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    新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第1讲 直线与圆 (含解析)
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    新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第1讲 直线与圆 (含解析)

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    这是一份新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第1讲 直线与圆 (含解析),共12页。

    [考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合,求直线的方程,考查点到直线的距离公式,多以选择题、填空题形式出现,中低难度.2.和圆锥曲线相结合,求圆的方程或弦长、面积等,中高难度.
    考点一 直线的方程
    核心提炼
    1.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
    2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=eq \f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2)).
    3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为零)间的距离d=eq \f(|C1-C2|,\r(A2+B2)).
    例1 (1)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( )
    A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3) C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
    答案 B
    解析 由l1∥l2得(a-2)a=1×3,且a×2a≠3×6,
    解得a=-1,∴l1:x-y+6=0,l2:x-y+eq \f(2,3)=0,
    ∴l1与l2间的距离d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6-\f(2,3))),\r(12+-12))=eq \f(8\r(2),3).
    (2)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为( )
    A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0
    C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0
    答案 B
    解析 由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0,
    令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+3=0,,y-1=0,))可得x=-3,y=1,
    ∴N(-3,1).
    设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6).
    则eq \f(|-6+3-6|,\r(4+9))=eq \f(|-6+3+c|,\r(4+9)),
    解得c=12或c=-6(舍去).
    ∴所求直线方程为2x+3y+12=0.
    易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
    (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
    (2)要注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,而截距式方程即不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
    (3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.
    跟踪演练1 (1)已知直线l经过直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点,且直线l的斜率为-eq \f(2,3),则直线l的方程是( )
    A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0
    C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=0
    答案 C
    解析 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=2,,2x-y=1,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1,))
    所以两直线的交点为(1,1).
    因为直线l的斜率为-eq \f(2,3),
    所以直线l的方程为y-1=-eq \f(2,3)(x-1),
    即2x+3y-5=0.
    (2)已知直线l1:kx-y+4=0与直线l2:x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A,B,又l1,l2相交于点M,则|MA|·|MB|的最大值为________.
    答案 eq \f(25,2)
    解析 由题意可知,直线l1:kx-y+4=0经过定点A(0,4),直线l2:x+ky-3=0经过定点B(3,0).
    易知直线l1:kx-y+4=0和直线l2:x+ky-3=0始终垂直,又M是两条直线的交点,所以MA⊥MB,
    所以|MA|2+|MB|2=|AB|2=25,故|MA|·|MB|≤eq \f(25,2)
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当|MA|=|MB|=\f(5\r(2),2)时取“=”)).
    考点二 圆的方程
    核心提炼
    1.圆的标准方程
    当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.
    2.圆的一般方程
    x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2)))为圆心,eq \f(\r(D2+E2-4F),2)为半径的圆.
    例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为____________.
    答案 x2+y2-2x=0
    解析 方法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
    ∵圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F=0,,2+D+E+F=0,,4+2D+F=0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D=-2,,E=0,,F=0.))
    ∴圆的方程为x2+y2-2x=0.
    方法二 画出示意图如图所示,
    则△OAB为等腰直角三角形,
    故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,
    ∴所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,
    即x2+y2-2x=0.
    (2)已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.则圆C的标准方程为________________________.
    答案 (x-1)2+(y-eq \r(2))2=2
    解析 设圆心C(a,b),半径为r,
    ∵圆C与x轴相切于点T(1,0),
    ∴a=1,r=|b|.
    又圆C与y轴正半轴交于两点,
    ∴b>0,则b=r,
    ∵|AB|=2,∴2=2eq \r(r2-1),
    ∴r=eq \r(2),
    故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-eq \r(2))2=2.
    规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
    (1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
    (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
    跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
    A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
    答案 B
    解析 由题意可知圆心在第一象限,设为(a,b).
    ∵圆与两坐标轴都相切,
    ∴a=b,且半径r=a,
    ∴圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.
    ∵点(2,1)在圆上,∴(2-a)2+(1-a)2=a2,
    ∴a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
    当a=1时,圆心坐标为(1,1),
    此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为
    d=eq \f(|2×1-1-3|,\r(22+-12))=eq \f(2\r(5),5);
    当a=5时,圆心坐标为(5,5),
    此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为
    d=eq \f(|2×5-5-3|,\r(22+-12))=eq \f(2\r(5),5).
