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    新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (含解析)

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    新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (含解析)

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    这是一份新高考数学二轮复习 第1部分 专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (含解析),共16页。
    考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程
    核心提炼
    1.圆锥曲线的定义
    (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
    (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(00)的离心率为eq \f(3,5),两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为( )
    A.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,25)=1 B.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1
    C.eq \f(x2,9)+eq \f(y2,25)=1 D.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,16)=1
    答案 D
    解析 椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且△F1F2M的周长为16,可得2a+2c=16,
    椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(其中a>b>0)的离心率为eq \f(3,5),可得eq \f(c,a)=eq \f(3,5),解得a=5,c=3,则b=4,所以椭圆C的方程为eq \f(x2,25)+eq \f(y2,16)=1.
    (2)(2020·全国Ⅰ)设F1,F2是双曲线C:x2-eq \f(y2,3)=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
    A.eq \f(7,2) B.3 C.eq \f(5,2) D.2
    答案 B
    解析 方法一 由题意知a=1,b=eq \r(3),c=2,F1(-2,0),F2(2,0),
    如图,因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2,
    所以点P在以F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,
    则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.
    由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2,
    所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,
    所以|PF1||PF2|=6,
    所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF1||PF2|=3.
    方法二 由双曲线的方程可知,双曲线的焦点F1,F2在x轴上,且|F1F2|=2eq \r(1+3)=4.
    设点P的坐标为(x0,y0),
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)-\f(y\\al(2,0),3)=1,,\r(x\\al(2,0)+y\\al(2,0))=2,))解得|y0|=eq \f(3,2).
    所以△PF1F2的面积为
    eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|=eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)=3.
    易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
    双曲线的定义中忽略“绝对值”致错;椭圆与双曲线中参数的关系式弄混,椭圆中的关系式为a2=b2+c2,双曲线中的关系式为c2=a2+b2;圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
    跟踪演练1 (1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
    A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
    C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
    答案 C
    解析 方法一 因为以MF为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限.
    由|MF|=xM+eq \f(p,2)=5,得xM=5-eq \f(p,2),
    即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(p,2),\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(p,2)))))).
    从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2),\f(1,2)\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(p,2)))))).
    因为点N的横坐标恰好等于圆的半径,
    所以圆与y轴相切于点(0,2),
    从而2=eq \f(1,2)eq \r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(p,2)))),
    即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,
    所以抛物线方程为y2=4x或y2=16x.
    方法二 由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)),
    设点A(0,2),点M(x0,y0),
    则eq \(AF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),-2)),eq \(AM,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p),y0-2)).
    由已知,得eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))=0,即yeq \\al(2,0)-8y0+16=0,
    解得y0=4,Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p),4)).
    由|MF|=5,得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)-\f(p,2)))2+16)=5.
    又因为p>0,解得p=2或p=8,
    所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.
    (2)已知椭圆C:eq \f(x2,m)+eq \f(y2,m-4)=1(m>4)的右焦点为F,点A(-2,2)为椭圆C内一点,若椭圆C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则实数m的取值范围是( )
    A.(6+2eq \r(5),25] B.[9,25]
    C.(6+2eq \r(5),20] D.[3,5]
    答案 A
    解析 椭圆C:eq \f(x2,m)+eq \f(y2,m-4)=1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0).设左焦点为F′,则F′(-2,0).
    由椭圆的定义可得2eq \r(m)=|PF|+|PF′|,
    即|PF′|=2eq \r(m)-|PF|,可得|PA|-|PF′|=|PA|+|PF|-2eq \r(m)=8-2eq \r(m).
    由||PA|-|PF′||≤|AF′|=2,可得-2≤8-2eq \r(m)≤2,
    解得3≤eq \r(m)≤5,所以9≤m≤25.①
    又点A在椭圆内,所以eq \f(4,m)+eq \f(4,m-4)4),
    所以8m-164),
    解得m6+2eq \r(5).②
    由①②得6+2eq \r(5)0,b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).
