陕西师范大学附属中学2023届高三下学期十一模理科数学试题（含解析）

陕西师范大学附属中学2023届高三下学期十一模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ）

A． B． C．0 D．1

3．若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

4．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有

A．300种 B．150种 C．120种 D．90种

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（    ）参考数据： ．

A．2.4倍 B．2.5倍 C．2.6倍 D．2.7倍

7．已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

8．已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （    ）

A．21 B．22 C． D．

12．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，若，则______．

14．已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______.

15．数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于______.

16．已知正四面体内接于球，为棱上点，满足.若存在过点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为______.

三、解答题

17．已知数列的前项的积记为，且满足.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

18．强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中．

(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．

19．如图，分别是圆台上､下底面的直径，且，点是下底面圆周上一点，，圆台的高为.

(1)证明：不存在点使平面平面；

(2)若，求二面角的余泫值.

20．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.

21．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)若存在两个极值点，，证明：

22．如图是以等边的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛（勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（规定：极径，极角），已知A，B两点的极坐标分别为，．

(1)求和的极坐标方程；

(2)已知M点的极坐标，Q是上的动点，求的取值范围．

23．已知，

(1)当时，解关于的不等式；

(2)若对，都有成立，求的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】化简集合，根据并集的定义求.

【详解】因为不等式的解集为，

所以，

函数的值域为，

所以，

所以，

故选：B.

2．B

【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．

【详解】，

复数为“等部复数”，

，

故选：B．

3．B

【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.

【详解】设圆锥的高为，底面半径为，

则，解得.

所以.

则圆锥的体积.

故选：B

4．B

【详解】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.

详解：根据题意：分两步计算

（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；

     ①分成1，1，3三组的方法有

     ②分成1，2，2三组的方法有

一共有种的分组方法；

（2）将分好的三组全排列有种方法.

则不同的派出方法有种.

故选B.

点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列．

5．D

【分析】将中含有的项都写成的形式，即可得解.

【详解】

，

所以，

所以.

故选：D.

6．B

【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，

在根据题意用，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.

【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则

由题意可知，，

，

所以

倍.

所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.

故选：B.

7．C

【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和中点公式可求的值.

【详解】设直线方程为，联立得，

设，则，

因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用弦中点求解参数时，一般利用待定系数法，结合韦达定理及中点公式可得结果，侧重考查数学运算的核心素养.

8．B

【分析】先根据题意写出平移后的解析式后，根据三角函数的奇偶性可得.

【详解】的图像向右平移个单位长度后，变为

，

因的图象关于轴对称，

所以为偶函数，

所以，,

即，,

因，所以，

故当时，实数取得最小值为，

故选：B

9．B

【分析】先判断函数的单调性，然后比较的大小，结合单调性可得答案.

【详解】因为，所以定义域为，；

易知为减函数，为增函数，所以为减函数.

因为，所以；

又，所以，所以.

故选：B.

10．A

【分析】可设，求得，运用勾股定理，可得的周长，结合，，的关系，可得，可得最大值，即可求得双曲线的离心率．

【详解】设，由代入双曲线的方程可得，

则有，，，

，，

由题意可得，

结合，上式化简可得，

当时，取得最大值4，

，，，

双曲线离心率．

故选：A．

11．C

【分析】根据题意证明，结合对称性分析运算即可.

【详解】∵为偶函数且，则，

故关于点对称，

又∵，则，

则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，

∴，

则，

又∵，

则，

故.

故选：C.

12．D

【分析】将函数有两个零点，转化为的图象有两个交点问题，利用导数判断的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数的不等关系，即可求得答案.

【详解】由题意函数有两个零点，

即，得有两个正实根，

设，则，

令，解得，当时，，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

故当时，函数取得极大值，且，

又时，；当时，；

当时，，

作出函数的大致图象，如图所示：

直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，

由题意知，又，

因为存在唯一的整数，所以，

又直线与的图象有两个交点，

由图可知：，即，

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数，因此解答时利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，列出保证条件成立的不等式，求解答案.

13．

【分析】根据两角和的正切函数公式，求得，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】由，可得，解得，即，即，

又由，所以，

因为，所以.

故答案为：.

