每周一讲高中数学选择性必修第三册

这是一份高中数学全册综合课时练习，共102页。试卷主要包含了知识要点，技能技巧，注意点等内容，欢迎下载使用。
第1篇 知识技能篇
第1讲 分类用加法分步换乘法
四基概述
1．知识要点

2．技能技巧
(1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事．
(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事．
3．注意点
运用两种计数原理时，应明确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后对每一类分别计数，再求和得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，将每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂的问题，可同时运用两种计数原理，或借助列表法、枚举法、树状图等方法来分析．
典例分析
例1已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定（　　）个不同的平面．
A．40 B．16 C．13 D．10
【思路点拨】“过直线和直线外一点，有且仅有一个平面”，利用分类加法计数原理解决问题．
【自主解答】










例2若六名同学报名参加三项比赛，下列情况各有多少种不同的报名方法?(六名同学不一定都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目数不限．
【思路点拨】先分析题意，弄清“项目选人”还是“人选项目”，从而确定研究对象，再利用分步乘法计数原理解决．
【自主解答】










例3将6个相同的球全部放人甲、乙、丙三个盒子中，每个盒子中最多放3个球，则共有________种不同的放法．
【思路点拨】先对盒子中球的个数进行分类，再利用两种计数原理解决问题．
【自主解答】









例4如图，对四棱雉的各面进行染色，要求有公共棱的两个面不同色．现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法共有________种．

【思路点拨】依次考虑每一面的染色情况，注意对不相邻区域是否同色进行分类讨论．
【自主解答】









例5用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位数，那么这样的四位数一共有______个．
【思路点拨】“0”为特殊元素，需要优先考虑．
【自主解答】





例6有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．
A
B
C
D
E
F

【思路点拨】分类加法计数原理与分步乘法计数原理相结合．
【自主解答】





巩固练习
1．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对的顶点C1，则其中经过3条棱的路线共有（　　）条．

A．4 B．6 C．7 D．8
2．如图，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（　　）种．

A．9 B．11 C．13 D．15
3．如图，将7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色．现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法有（　　）种．

A．36 B．48 C．96 D．108
4．将3个不同的小球放人5个不同的盒子，每个盒子内至多放1个小球，共有（　　）种放法．
A．36 B．60 C．64 D．81
5．甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（　　）种．
A．9 B．12 C．18 D．24
6．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，⋯，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则共有（　　）种涂法．

A．18 B．36 C．54 D．108
7．某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分别是20元、30元、50元、100元．某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品(至少购买一款，且每款只购一只)，因信用卡出现故障，他身上只剩170元现金，则他买玩具样品的方案有________种．
8．设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则有______种选择．
9．中国有十二生肖，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，其中甲喜欢牛、马，乙喜欢牛、狗、羊，丙对每个吉祥物都喜欢．若三位同学都能选到满意的礼物，则共有______种选法．
10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有______个．
11．有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球放人这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则共有______种放法．
12．某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为2个单位长度)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走几个单位长度，如果郑出的点数为i(i＝1，2，⋯，6)，则棋子就按逆时针方向走i个单位长度，一直循环下去．此人抛郑三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所有不同走法共有______种．

13．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有多少种?


14．中国古代十进制的算筹计数法是数学史上一个伟大的创造．算筹由一根根同样长短的小木棍构成，如图所示是利用算筹表示1∼9的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”按照这种表示方法，6根算筹可以表示多少个三位数?（算筹不能剩余）

15．将编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子中只能放一个小球，且A球不能放在1号、2号盒子中，B球必须放在与A球相邻的盒子中．不同的放法有多少种?

拓展探究
16．利用电子元件很容易实现电路的通与断(或电位的高与低)两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此，计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示．字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成，如图．

(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?

第2讲 有序变无序排列成组合
四基概述
1．知识要点

2．关键点
(1)区别一个问题是排列问题还是组合问题，关键要看最后结果是“有序(先取后排序)"还是“无序(只取不排序)”．
(2)解决有“含”“不含”“至多”“至少”等条件的组合问题时，可以用直接法(合理分类)或间接法(排除法)．
3．思想方法
转化化归思想、分类讨论思想．
典例分析
例1从集合{2，3，5，9，11}中任取两个元素，有以下五个问题：
(1)相加可得多少个不同的和?
(2)相除可得多少个不同的商?
(3)作为椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?
(4)作为双曲线方程x2a2－y2b2＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?
(5)作为对数y＝loga⁡b中的a，b，可得到多少个不同的对数?
其中属于排列问题的是（　　）．
A．(1)(2)(3)(4)(5) B．(2)(4)(5) C．(2)(3)(5) D．(2)(4)
【思路点拨】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键．
【自主解答】





例2解关于x的方程：
(1)A2x＋14＝140Ax3； (2)Cnx＝Cn3x，Cnx＋1＝7Cnx-1．
【思路点拨】利用排列数公式和组合数公式求解．
【自主解答】





例3从4名男生和3名女生中选出4名参加一项活动．
(1)选出的4名同学中恰有2名女生的方法有多少种?
(2)选出的4名同学中至少有2名女生的方法有多少种?
(3)若男生甲和乙不能同时参加，女生丙和丁中至少有1名参加，则有多少种不同的选法?
【思路点拨】本题中含有“至少”，要分清限制语句中所包含的情况，可以从问题的正面分类求解．如果问题的反面情况更加简单，就可以采用间接法求解．解题的过程中要善于利用分类讨论的思想，将复杂的问题分类表达、逐类求解．
【自主解答】