    例2 (1)设F1,F2分别是椭圆E:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆于A,B两点,且eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))=0,eq \(AF2,\s\up6(→))=2eq \(F2B,\s\up6(→)),则椭圆E的离心率为( )
    A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(7),4)
    答案 C
    解析 ∵eq \(AF2,\s\up6(→))=2eq \(F2B,\s\up6(→)),
    设|BF2|=x,则|AF2|=2x,
    ∴|AF1|=2a-2x,|BF1|=2a-x,
    ∵eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))=0,∴AF1⊥AF2,
    在Rt△AF1B中,有(2a-2x)2+(3x)2=(2a-x)2,
    解得x=eq \f(a,3),∴|AF2|=eq \f(2a,3),|AF1|=eq \f(4a,3),
    在Rt△AF1F2中,有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2=(2c)2,
    整理得eq \f(c2,a2)=eq \f(5,9),∴e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(5),3).
    (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x相交于A,B两点,M是AB的中点,则点M到抛物线准线的距离为( )
    A.eq \f(7,2) B.4 C.7 D.8
    答案 B
    解析 由题意可知直线y=x-1过抛物线y2=4x的焦点(1,0),如图,AA′,BB′,MM′都和准线垂直,并且垂足分别是A′,B′,M′,
    由图象可知
    |MM′|=eq \f(1,2)(|AA′|+|BB′|),
    根据抛物线的定义可知|AA′|+|BB′|=|AB|,
    ∴|MM′|=eq \f(1,2)|AB|,联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x-1,,y2=4x,))
    得x2-6x+1=0,
    设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
    x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+2=8,
    ∴|MM′|=4.
    二级结论 抛物线的有关性质:已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
    (1)|AB|=x1+x2+p=eq \f(2p,sin2α)(α为直线l的倾斜角).
    (2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
    (3)eq \f(1,|AF|)+eq \f(1,|BF|)=eq \f(2,p).
    跟踪演练2 (1)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与双曲线Γ:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的离心率e等于( )
    A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(21),7) D.eq \f(\r(21),3)
    答案 D
    解析 抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)),准线方程为x=-eq \f(p,2),
    联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(p,2),,y=±\f(b,a)x,))解得y=±eq \f(pb,2a),可得|AB|=eq \f(pb,a),
    由△ABF为等边三角形,可得p=eq \f(\r(3),2)·eq \f(pb,a),
    即有eq \f(b,a)=eq \f(2,\r(3)),
    则e=eq \f(c,a)=eq \r(1+\f(b2,a2))=eq \r(1+\f(4,3))=eq \f(\r(21),3).
    (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=eq \f(p,2)截得的弦长为eq \r(3)|MA|,若eq \f(|MA|,|AF|)=2,则|AF|等于( )
    A.eq \f(3,2) B.1 C.2 D.3
    答案 B
    解析 如图所示,由题意知,|MF|=x0+eq \f(p,2).
    ∵圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=eq \f(p,2)截得的弦长为eq \r(3)|MA|,
    ∴|MA|=2|DM|=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0-\f(p,2))).
    ∵eq \f(|MA|,|AF|)=2,∴|MF|=eq \f(3,2)|MA|,
    ∴x0=p.
    又∵点M(x0,2eq \r(2))在抛物线上,∴2p2=8,
    又∵p>0,∴p=2.
    ∴|MA|=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0-\f(p,2)))=2,∴|AF|=1.
    考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
    核心提炼
    解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题要点如下:
    (1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2);
    (2)联立直线的方程与椭圆的方程;
    (3)消元得到关于x或y的一元二次方程;
    (4)利用根与系数的关系设而不求;
    (5)把题干中的条件转化为含有x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的式子,进而求解即可.
    例3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C:eq \f(x2,25)+eq \f(y2,m2)=1(00.
    由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-eq \f(1,yQ)(x-5),
    所以|BP|=yPeq \r(1+y\\al(2,Q)),|BQ|=eq \r(1+y\\al(2,Q)).
    因为|BP|=|BQ|,所以yP=1.
    将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
    由直线BP的方程得yQ=2或8,
    所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
    所以|P1Q1|=eq \r(10),直线P1Q1的方程为y=eq \f(1,3)x,
    点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2),
    故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)=eq \f(5,2);
    |P2Q2|=eq \r(130),直线P2Q2的方程为y=eq \f(7,9)x+eq \f(10,3),
    点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26),
    故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)=eq \f(5,2).
