：由作图知垂直平分，平分，
，，
，
，
，
平分，
点到的距离．
故答案为：．
由作图知垂直平分，平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据角平分线的性质即可得到结论．
此题主要考查了作图基本作图．以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
 15.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
解得：米，
，
解得：米，
故该校的旗杆高约为：米，
故答案为：．
分别利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度．
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解：点在双曲线上，
．
．
双曲线解析式为．
如图，作轴，轴，作，垂足分别为、、．

，
．
．
．
，
．
．
．
，
．
点的横坐标为．
又在双曲线上，

故答案为：
由题意，点，则，同时可得双曲线解析式，再作轴，作，可得，又，再结合双曲线解析式可以得解．
本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
 17.【答案】解：原式


，
，，
原式． 【解析】先进行分式的化简，再根据零指数幂，负整数指数幂求出，的值，进而代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是准确进行分式化简．
 18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且；

当时，
原方程为，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：
解得：，． 【解析】结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得的取值范围；
将代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，中需特别注意二次项的系数不为．
 19.【答案】证明：是等边的中线，
，，
，
，
，
，
，
． 【解析】根据等边三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 20.【答案】     【解析】解：这次被调查身高的志愿者有：人，
，
扇形统计图中的度数是：，
故答案为：，，；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有种，
刚好抽中两名女志愿者．
由、、、四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题；
画树状图，求得有种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
为的半径的外端点，
是的切线；
连接，

，
为直径，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：连接交于．

菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
由∽知：，
． 【解析】由四边形是菱形，，可得，，故CD是的切线；
连接，由为直径，有，可得，又，从而∽；
连接交于由菱形，，得，，，，故AC，用面积法可得，即得．
本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
 22.【答案】解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元；
由题意得：，
解得：，
购进种饰品件数的取值范围为：，且为整数；
设采购种饰品件时的总利润为元，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值是：，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值是：，
，
的最大值是，此时，
即当采购种饰品件，种饰品件，商铺获利最大，最大利润为元． 【解析】设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，结合用元采购种的件数是元采购种件数的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每台种电器的进价，再将其代入中即可求出每台种电器的进价；
利用“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍“列不等式组可得结论；
设采购种饰品件时的总利润为元，分两种情况：当时，当时，分别表示与的关系式根据增减性可解答．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 23.【答案】解：作图如下：方法不唯一

是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点作交的延长线于．

由折叠得，，，
，，
四边形为正方形，
，
又，
≌，
，
而，，
，
是等腰直角三角形．
如图，过点作于，交的延长线于，
则，

，
，
由是等腰直角三角形知：，
≌，
，，
而，
，
在中，，，
，
，
，
，，
四边形为正方形，，
，，
，
，
而，
，
解得：，
由知：，，
，
答：等联线，线段． 【解析】根据新定义，画出等联角即可；
是等腰直角三角形，过点作交的延长线于，由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明≌，得出，即可求解；
过点作于，交的延长线于，则证明≌，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出∽，根据相似三角形的性质得出，根据即可．
本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．
 24.【答案】或或 【解析】解：当时，即时，
关于的函数解析式为，
此时与轴的交点坐标为，
与轴的交点坐标为；
当时，关于的函数为二次函数，
二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
抛物线可能存在与轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与轴有一个交点与轴一个交点两种情况．
当抛物线与轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得，此时，抛物线为．
当时，，
解得，．
其图象与轴的交点坐标为．
当抛物线与轴有一个交点与轴有一个交点时，
由题意得，所对应的一元二次方程有两个相等实数根．
，
解得，
此时，
当时，，
与轴的交点坐标为，
当时，，
解得，
与轴的交点坐标为，
综上所述，若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则可取的值为，，，
故答案为：或或；
如图，设直线与交于点，
根据题意得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，点为抛物线顶点，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
的面积；
存在最大值，
理由：如图，设直线交轴于，
由得，，，，，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
当时，存在最大值，最大值为．
关于的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为与轴有两个交点且一个交点为原点；与轴有一个交点，与轴有一个交点两种情况讨论；
如图，设直线与交于点，待定系数法求得抛物线的解析式为，当时，，得到，，求得直线的解析式为，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；

如图，设直线交轴于，由得，，，，，，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．