高一第二学期期末考试数学试卷

这是一份高一第二学期期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了若等比数列满足，若不等式对于任意都成立，等内容，欢迎下载使用。
高一年级第二学期期末考试数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分36分）1．已知角满足且，则角是第        象限的角．2．在数列中，若，则_______________．3．方程的解是_____________．4．函数的最小正周期是_____________．5．若（），则          （结果用反三角函数值表示）．6．函数的最大值是          ．7．函数的单调增区间是________________．8．若等比数列满足：，且公比，则____________．9．在中,,且,则         ．10．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．11．已知函数 （，），若，且，则____________．12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，若从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分．13．“”是“函数为偶函数”的                        （    ）A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件14．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是     （    ）    A．          B．            C．          D．15．若数列对任意（）满足：，下面给出关于数列的四个命题：（1）可以是等差数列；             （2）可以是等比数列；（3）可以既是等差数列又是等比数列 （4）可以既不是等差数列又不是等比数列．则上述命题中，正确的个数是                                       （    ）A．1个            B．2个             C．3个           D．4个16．设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是                                                    (    )A．若，则对任意实数恒成立；B．若，则函数为奇函数；C．若，则函数为偶函数；D．当时，若，则 （）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知，求的值．            18．（本题满分8分）在中，分别是所对的边，若的面积是，，．求的长．            19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．              20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数，．（1）求函数的单调减区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．                  21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．                      参考答案1．三   2．   3．(填“”也对)   4．   5．  6．   7．    8．    9．10．（填“”也对）解：令，，则 ．由已知得，不等式对于任意都成立．又令 ，则 ，即 ，解得 ．所以所求实数的取值范围是．11．解法一：设 （，），则为偶函数，其图像关于轴对称，而函数 （，）的图像是由的图像向右平移一个单位得到的，所以的图像关于直线对称，的大致图像如图所示．由已知及的图像特征可得，且．由得或即或则有 或，所以（舍）或 ．由得 ．由同理得 ，所以．解法二：（特殊值法）令，解得 或或或．则．12．解：由题意知，，则 ，且 （）都是数列中的项．所以，即，因此数列是以为首项，以为公差的一个等差数列，则 ，可得 ，因此，即．13．A     14．C     15．C      16．D解：由题意得 ．若，则得 ；若，则得．于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；当时，，它为奇函数，即即命题B是真命题；当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；当时，令，则，上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．将该方程的两边同除以得，令 （），则 ，解得 （）．不妨取 ， （且），则，即 （），所以命题D是假命题．17．(本题满分8分)解法一：由得 ．…………………………………4分将代入上式，得 ，…………………………………………6分解得 ． …………………………………………………………………………7分于是 ，所以 ．………………………………8分解法二：因为，………………………………………………………2分又 …………………………………5分，…………………………………………………………7分所以． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分）解：（1）由 （）得．………………2分因为的面积是，则 ，所以 ．  ………………4分由 解得 ．  ………………………………………………………………6分由余弦定理得 ，即的长是．………………………………………………………………………………8分 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．解：（1）设等差数列的公差为（），由题意得 化简，得 ．……………………………………………………………………2分因为，所以，解得 …………………………………………4分所以 ，即数列的通项公式是 （）． ……………………………………5分（2）由（1）可得  ．……………………………………7分假设存在正整数，使得，即 ，即，解得或 (舍) ．…………………………………9分所以所求的最小值是． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．解：（1）             ………………………………………………………………3分 由 （）解得 （）．………………………………………………5分所以所求函数的单调减区间是 ，．……………6分（2）当时，，，即． ………………………………………………………………………8分令 （），则关于的方程在上有解，即关于的方程在上有解．当时，．…………………………………………………10分所以，解得 ．因此所求实数的取值范围是 ．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．解：（1）由得 化简得，，所以或．……………………………1分由解得或，，即或，．……………………………………………………2分又由解得 ，．……………………………………………………3分所以集合，或，即集合．……………………………………………………………4分（2）证明：由题意得，（且）．………………………………5分变形得  ，所以． ………………………………………………6分因为，则 ，所以 ．………………………………………………8分（3）当，则，所以．因为函数在上是偶函数，则 ．所以 ，因此当时，．……………………………………………10分由于与函数在集合上“互换函数”，所以当，恒成立．即对于任意的恒成立．即．……………………………………………………………………11分于是有，，……．上述等式相加得 ，即．………………13分当（）时,，所以 ．而，，所以当时，．…………………14分