    综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为eq \f(2\r(5),5).
    (2)已知A,B分别是双曲线C:eq \f(x2,m)-eq \f(y2,2)=1的左、右顶点,P(3,4)为C上一点,则△PAB的外接圆的标准方程为________________.
    答案 x2+(y-3)2=10
    解析 ∵P(3,4)为C上一点,∴eq \f(9,m)-eq \f(16,2)=1,
    解得m=1,则B(1,0),∴kPB=eq \f(4,2)=2,
    PB的中点坐标为(2,2),
    PB的中垂线方程为y=-eq \f(1,2)(x-2)+2,
    令x=0,则y=3,
    设外接圆圆心为M(0,t),
    则M(0,3),r=|MB|=eq \r(1+32)=eq \r(10),
    ∴△PAB外接圆的标准方程为x2+(y-3)2=10.
    考点三 直线、圆的位置关系
    核心提炼
    1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法
    (1)点线距离法.
    (2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax+By+C=0,,x-a2+y-b2=r2,))
    消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0.
    2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.
    例3 (1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于( )
    A.2 B.4eq \r(2) C.6 D.2eq \r(10)
    答案 C
    解析 由题意,得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,知圆C的圆心为C(2,1),半径为2.
    方法一 因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,
    所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36,所以|AB|=6.
    方法二 由题意知,圆心在直线l上,即2+a-1=0,解得a=-1,再由图知,|AB|=6.
    (2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
    A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
    C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
    答案 D
    解析 ⊙M:(x-1)2+(y-1)2=4,
    则圆心M(1,1),⊙M的半径为2.
    如图,由题意可知PM⊥AB,
    ∴S四边形PAMB=eq \f(1,2)|PM|·|AB|
    =|PA|·|AM|=2|PA|,
    ∴|PM|·|AB|=4|PA|
    =4eq \r(|PM|2-4).
    当|PM|·|AB|最小时,|PM|最小,此时PM⊥l.
    故直线PM的方程为y-1=eq \f(1,2)(x-1),
    即x-2y+1=0.
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-2y+1=0,,2x+y+2=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=0,))
    ∴P(-1,0).
    又∵直线x=-1,即PA与⊙M相切,
    ∴PA⊥x轴,PA⊥MA,∴A(-1,1).
    又直线AB与l平行,
    设直线AB的方程为2x+y+m=0(m≠2),
    将A(-1,1)的坐标代入2x+y+m=0,得m=1.
    ∴直线AB的方程为2x+y+1=0.
    规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
    直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
    跟踪演练3 (1)已知点M是抛物线y2=2x上的动点,以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为( )
    A.10 B.4eq \r(3) C.8 D.2eq \r(15)
    答案 D
    解析 设圆心Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2),a)),
    而r2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))2=eq \f(a4,4)+16,
    ∵圆M与x轴交于A,B两点,
    ∴|AB|=2eq \r(r2-a2)=2eq \r(\f(a4,4)+16-a2)
    =eq \r(a4-4a2+64)=eq \r(a2-22+60)
    ≥eq \r(60)=2eq \r(15).
    (2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为2eq \r(2),则a=________.
    答案 eq \f(\r(10),2)
    解析 联立两圆方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2=4,,x2+y2+ax+2ay-9=0,))
    可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0,
    故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为
    eq \f(|-5|,\r(a2+4a2))=eq \f(\r(5),a)(a>0).
    故2eq \r(22-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),a)))2)=2eq \r(2),解得a2=eq \f(5,2),
    因为a>0,所以a=eq \f(\r(10),2).
    专题强化练
    一、单项选择题
    1.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
    A.y-x=1 B.y+x=3
    C.2x-y=0或x+y=3 D.2x-y=0或y-x=1
    答案 D
    解析 当直线过原点时,可得斜率为eq \f(2-0,1-0)=2,
    故直线方程为y=2x,即2x-y=0,
    当直线不过原点时,设方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,-a)=1,
    代入点(1,2)可得eq \f(1,a)-eq \f(2,a)=1,解得a=-1,
    方程为x-y+1=0,
    故所求直线方程为2x-y=0或y-x=1.
