高一上期末考试数学试卷

这是一份高一上期末考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（　　）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角已知角α终边经过点P（-4a，3a）（a＜0），则2sinα+cosα的值为（　　）A.  B.  C. 0 D. 或下列函数中，随x（x＞0）的增大，增长速度最快的是（　　）A.  B.  C.  D. 函数y=sin2x是（　　）A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数给出下列命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若||=||，则=；
③若=，则ABCD为平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有=；
⑤若=，=，则=
其中不正确的个数是（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A. 2 B.  C.  D. 为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（　　）A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度已知定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x），满足：∀x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，则方程f（x）=-x2+4x-2解的个数为（　　）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）若sinθ=-，tanθ＞0，则cosθ=______．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=______．函数的定义域为______．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=______．
 
某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间￡（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系．
Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•bt，Q=a•logat．
利用你选取的函数，求得：
（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是______；
（Ⅱ）最低种植成本是______（元/100kg）．若函数f（x）=log2x+x-k在区间（2，3）上只有一个零点，则k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）化简下列各式：
（Ⅰ）cos2（-α）；
（Ⅱ）．




   

 已知sinα=-，α，cosβ=，（，2π），试求：
（1）sin2α的值；    
（2）cos（α-β）的值．



 


 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，试用，表示向量，，和吗？


 






 在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，B=，求sinA+sinC的取值范围．






 已知线段AB和AB外点O，求证：
（Ⅰ）若M是线段AB的中点，则=（+）；
（Ⅱ）若=t（t∈R），则=（1-t）+t．






 已知函数f（x）=sincos+sin2（ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且过点（，1）
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．



