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    新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点11 向量极化恒等式(含解析)

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    这是一份新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点11 向量极化恒等式(含解析),共3页。
    培优点11 向量极化恒等式极化恒等式:a·b22.变式:a·ba·b.如图,在ABC中,设MBC的中点,则·22.                    (1)如图,在ABC中,DBC的中点,EFAD上的两个三等分点. ·4 ·=-1,则·的值为________答案 解析 BDDCmAEEFFDn,则AD3n.根据向量的极化恒等式,有·229n2m24 ·22n2m2=-1.联立解得n2m2.因此·224n2m2.·.(2)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时, ·的取值范围是________答案 [0,2]解析 由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时,MN为球的直径.设内切球的球心为O,则·2221.由于P为正方体表面上的动点,故OP[1],所以·[0,2]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,特别适合于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.1.已知在ABC中,P0是边AB上一定点,满足P0BAB,且对于边AB上任一点P,恒有··,则(  )AABC90°   BBAC90°CABAC   DACBC答案 D解析 如图所示,取AB的中点E,因为P0BAB,所以P0EB的中点,取BC的中点D,则DP0CEB的中位线,DP0CE.根据向量的极化恒等式,·22·22.··,则| |||恒成立,必有DP0AB.因此CEAB,又EAB的中点,所以ACBC.2.如图所示,正方形ABCD的边长为1AD分别在x轴,y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值是________答案 2解析 如图,取BC的中点MAD的中点N,连接MNON·2.因为OMONNMADAB当且仅当ONM三点共线时取等号.所以·的最大值为2. 

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