14．

【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC，根据题意知，当时，最小，从而得出可得出的最小值．

【详解】根据题意，当时，最小；

 由，

  ，

∴ ，即，

∴ ，

∴当时，由面积法得 ，，

所以的最小值为.

故答案为：

15．

【分析】利用换底公式得到，设，则，再根据的取值范围列出符合题意的，即可得解.

【详解】因为，

所以，

设，则，

所以为的整数次幂，

因为，

所以，

故满足条件的，，，，，，，，，

故区间内的所有期盼数的和为：

．

故答案为：．

16．

【分析】设正四面体棱长为a，半径为R，求出，当截面过球心时，棱长最短，当OD垂直截面时，棱长最长，分别计算棱长能求出正四面体棱长的取值范围．

【详解】设正四面体棱长为a，球半径为R，截面圆的半径为r，则，，

设平面ABC于H，则H是的中心，且球心在上，

连接CH，并延长与AB交于点G，连接OG，OD，DH，

平面ABC，平面ABC，∴，

又，∵平面OGC，，∴平面OGC，

∵平面，∴，

，，

则，解得，

当截面过球心时，，此时棱长最短，故，，

当OD垂直截面时，棱长最长，

此时，

解得，∴，解得．

综上，a的取值范围是．

故答案为：

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】（1）因为，

当时，，即，易知，则，

当时，，所以，即，

故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）得，

则，

所以.

18．(1)，

(2)

【分析】（1）根据二项分布概率的计算公式，以及独立事件求概率的方法，即可求解恰好通过一门科目的概率；

（2）考生报考甲大学通过的科目数X服从二项分布，期望可直接利用公式求解，而考生报考甲大学通过的科目数Y需求出分布列，再求期望，根据即可求出m的取值范围

【详解】（1）解：设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，

根据题意可得，.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，

，

，

，

，

则随机变量的分布列为

，

若，则，故，即的取值范围是.

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）引入辅助线，先假设若题干成立，借此证明出底面，显然是不对的；（2）建立坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）假设存在这样的点使平面平面，是底面直径，故，作，垂足为，由于平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可证，又平面 于是平面，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和平行，于是假设矛盾，故不存在点使平面平面.

（2）过作，垂足为，下以为原点，为轴，过垂直于且落在底面的射线为轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

，，设平面的法向量，

可得，不妨取；

，，设平面的法向量，

可得，不妨取.

于是法向量的夹角为.

由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是.

20．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是.

（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.

【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，

所以，解得，.

所以椭圆的方程是.

（2）①若直线的斜率不存在时，如图，

因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.

所以点的坐标是，点的坐标是.

所以直线的方程是，

直线的方程是.

所以直线，的交点的坐标是.

所以点在直线上.

②若直线的斜率存在时，如图.

设斜率为.所以直线的方程为.

联立方程组

消去，整理得.

显然.不妨设，，

所以，.

所以直线的方程是.

令，得.

直线的方程是.

令，得.

所以

分子

.

.

所以点在直线上.

【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.

21．(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；

（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.

【详解】（1），

设．，，

①当时，，，则，在上单调递增，

②当时，，的零点为，，且，

令，得，或，令，得，

在，上单调递减，在，，单调递增，

③当时，，的零点为，

在上单调递增，在，上单调递减．

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，

不妨设，则，

要证：，只要证，

只需要证，

即证，

设，，

设函数，

，

，

，

，

在上单调递减，则，

又，

则，

则，

从而．

【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；

(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.

22．(1)，； ，

(2)

【分析】（1）先写出圆弧的普通方程，再利用转化公式求出极坐标方程；

（2）利用两点的极坐标和余弦定理得到的表达式，再利用三角函数的性质进行求解.

【详解】（1）解：因为所在圆的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为，；

因为的直角坐标是，

所以的所在的圆的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为，．

（2）解：因为Q是上的动点，

所以设，，

在中，由余弦定理得，

，

由，得，

所以，

故.

23．(1)

(2)或

【分析】（1）分类讨论的值，再解不等式；

（2）将问题转化为，由绝对值三角不等式以及二次函数的性质得出，再解不等式得出的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，，∴

当时，，无解．

当时，，∴

综上不等式的解集为

（2）由已知

∵，

∴

∴等价于或，

解得或．