    综上,△APQ的面积为eq \f(5,2).
    规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点
    (1)注意使用圆锥曲线的定义.
    (2)引入参数,注意构建直线与圆锥曲线的方程组.
    (3)注意用好圆锥曲线的几何性质.
    (4)注意几何关系和代数关系之间的转化.
    跟踪演练3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
    A.eq \f(x2,2)+y2=1 B.eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1
    C.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1
    答案 B
    解析 由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=eq \f(a,2),故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=eq \f(c,a)=eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中,cs 2θ=eq \f(2m2+3m2-3m2,2×2m·3m)=eq \f(1,3),因为cs 2θ=1-2sin2θ,所以eq \f(1,3)=1-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))2,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1.
    (2)设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A,B两点,若|FA|=3|FB|,则直线AB的斜率为( )
    A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
    答案 D
    解析 假设A在第一象限,如图,
    过A,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为D,E,
    过A作EB的垂线,垂足为C,则四边形ADEC为矩形,
    由抛物线定义可知|AD|=|AF|,
    |BE|=|BF|,
    又∵|FA|=3|FB|,
    ∴|AD|=|CE|=3|BE|,即B为CE 的三等分点,
    设|BF|=m,则|BC|=2m,|AF|=3m,|AB|=4m,
    即|AC|=eq \r(|AB|2-|BC|2)=eq \r(16m2-4m2)=2eq \r(3)m,
    则tan∠ABC=eq \f(|AC|,|BC|)=eq \f(2\r(3)m,2m)=eq \r(3),
    即直线AB的斜率k=eq \r(3).
    专题强化练
    一、单项选择题
    1.(2020·福州模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq \f(2,3)x,则此双曲线的离心率为( )
    A.eq \f(13,4) B.eq \f(\r(13),2)
    C.eq \f(\r(13),3) D.eq \f(\r(13),4)
    答案 C
    解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq \f(2,3)x,所以eq \f(b,a)=eq \f(2,3),所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)=eq \f(\r(13),3).
    2.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p等于( )
    A.2 B.3 C.6 D.9
    答案 C
    解析 设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+eq \f(p,2)=12.
    又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,
    所以9+eq \f(p,2)=12,解得p=6.
    3.已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于M,N),△AF1B的周长为4eq \r(3),且直线AM与AN的斜率之积为-eq \f(2,3),则C的方程为( )
    A.eq \f(x2,12)+eq \f(y2,8)=1 B.eq \f(x2,12)+eq \f(y2,4)=1
    C.eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1 D.eq \f(x2,3)+y2=1
    答案 C
    解析 由△AF1B的周长为4eq \r(3),
    可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4eq \r(3),
    解得a=eq \r(3),则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\r(3),0)),N(eq \r(3),0).
    设点A(x0,y0)(x0≠±eq \r(3)),
    由直线AM与AN的斜率之积为-eq \f(2,3),
    可得eq \f(y0,x0+\r(3))·eq \f(y0,x0-\r(3))=-eq \f(2,3),
    即yeq \\al(2,0)=-eq \f(2,3)(xeq \\al(2,0)-3),①
    又eq \f(x\\al(2,0),3)+eq \f(y\\al(2,0),b2)=1,所以yeq \\al(2,0)=b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(x\\al(2,0),3))),②
    由①②解得b2=2.
    所以C的方程为eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1.
    4.设F为双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
    A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
    答案 A
    解析 如图,由题意,知以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(c,2)))2+y2=eq \f(c2,4),①
    将x2+y2=a2记为②式,
    ①-②得x=eq \f(a2,c),则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的公共弦所在直线的方程为
    x=eq \f(a2,c),
    所以|PQ|=2eq \r(a2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2).
    由|PQ|=|OF|,得2eq \r(a2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2)=c,
    整理得c4-4a2c2+4a4=0,
    即e4-4e2+4=0,解得e=eq \r(2).
