新高考数学二轮复习 第1部分 专题2 培优点9 平面向量数量积的最值问题（含解析）

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培优点9　平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例　(1)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)A．13  B．15  C．19  D．21答案　A解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，A＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时等号成立．∴·的最大值等于13.(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________．答案　5－2解析　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，设P(2cos θ，2sin θ)，则·＝(2－2cos θ，－2sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝5－2cos θ－4sin θ＝5－2sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝<，所以0<φ<，当θ＝－φ时，·取得最小值，为5－2.数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 1．在△ABC中，若A＝120°，A·＝－1，则||的最小值是________．答案　解析　由·＝－1，得||·||·cos 120°＝－1，即||·||＝2，所以||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，当且仅当||＝||＝时等号成立，所以||min ＝.2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．答案　　解析　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝－，解得||＝1.因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝.在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝.以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1,0)，且－≤a≤.又D，所以＝，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋.所以当a＝时，·取得最小值.3．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________．答案　－解析　不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，故|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以a·b的最大值为－.4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________．答案　2解析　在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，所以||·||·cos A＝－1，所以cos A＝－，所以A＝120°，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B(2,0)，D.设M，－≤x≤，因为＝，＝，所以·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋＝(x－1)2－.设f(x)＝(x－1)2－，因为x∈，所以当x＝－时，f(x)取得最大值2.