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新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点11 向量极化恒等式(含解析)
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培优点11 向量极化恒等式极化恒等式:a·b=2-2.变式:a·b=-,a·b=-.如图,在△ABC中,设M为BC的中点,则·=2-2. 例 (1)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点. ·=4, ·=-1,则·的值为________.答案 解析 设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=2-2=9n2-m2=4, ·=2-2=n2-m2=-1.联立解得n2=,m2=.因此·=2-2=4n2-m2=.即·=.(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时, ·的取值范围是________.答案 [0,2]解析 由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时,MN为球的直径.设内切球的球心为O,则·=2-2=2-1.由于P为正方体表面上的动点,故OP∈[1,],所以·∈[0,2].利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,特别适合于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.1.已知在△ABC中,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则( )A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=AC D.AC=BC答案 D解析 如图所示,取AB的中点E,因为P0B=AB,所以P0为EB的中点,取BC的中点D,则DP0为△CEB的中位线,DP0∥CE.根据向量的极化恒等式,有·=2-2,·=2-2.又·≥·,则| |≥||恒成立,必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB,又E为AB的中点,所以AC=BC.2.如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴,y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值是________.答案 2解析 如图,取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,则·=2-.因为OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当O,N,M三点共线时取等号.所以·的最大值为2.
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