    5.(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,直线PF1与C的一条渐近线垂直,垂足为H,若|PF1|=4|HF1|,则该双曲线的离心率为( )
    A.eq \f(\r(15),3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(5,3) D.eq \f(7,3)
    答案 C
    解析 如图,取PF1的中点M,连接MF2.由条件可知
    |HF1|=eq \f(1,4)|PF1|=eq \f(1,2)|MF1|,
    ∵O是F1F2的中点,
    ∴OH∥MF2,
    又∵OH⊥PF1,∴MF2⊥PF1,
    ∴|F1F2|=|PF2|=2c.
    根据双曲线的定义可知|PF1|=2a+2c,
    ∴|HF1|=eq \f(a+c,2),
    直线PF1的方程是y=eq \f(a,b)(x+c),
    即ax-by+ac=0,
    原点到直线PF1的距离|OH|=eq \f(|ac|,\r(a2+b2))=a,
    ∴在△OHF1中,a2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+c,2)))2=c2,
    整理为3c2-2ac-5a2=0,即3e2-2e-5=0,
    解得e=eq \f(5,3)或e=-1(舍).
    二、多项选择题
    6.(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
    A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
    B.若m=n>0,则C是圆,其半径为eq \r(n)
    C.若mn0,则C是两条直线
    答案 ACD
    解析 对于A,当m>n>0时,有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0,方程化为eq \f(x2,\f(1,m))+eq \f(y2,\f(1,n))=1,表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确.
    对于B,当m=n>0时,方程化为x2+y2=eq \f(1,n),表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆,故B错误.
    对于C,当m>0,n0时,方程化为y=±eq \r(\f(1,n)),表示两条平行于x轴的直线,故D正确.
    7.已知双曲线C过点(3,eq \r(2))且渐近线为y=±eq \f(\r(3),3)x,则下列结论正确的是( )
    A.C的方程为eq \f(x2,3)-y2=1
    B.C的离心率为eq \r(3)
    C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
    D.直线x-eq \r(2)y-1=0与C有两个公共点
    答案 AC
    解析 因为渐近线方程为y=±eq \f(\r(3),3)x,所以可设双曲线方程为eq \f(x2,9)-eq \f(y2,3)=λ,代入点(3,eq \r(2)),得λ=eq \f(1,3),所以双曲线方程为eq \f(x2,3)-y2=1,选项A正确;该双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3),选项B不正确;双曲线的焦点为(±2,0),曲线y=ex-2-1经过双曲线的焦点(2,0),选项C正确;把x=eq \r(2)y+1代入双曲线方程,得y2-2eq \r(2)y+2=0,解得y=eq \r(2),故直线x-eq \r(2)y-1=0与曲线C只有一个公共点,选项D不正确.
    8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D.若|AF|=8,则下列结论正确的是( )
    A.p=4 B.eq \(DF,\s\up6(→))=eq \(FA,\s\up6(→))
    C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4
    答案 ABC
    解析 如图所示,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,M,连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为eq \r(3),则其倾斜角为60°.又AE∥x轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A正确;∵|AE|=|EF|=2|PF|,PF∥AE,∴F为线段AD的中点,则eq \(DF,\s\up6(→))=eq \(FA,\s\up6(→)),故B正确;∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线定义),故C正确;∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=eq \f(1,3)|DF|=eq \f(1,3)|AF|=eq \f(8,3),故D错误.
    三、填空题
    9.(2019·全国Ⅲ)设F1,F2为椭圆C:eq \f(x2,36)+eq \f(y2,20)=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.
    答案 (3,eq \r(15))
    解析 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=eq \r(36-20)=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.
    设M(x,y),则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)+\f(y2,20)=1,,|F1M|2=x+42+y2=64,,x>0,,y>0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=\r(15),))
    所以M的坐标为(3,eq \r(15)).
    10.(2020·全国Ⅰ)已知F为双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为________.
    答案 2
    解析 如图,A(a,0).
    由BF⊥x轴且AB的斜率为3,
    知点B在第一象限,且Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c,\f(b2,a))),
    则kAB=eq \f(\f(b2,a)-0,c-a)=3,
    即b2=3ac-3a2.
    又∵c2=a2+b2,即b2=c2-a2,
    ∴c2-3ac+2a2=0,
    ∴e2-3e+2=0.
    解得e=2或e=1(舍去).故e=2.