 答案和解析1.【答案】B
【解析】解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；
由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．
∴取交集可得，α是第二象限角．
故选：B．
直接由三角函数的象限符号取交集得答案．
本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2.【答案】A
【解析】解：∵角α的终边经过点（-4a，3a），a＜0；
∴x=-4a，y=3a，r==-5a
∴sinα==-，cosα==，
∴2sinα+cosα=2×=；
故选：A．
利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．
本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．3.【答案】D
【解析】解：因为y=ax是指数函数，且当a＞1，底数越大，增速越快
故选：D．
根据幂函数、指数函数与一次函数的增长差异，即可得出结论．
本题考查了指数函数，幂函数与一次函数的增长差异问题，解题时应熟记基本初等函数的图象和性质．4.【答案】D
【解析】解：∵函数y=sin2x中ω=2
∴最小正周期为T==π
又∵y=sin2x满足f（-x）=-f（x）
∴函数y=sin2x是奇函数
因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数
故选：D．
根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．
本题给出三角函数式，求函数的周期与奇偶性．着重考查了三角函数的周期公式和函数奇偶性判断等知识，属于基础题．5.【答案】B
【解析】解：对于①，两个向量相等时，若它们的起点相同，则终点也相同，①错误；
对于②，若||=||，则=不一定成立，②错误；
对于③，若=，则ABCD不一定构成四边形，③错误；
对于④，平行四边形ABCD中，||=||，且方向相同，∴=，④正确；
对于⑤，若=，=，根据向量相等的定义知=，⑤正确；
综上，其中不正确的序号是①②③，共3个．
故选：B．
根据两向量相等的定义判断①错误，②错误；
根据=时ABCD不一定构成四边形，判断③错误；
根据平行四边形的定义与向量相等的定义，判断④正确；
根据向量相等的定义判断⑤正确．
本题考查了向量相等的概念与应用问题，是基础题．6.【答案】B
【解析】【分析】
本题给出扇形的圆心角和弦长，求扇形的弧长．着重考查了解直角三角形、弧长公式及其应用的知识，属于基础题．作出辅助线，利用解直角三角形求出扇形的半径，是解决问题的关键．设扇形OAB中∠AOB=2，过0点作OC⊥AB于点C，延长OC交弧AB于D点．在Rt△AOC利用三角函数的定义求出半径AO长，再代入弧长公式加以计算，可得所求弧长的值．
【解答】
解：如图所示，设扇形OAB中，圆心角∠AOB=2，过0点作OC⊥AB于点C，
延长OC，交弧AB于D点，
则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
∵Rt△AOC中，AO==，得半径r=，
∴弧AB长l=α•r=2•=．
故选B．
 7.【答案】C
【解析】解：∵函数y=cos（x+）==
∴为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度
故选：C．
先利用诱导公式化简，再利用左加右减的平移规律，即可得到结论．
本题考查诱导公式的运用，考查三角函数图象的平移，正确运用左加右减的平移规律是关键．8.【答案】D
【解析】解：由于定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x）满足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x2+4x-2，
故必存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1 ①，
∴f（a）-lna=a ②．
由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x2+4x-2，即1+lnx=-x2+4x-2，即-x2+4x-3=lnx．
故方程解的个数即函数y=-x2+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数．
数形结合可得函数y=-x2+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数为3，
故选：D．
由题意可得，存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1，求得a=1，可得f（x）的解析式，方程即-x2+4x-3=lnx．故方程解的个数，即函数y=-x2+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数，数形结合可得结论．
本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．9.【答案】
【解析】解：由已知，θ在第三象限，
∴，
∴cosθ=．
故答案为：-．
根据sin2θ+cos2θ=1可得答案．
本题主要考查简单的三角函数的运算．属于基础知识、基本运算的考查．10.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
【解析】
依题意，+=，而=2，从而可得答案．
本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．11.【答案】[2kπ-，2kπ+]，k∈Z
【解析】解：由y=，得到cosx-≥0，即cosx≥，
解得：2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，
则函数的定义域为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．
答案：[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．
根据负数没有平方根，以及余弦函数的值域确定出函数定义域即可．
此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握算术平方根定义及余弦函数的值域是解本题的关键．12.【答案】
【解析】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π-）=，
∴=，
∴ω=．
∵当x=π时，y有最小值-1，
因此×+φ=2kπ-（k∈Z）．
∵-π≤φ＜π，∴φ=．
故答案为：
根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值-1，以及-π≤φ＜π，求出φ即可．
本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意-π≤φ＜π的应用，考查计算能力．13.【答案】120   80
【解析】解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，
而函数Q=at+b，Q=a•bt，Q=a•logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，
将表格所提供的三组数据（60，116），（100，84），（180，116）分别代入Q可得，
，解得a=，b=-，c=224，
∴Q=t2-t+224，
（I）Q=t2-t+224的对称轴为t=120，开口向上，在对称轴处即t=120天时函数取最小值；
（Ⅱ）当t=120时，Q=×1202-×120+224=80；
故答案为：120，80．
由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得函数解析式；
（I）根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；
（Ⅱ）由（I）中的结论，即可得到答案．
本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．14.【答案】（3，3+log23）
【解析】解：∵函数f（x）=log2x+x-k在区间（2，3）上单调递增，
又∵函数f（x）=log2x+x-k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，
∴f（2）f（3）＜0，即（3-k）（3+log23-k）＜0，
解得3＜k＜3+log23，k的取值范围是：（3，3+log23）．
故答案为：（3，3+log23）．
由题意可得f（2）f（3）＜0，解关于k的不等式，即可．
本题考查函数零点的判定定理，涉及不等式的解法，属基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）cos2（-α）
==；
（Ⅱ）
==．
【解析】
（Ⅰ）由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简即可；
（Ⅱ）通分后由二倍角的正切得答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．16.【答案】解：（1）∵sinα=-，α，
∴cosα=-
∴sin2α=2sinαcosα=；
（2）∵cosβ=，（，2π），
∴sinβ=-
∴cos（α-β）==．
【解析】
（1）利用诱导公式、二倍角公式，即可得出结论；
（2）利用差角的余弦公式，即可得出结论．
本题考查差角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．17.【答案】解：平行四边形ABCD中，=，=，
则=-=-（+）=--，
==（-）=-，
=-=+，
=-=-+．
【解析】
根据平面向量的线性运算法则，
用、表示出、、和．
本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．18.【答案】解：sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cosA-sinA=sinA+cosA=sin．
∵A∈，∴∈，
∴sin∈．
【解析】
利用和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性即可得出．
本题考查了和差公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）如图所示：

已知线段AB和AB外点O，在△OAB中，延长OM到D，使OM=MD，
则：，
由于，
所以：=（+）；
（Ⅱ）由于：=t（t∈R），
则：，
整理得：
=（1-t）+t．
【解析】
（Ⅰ）直接利用向量的线性运算求出结果．
（Ⅱ）利用向量的线性运算和三角形法则求出结果．
本题考查的知识要点：三角形法则的应用，向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：（1）f（x）=sincos+sin2
=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）+
=sin（ωx+φ-）+，
T==π，
∴ω=2，
∵函数图象过点（，1），
∴f（）=sin（2•-+φ）+=1，即sin（+φ）=cosφ=，
∵0＜φ＜，
∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+）+，
（2）∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∴0≤sin（2x+）+≤，
即函数f（x）在区间[0，]上的值域为[0，]．