新高考数学二轮复习 第1部分 专题4 规范答题4 立体几何（含解析）

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[命题分析] 立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等.
典例 (12分)(2020·新高考全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
步骤要点
规范解答
阅卷细则
(1)找垂直：通过证明垂直关系寻找(或作出)具有公共交点的三条两两互相垂直的直线.
(2)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设)点的坐标，求直线的方向向量以及平面的法向量.
(3)求关系：根据已知条件计算夹角或寻找关系.
(4)得结论：根据计算结果得到题目结论.
(1)证明 在正方形ABCD中，AD∥BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l，3分
因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
所以AD⊥DC，所以l⊥DC，
且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，
因为CD∩PD＝D，
所以l⊥平面PDC. 5分
(2)解 如图建立空间直角坐标系D－xyz，
因为PD＝AD＝1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，
A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，7分
设Q(m,0,1)，
则有eq \(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq \(DQ,\s\up6(→))＝(m,0,1)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，
设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))·n＝0，,\(DQ,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝0，,mx＋z＝0，))
令x＝1，则z＝－m，
所以平面QCD的一个法向量为n＝(1,0，－m)，9分
则cs〈n，eq \(PB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(PB,\s\up6(→)),|n||\(PB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1＋0＋m,\r(3)×\r(m2＋1)).10分
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于
|cs〈n，eq \(PB,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|1＋m|,\r(3)×\r(m2＋1))
＝eq \f(\r(3),3)×eq \r(\f(1＋2m＋m2,m2＋1))＝eq \f(\r(3),3)×eq \r(1＋\f(2m,m2＋1))
≤eq \f(\r(3),3)×eq \r(1＋\f(2|m|,m2＋1))≤eq \f(\r(3),3)×eq \r(1＋1)＝eq \f(\r(6),3)，
当且仅当m＝1时取等号，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为eq \f(\r(6),3).12分
(1)证明平行、垂直关系条件不严谨扣1分；(2)正确建立空间直角坐标系得1分；
(3)指明直线与平面所成角的正弦值等于|cs〈n，eq \(PB,\s\up6(→))〉|，没有正确求得最值得1分；
(4)其他方法建立空间直角坐标系计算正确同样给分.