    2.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则m的值是( )
    A.1 B.-2 C.1或-2 D.-eq \f(3,2)
    答案 A
    解析 由两直线平行的条件可得-2+m+m2=0,
    ∴m=-2(舍)或m=1.
    3.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,则k的值为( )
    A.-1 B.1 C.±1 D.0
    答案 A
    解析 化圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
    则圆心坐标为(-k2,-1),
    ∵圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,
    ∴直线y=x经过圆心,
    ∴-k2=-1,得k=±1.
    当k=1时,k4-4k+1<0,不合题意,
    ∴k=-1.
    4.(2020·厦门模拟)已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相切于点P(3,eq \r(3)),则直线l的方程为( )
    A.3x-eq \r(3)y-6=0
    B.x-eq \r(3)y-6=0
    C.x+eq \r(3)y-4=0
    D.x+eq \r(3)y-6=0
    答案 D
    解析 圆C:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,则圆心C(2,0),
    直线PC的斜率为kPC=eq \f(0-\r(3),2-3)=eq \r(3),
    ∵l⊥PC,则直线l的斜率为
    k=-eq \f(1,kPC)=-eq \f(\r(3),3),
    ∴直线l的点斜式方程为y-eq \r(3)=-eq \f(\r(3),3)(x-3),化为一般式得x+eq \r(3)y-6=0.
    5.(2020·长沙模拟)已知直线l过点A(a,0)且斜率为1,若圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a的值为( )
    A.3eq \r(2) B.±3eq \r(2)
    C.±2 D.±eq \r(2)
    答案 D
    解析 直线l的方程为y=x-a,即x-y-a=0.圆上恰有三个点到直线l的距离为1,可知圆心到直线的距离等于半径的一半,即eq \f(|a|,\r(2))=1,a=±eq \r(2).
    6.已知点P为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
    A.eq \r(26)+2 B.eq \r(26)+4
    C.2eq \r(26)+4 D.2eq \r(26)+2
    答案 C
    解析 取AB的中点D(2,-3),
    则eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))=2eq \(PD,\s\up6(→)),|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|=|2eq \(PD,\s\up6(→))|,
    又由题意知,圆C的圆心C的坐标为(1,2),半径为2,
    |eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为圆心C(1,2)到D(2,-3)的距离d再加半径r,
    又d=eq \r(1+25)=eq \r(26),∴d+r=eq \r(26)+2,
    ∴|2eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)+4,
    即|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)+4.
    7.(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆,若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为( )
    A.π B.2π C.3π D.4π
    答案 D
    解析 以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略),则B(3,0).设M(x,y),依题意有,eq \f(\r(x2+y2),\r(x-32+y2))=2,化简整理得,x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则M点的轨迹围成区域的面积为4π.
    8.(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x-y+6=0,在直线l上任取一点P向圆C作切线,切点为A,B,连接AB,则直线AB一定过定点( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(2,3))) B.(1,2)
    C.(-2,3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(4,3)))
    答案 A
    解析 设点P(x0,y0),则x0-y0+6=0.过点P向圆C作切线,切点为A,B,连接AB,以CP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,
    又圆C:x2+y2=4,作差可得直线AB的方程为xx0+yy0=4,将y0=x0+6,代入可得
    (x+y)x0+6y-4=0,满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=0,,6y-4=0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(2,3),,y=\f(2,3),))
    故直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(2,3))).
    二、多项选择题
    9.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是( )
    A.3 B.5 C.7 D.9
    答案 AC
    解析 圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),半径为R=2,圆(x-3)2+(y-4)2=r2的圆心是C(3,4),半径为r,|OC|=5,当2+r=5,r=3时,两圆外切,当|r-2|=5,r=7时,两圆内切,它们都只有一个公共点,即集合A∩B中只有一个元素.
    10.下列说法正确的是( )
    A.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
    B.点P(0,2)关于直线y=x+1的对称点为P′(1,1)
    C.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线方程为eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
    D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
    答案 AB
    解析 选项A中直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,所以围成的三角形的面积是2,所以A正确;选项B中PP′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0+1,2),\f(2+1,2)))在直线y=x+1上,且P(0,2),P′(1,1)两点连线的斜率为-1,所以B正确;选项C中需要条件y2≠y1,x2≠x1,所以C错误;选项D中还有一条截距都为0的直线y=x,所以D错误.
