2023届初三升高一数学衔接讲义 第五讲 一元二次方程根的分布（精讲）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第五讲   一元二次方程根的分布（精讲）（解析版）

【知识点透析】

1、一元二次方程根的0分布

方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

2、一元二次方程根的k分布

3、一元二次方程根在区间的分布

【知识点精讲】

题型一 R上根的分布情况

【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___.

【答案】.

【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根

∴

∴

解得：.

【变式1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）

A．        B．       C．       D．

【答案】D

【解析】因为关于的方程有两个不等的实根

且，即：且，

解得且.故选：D.

【变式2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（    ）

A．        B．且        C．        D．且

【答案】B

【解析】由题可知：，所以，

又因为，所以且.故选：B.

题型二 根的“0”分布

【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，

所以，解得，

故实数的取值范围是.故选：C

【变式1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为_______.

【答案】

【解析】首先，

设方程的两根为，则，

所以，又，解得．

故答案为：．

【变式2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，

得，解得.

题型三 根的“k”分布

【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】令

由题可知：

则，即，故选：C

【变式1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______

【答案】

【解析】的两个根都大于

，解得

可求得实数的取值范围为，故答案为：

【变式2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，

设，

根据二次函数的性质，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

题型四 根在区间上的分布

【例4】关于x方程在内恰有一解，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】当时，，不合题意；

∴，令，有，，

要使在内恰有一个零点，

∴即可，则，故选：B

【变式1】若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．

【答案】（，＋∞）

【解析】设，

由题意，解得，

故答案为：．

【变式2】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，

由题意知，解得－<a<－2.

【变式3】．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，

因为方程在上有两个不相等的实根，

所以，

解得．

故选：．