浙江省金华市曙光学校2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com曙光学校2019—2020学年第二学期月考高一年级数学试卷

一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由交集的运算可直接得结果.

【详解】解：由集合，

得.

故选：C.

【点睛】本题考查交集的概念和运算，是基础题.

2.函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分母不为0，真数大于0，即可得到结论．

【详解】要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），

故选：C．

点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题.

3.如图，在矩形中，为中点，那么向量等于　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用是相等向量及为中点可得正确的选项．

【详解】因为，故选A．

【点睛】本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题．

4.已知数列的前项和，则（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

∵当时，，当时

∴

∴首项，公比

故选C

5.已知数列为等差数列，，则其前7项的和是（    ）

A. 36 B. 30 C. 22 D. 21

【答案】D

【解析】

【分析】

根据数列为等差数列，且，利用等差数列的性质及前n项和公式由求解.

【详解】因为数列为等差数列，且，

所以.

故选：D

【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.等比数列的各项均为正数，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

由等比数列的性质可得：，所以.

.

则，

故选B.

7.将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先将函数中x换为x-后化简即可.

【详解】化解为

故选D

【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.

8.若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】A选项，若，，，则，，所以，故A错；

B选项，若，则，故B错；

C选项，若，则，故C错；

D选项，因为，，所以，，因此，即D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查由已知条件判断不等式，熟记不等式的性质即可，属于基础题型.

9.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设的内角，，的对边分别为，，，则.若，，则用“三斜求积术”求得的的面积为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

由可得，然后由余弦定理可得，代入即可求出的面积

【详解】因为

所以，即

由余弦定理可得

所以

所以

故选：A

【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.

10.已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

关于的方程有且仅有两个不同的整数解,等价于图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，画出函数图象，利用数形结合可得结果.

【详解】

,

当且仅当时，，

方程有且仅有两个不同的整数解等价于，

有两个不同的整数解，

即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，

画出的图象，如图，

，

由图象可知，当时，即时，

图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数，

所以的取值范围是，故选A.

【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了绝对值三角不等式的应用以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题（共7小题，满分36分）

11.若函数且，，______；____________.

【答案】    (1).     (2). 1

【解析】

【分析】

首先根据两个函数值求得，再求和.

【详解】根据条件可知，解得：，

即

，

故答案为：；1

【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本计算能力，属于简单题型.

12.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则=______；____.

【答案】    (1). 2    (2). 60

【解析】

【分析】

由是与的等比中项可得,且，代入等差数列的通项公式及前项和公式,联立方程求出,从而求出的值.

【详解】设等差数列公差为.

由 得

由得.

因为,联立上述两方程,解得.

所以.

故答案为:2,60.

【点睛】本题主要考察等差数列的通项公式及前项和公式的灵活应用,利用条件建立方程组求出等差数列的关键数字和,即可解决等差数列的相关问题.

13.已知函数相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则______；______.

【答案】    (1). 2    (2). 1

【解析】

【分析】

根据题意求出函数的最小正周期,可得出的值,再利用图象的平移变换可得出解析式,进而得出结果.

【详解】由于函数相邻两个零点之间的距离是,则该函数的最小正周期为,.

将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为.即,所以

故答案为：2,1.

【点睛】本题考查利用图象平移求三角函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数,考查函数值的计算,属于基础题.

14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

由偶函数定义域关于轴对称,即可求得,由已知可判断函数在上为增函数,根据偶函数性质和函数的单调性,计算即可求得解集.

【详解】依题意,,解得:,故函数在上单调递增,

故等价于,解得:,不等式的解集为:

故答案为:1,

【点睛】本题主要考查函数的概念与性质,考查函数的单调性和奇偶性在解不等式中的应用,属于中档题.

15.已知，，与的夹角为，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

可以求出，进而求出，进行数量积的运算即可求出，从而得出的值．

【详解】解：，与的夹角为，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查向量数量积的定义的应用，考查坐标法求向量的模，属于基础题．

16.把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

,计算前10行个数，确定，再确定第10行第一个数，求出

【详解】,是的1010项

前10行一共有

第10行第一个数是 ，

故答案为:

【点睛】数列通项公式是第项与序号之间的函数关系，求某项值代入求解. 需要注意先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．

17.如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.

【详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.

故答案为：

【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18.已知平面向量，，，且，.

（1）求和；

（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件，，列方程求出、的值，可得出向量和的坐标；

（2）求出、的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量与向量夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.

【详解】（1），，，且，，，

解得，因此，，；

（2），，

则，，，

设与的夹角为，，，则.

因此，向量与向量的夹角为.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

19.已知.

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最大值和相应的x值.

【答案】（1），单调递减区间为；（2）答案见解析

【解析】

【分析】

（1）由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值.

【详解】解：，
由
（1）∴的最小正周期.
由.
得：
∴的单调递减区间为；
（2）上时，
可得：，
当，即时，函数取得最小值为.
当，即时，函数取得最大值为.
故得函数在区间上的最大值3，最小值0.

【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于基础题.

20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；

（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.

【答案】（1）60°； （2）； （3）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得，结合范围B∈（0，π），可求；
（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围，利用正弦函数的有界性即可求解．

【详解】（Ⅰ）由.，得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（Ⅲ）由题意得 .

因为0＜A＜，

所以.

故所求的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．

21.已知等差数列公差，且.

（1）求及；

（2）若等比数列满足，，求数列的前项的和.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）由条件可得，代入解方程即可；

（2）由（1）可得，通过分组求和法求数列的项的和.

【详解】解：（1）由，得，

又，

，

；

（2）由题意，即，

，

于，

故.

【点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式及前项和公式等知识，同时考查运算求解能力，是基础题.

22.已知二次函数满足且.

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）设，带入和，即可求出，，的值.

（2）首先将题意转化为时，恒成立，再求出，即可.

【详解】（1）设，

则，

所以，

解得：，.又，

所以.

（2）当时，恒成立，

即当时，恒成立.

设，.

则，.

【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.