    11.已知圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的值可以是( )
    A.6 B.7 C.10 D.15
    答案 BCD
    解析 圆C2关于x轴的对称圆C3为(x-2)2+(y+1)2=1,圆心C3(2,-1),r3=1,点N关于x轴的对称点N′在圆C3上,又圆C1的圆心C1(-6,5),r1=2,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PN′|≥|PC1|-r1+|PC3|-r3=|PC1|+|PC3|-3≥|C1C3|-3=eq \r(2+62+-1-52)-3=7,∴|PM|+|PN|的取值范围是[7,+∞).
    12.已知点A是直线l:x+y-eq \r(2)=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )
    A.(0,eq \r(2)) B.(1,eq \r(2)-1)
    C.(eq \r(2),0) D.(eq \r(2)-1,1)
    答案 AC
    解析
    如图所示,坐标原点O到直线l:x+y-eq \r(2)=0的距离d=eq \f(\r(2),\r(12+12))=1,则直线l与圆x2+y2=1相切,由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,连接OP,OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,则四边形APOQ为正方形,所以|OA|=eq \r(2)|OP|=eq \r(2).设A(t,eq \r(2)-t),由两点间的距离公式得|OA|=eq \r(t2+\r(2)-t2)=eq \r(2),整理得t2-eq \r(2)t=0,解得t=0或t=eq \r(2),因此,点A的坐标为(0,eq \r(2))或(eq \r(2),0).
    三、填空题
    13.若直线l:eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是________.
    答案 3+2eq \r(2)
    解析 因为直线l:eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0)经过点(1,2),所以eq \f(1,a)+eq \f(2,b)=1,所以a+b=(a+b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(2,b)))=3+eq \f(b,a)+eq \f(2a,b)≥3+2eq \r(2),当且仅当a=eq \r(2)+1,b=2+eq \r(2)时等号成立.所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是3+2eq \r(2).
    14.已知⊙O:x2+y2=1.若直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直,则实数k的取值范围是______________________.
    答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
    解析 ∵⊙O的圆心为(0,0),半径r=1,
    设两个切点分别为A,B,
    则由题意可得四边形PAOB为正方形,
    故有|PO|=eq \r(2)r=eq \r(2),
    ∴圆心O到直线y=kx+2的距离d≤eq \r(2),
    即eq \f(|2|,\r(1+k2))≤eq \r(2),
    即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.
    15.(2020·石家庄长安区期末)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积达到最大时,k=________.
    答案 ±1
    解析 由圆O:x2+y2=1,得到圆心坐标为O(0,0),半径r=1,把直线l的方程y=kx+1(k≠0),整理为一般式方程得l:kx-y+1=0,圆心O(0,0)到直线AB的距离d=eq \f(1,\r(k2+1)),弦AB的长度|AB|=2eq \r(r2-d2)=2eq \r(\f(k2,k2+1)),S△AOB=eq \f(1,2)×2eq \r(\f(k2,k2+1))×eq \f(1,\r(k2+1))=eq \f(|k|,k2+1)=eq \f(1,|k|+\f(1,|k|)),又因为|k|+eq \f(1,|k|)≥2eq \r(|k|·\f(1,|k|))=2,S△AOB≤eq \f(1,2),当且仅当|k|=eq \f(1,|k|),即k=±1时取等号,S△AOB取得最大值,最大值为eq \f(1,2),此时k=±1.
    16.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),给出下列结论:①a(x1-x2)+b(y1-y2)=0;②2ax1+2by1=a2+b2;③x1+x2=a,y1+y2=b.其中正确的结论是________.(填序号)
    答案 ①②③
    解析 公共弦所在直线的方程为2ax+2by-a2-b2=0,
    所以有2ax1+2by1-a2-b2=0,②正确;
    又2ax2+2by2-a2-b2=0,
    所以a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,①正确;
    AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点,
    又AB:2ax+2by-a2-b2=0,
    C1C2:bx-ay=0.
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax+2by-a2-b2=0,,bx-ay=0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(a,2),,y=\f(b,2).))
    故有x1+x2=a,y1+y2=b,③正确.
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