新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练1(数列、三角、立几、概率)（含解析）

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大题保分练1(数列、三角、立几、概率)1．(2020·泰安模拟)在①a5＝b4＋2b6，②a3＋a5＝4(b1＋b4)，③b2S4＝5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，{bn}是等差数列．已知a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，a4＝b3＋b5，________.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn.解　(1)方案一：选条件①：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，∴q＝2，∴an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，∵a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6，∴解得∴bn＝n，∴an＝2n－1，bn＝n.方案二：选条件②：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，∴q＝2，∴an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，∵a4＝b3＋b5，a3＋a5＝4(b1＋b4)，∴解得∴bn＝n，∴an＝2n－1，bn＝n.方案三：选条件③：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，∴q＝2，∴an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，∵a4＝b3＋b5，b2S4＝5a2b3，∴解得∴bn＝n，∴an＝2n－1，bn＝n.(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝n.∴Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，∴2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.∴－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝2n－1－n×2n，∴Tn＝(n－1)·2n＋1.2．设在△ABC中，cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求角B的大小；(2)若a2＋4c2＝8，求△ABC的面积S的最大值，并求出S取得最大值时b的值．解　(1)∵cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B，∴cos C＋(cos A－sin A)cos B＝sin Asin B－sin A·cos B＝0，∵sin A≠0，∴tan B＝，则B＝.(2)∵a，c>0，a2＋4c2＝8，a2＋4c2≥4ac，故ac≤2，当且仅当a＝2，c＝1时等号成立，∴S＝acsin B≤×2×＝，∴△ABC的面积S的最大值为，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝3，得b＝.3.如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD的中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．(1)证明　∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，连接AC，则△ACD为等边三角形，又∵M为CD的中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB，得AM⊥AB.∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面AA1B1B，∴AM⊥平面AA1B1B.(2)解　∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∠AMD＝∠BAM＝90°，又∵AA1⊥底面ABCD，分别以AB，AM，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，∴＝，＝(－3，，0)，＝(2,0，－2)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有即得y＝x＝z，令x＝1，则n＝(1，，1)，∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.4．某生产车间通过引进新设备实现了生产工艺的升级，生产出了一批新产品，为了检测这批新产品的品质，从中随机抽取了50件产品(新生产的第1号到第10号产品需另外检测，不包括在内)作为样本，测出这50件样本的质量(单位：g)，得出如下所示的样本频率分布表：质量区间[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]频率0.16a0.360.18 (1)求样本频率分布表中a的值，并估计这批新产品质量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)将第1号到第10号产品按质量分为两组：第一组质量小于30 g，第二组质量不小于30 g，第一组中有6件产品，第二组中有4件产品．从这10件产品中任取2件作进一步检测，抽取方法：将这10件产品放在一个不透明的盒子中，每次从中任取1件，不放回地连取两次，求第二次取出的是第一组产品的概率；(3)以样本估计总体，以频率估计概率，从这批新产品中随机抽取3件，将抽取的3件产品中质量为[35,45)内的产品件数记为ξ，求ξ的分布列和均值．解　(1)由0.16＋a＋0.36＋0.18＝1，得a＝0.3.这批新产品质量的平均值的估计值为＝0.16×30＋0.3×40＋0.36×50＋0.18×60＝45.6(g)．(2)第二次取出的是第一组产品，包括两种情况：一种是两次都是第一组产品，一种是第一次是第二组产品，第二次是第一组产品．设事件A1表示“第一次取出的是第一组的产品”，A2表示“第二次取出的是第一组的产品”，根据题意，P(A1)＝，P()＝，P(A2|A1)＝，P(A2|)＝＝.即P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝，P(A2)＝P()P(A2|)＝×＝，所以P(A2)＝P(A1A2)＋P(A2)＝＋＝.(3)以样本估计总体，以频率估计概率，这批新产品中质量在[35,45)内的概率为0.3，则ξ～B，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C03＝，P(ξ＝1)＝C12＝，P(ξ＝2)＝C21＝，P(ξ＝3)＝C30＝.所以ξ的分布列为ξ0123P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.