    11.设双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线y=eq \f(1,8)x2的焦点相同,离心率为2,则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________.
    答案 eq \r(3)
    解析 ∵抛物线x2=8y的焦点为(0,2),
    ∴mx2+ny2=1的一个焦点为(0,2),
    ∴焦点在y轴上,
    ∴a2=eq \f(1,n),b2=-eq \f(1,m),c=2.
    根据双曲线三个参数的关系得到4=a2+b2=eq \f(1,n)-eq \f(1,m),
    又离心率为2,即eq \f(4,\f(1,n))=4,
    解得n=1,m=-eq \f(1,3),
    ∴此双曲线的方程为y2-eq \f(x2,3)=1,
    则双曲线的一条渐近线方程为x-eq \r(3)y=0,
    则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为
    d=eq \f(|2\r(3)|,\r(1+3))=eq \r(3).
    12.如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2)))2+y2=eq \f(p2,4),其中p>0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,D,B,C四点,则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的值为________.
    答案 eq \f(p2,4)
    解析 易知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=|AB|·|CD|,圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F,当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=eq \f(p,2),所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),p)),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),\f(p,2))),Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),-\f(p,2))),Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),-p)),|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(CD,\s\up6(→))|=eq \f(p,2),所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(p,2)·eq \f(p,2)=eq \f(p2,4);当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|FA|-|FB|=x1+eq \f(p,2)-eq \f(p,2)=x1,同理|CD|=x2,设l的方程为y=keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2))),由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(p,2))),,y2=2px,))可得k2x2-(pk2+2p)x+eq \f(k2p2,4)=0,则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=|AB|·|CD|=x1·x2=eq \f(p2,4).综上,eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=eq \f(p2,4).
    四、解答题
    13.(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C1:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=eq \f(4,3)|AB|.
    (1)求C1的离心率;
    (2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
    解 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,
    其中c=eq \r(a2-b2).
    不妨设A,C在第一象限,
    由题设得A,B的纵坐标分别为eq \f(b2,a),-eq \f(b2,a);
    C,D的纵坐标分别为2c,-2c,
    故|AB|=eq \f(2b2,a),|CD|=4c.
    由|CD|=eq \f(4,3)|AB|得4c=eq \f(8b2,3a),
    即3×eq \f(c,a)=2-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2,
    解得eq \f(c,a)=-2(舍去),eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
    所以C1的离心率为eq \f(1,2).
    (2)由(1)知a=2c,b=eq \r(3)c,故C1:eq \f(x2,4c2)+eq \f(y2,3c2)=1.
    设M(x0,y0),则eq \f(x\\al(2,0),4c2)+eq \f(y\\al(2,0),3c2)=1,yeq \\al(2,0)=4cx0,
    故eq \f(x\\al(2,0),4c2)+eq \f(4x0,3c)=1.①
    由于C2的准线为x=-c,
    所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,
    代入①得eq \f(5-c2,4c2)+eq \f(45-c,3c)=1,
    即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.
    所以C1的标准方程为eq \f(x2,36)+eq \f(y2,27)=1,
    C2的标准方程为y2=12x.
    14.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且到原点的距离为2eq \r(3).
    (1)求抛物线E的方程;
    (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
    (1)解 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2=4p,,\r(4+m2)=2\r(3),))解得p=2,
    所以抛物线E的方程为y2=4x.
    (2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
    因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
    所以m=±2eq \r(2),由抛物线的对称性,不妨取A(2,2eq \r(2)).
    由A(2,2eq \r(2)),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2eq \r(2)(x-1),
    联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=2\r(2)x-1,,y2=4x,))得2x2-5x+2=0,
    解得x=2或x=eq \f(1,2),从而Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\r(2))).
    所以直线GB的方程为2eq \r(2)x+3y+2eq \r(2)=0,
    易知直线GA的方程为2eq \r(2)x-3y+2eq \r(2)=0,
    从而r=eq \f(|2\r(2)+2\r(2)|,\r(8+9))=eq \f(4\r(2),\r(17)).
    因为点F到直线GB的距离d=eq \f(|2\r(2)+2\r(2)|,\r(8+9))=eq \f(4\r(2),\r(17))=r,所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.

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