例4某画廊计划展出10幅不同的画，其中有1幅水彩画、4幅油画、5幅国画．它们排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种?
【思路点拨】本题的附加条件为“放在一起”，需要用“捆绑”的技巧．
【自主解答】





例5某商店门前有10个停车位，现有A和B共2辆小轿车要停靠在该门前，且A和B至少间隔4个停车位，有多少种不同的停车方法?
【思路点拨】本题要求两个对象之间有间隔，可考虑用插入法求解．
【自主解答】





例6有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程，从中选出4门安排在上午的四节课中，其中物理不安排在第一节和第四节，上午的课程共有多少种安排方法?
【思路点拨】本题是一个有限制条件的排列问题．解题的原则是谁“特殊”谁优先．一般有“特殊元素优先”和“特殊位置优先”两种思路．
【自主解答】




巩固练习
1．给出下列问题：
①若集合A＝{a，b，c，d}，求集合A的含有3个元素的子集的个数；
②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数；
③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数；
④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数；
⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数．
其中是组合问题的为（　　）．
A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③
2.8名学生争夺4项冠军，获得冠军的可能情况有（　　）种
A．84 B．48 C． A84 D． C84
3．从4名教师与5名学生中任选3名，其中至少要有教师与学生各1名，则不同的选法共有（　　）种．
A．40 B．70 C．80 D．35
4．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有2个空位相邻的不同坐法有（　　）种．
A．36 B．48 C．72 D．96
5．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（　　）种．
A．A44A77B．A55A77 C．A92A44A77D．C92A44A77
6．(多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（　　）．
A．Amn＝m!n! B．(n＋2)(n＋1)Anm＝An＋2m＋2
C．C32＋C42＋C52＋⋯＋C1002＝C1013 D．C2n-1n-2＋Cn＋12n-1是一个常数
7．有2个a，3个b，4个c，这9个字母排成一排，共有种不同的排法．




8．如图，在某个城市中，M与N两地之间有整齐的道路网，则从M地到N地的距离最近的走法共有________种．


9．由1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中各位数字之和为奇数的共有________个．
10、7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法．
11．A，B，C，D为海上的4个小岛，要建3座桥，将这4个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．
12．把同一排6张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分到1张， 至多分到2张，且这2张票具有连续的编号，那么不同的分法有________种．
13．有5位同学参加比赛，决出了第一到第五的名次，评委告诉甲、乙两位同学，你们两位都没有拿到冠军，但乙不是最差的．则5位同学的排名顺序有________种．
14．将6个不同的球分别按如下方式来分写出不同分法的种数．
(1)平均分成3堆，每堆2个；
(2)分给甲、乙、丙3人，每人2个；
(3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个和3个；
(4)分给甲1个、乙2个、丙3个；
(5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个．




15．用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数；
(2)四位数大于3125．






拓展探究
16．有6列火车准备停在某车站并行的6条轨道上，若列车A不能停在第3道上，列车B不能停在第1道上，则6列火车不同的停靠方法有多少种?

第3讲 不重又不漏计数有方法
四基概述
1．知识要点
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法，是排列组合的核心内容．解排列与组合的综合问题时，一般先选后排，挖掘问题中的限制条件，做到合理分类、准确分步、不重不漏．
2．技能技巧
（1）解决排列问题的方法如下表．

(2)解决组合问题的方法如下表．

3．注意点
(1)排列组合需分清：有序排列，无序组合．
(2)加法乘法要明确：分类加法，分步乘法．
典例分析
例1已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小和形状均相同的小球．小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取1个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数，则不同的取球方法有________种．
【思路点拨】由“3个编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数”，可以得出取出的3个球的编号应该为2个偶数、1个奇数的情况，要特别注意取球的方式是“有放回地取”．
【自主解答】





例2为了加强“精准扶贫”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A，B，C三个贫困县的调研工作，每个县至少去一位同学，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有_______种．
【思路点拨】解排列与组合综合题，一般先选后排，即先分组再分配，要充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理进行最后的处理．
【自主解答】





例3某班联欢晩会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如果将它们插人原节目单中，那么不同的插法有种．
【思路点拨】本题可以用插空法，也可以用定序法．
【自主解答】



例4有2名女生和3名男生共5名学生站成一排照相，则女生甲不在两端、3名男生中有且只有2名相邻的站法有种．
【思路点拨】题目要求“有且只有2名男生相邻”，可以将其中2名男生捆绑，再和另外1名男生作为两个个体去插空．还要关注这里的特殊元素“女生甲”，可以按照女生甲的位置进行分类讨论．
【自主解答】



例5从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任意取5个不同的数字组成五位“单伞数”(中间数位数字最大，从中间向两侧依次递减)，则不同的五位“单伞数”共有________个．(用数字作答)
【思路点拨】本题中0不能放在首位，是一个特殊元素，因此可以按照是否含0分类讨论求解，也可以用间接法解决，即先不考虑0不能放首位，求出所有的“单伞数”个数，再减去0在首位的“单本数”个数．
【自主解答】



例6(1)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法?
(2)把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法?
(3)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法?
(4)把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法?
【思路点拨】本题中，(1)(2)(3)均是相同元素的问题，可以采用隔板法，(4)是不同元素的分组问题．
【自主解答】



巩固练习
1．从1~9这9个数字中任取2个奇数和2个偶数， 组成没有重复数字的四位数，共有不同的奇数（　　）个
A．1800 B．1500 C．1440 D．720
2．从5位志愿者中选派4位在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（　　）种
A．40 B．60 C．100 D．120
3．现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，各个盒子中球的个数互不相同，则不同的放法有（　　）种．
A．28 B．24 C．18 D．16
4．从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（　　）种．
A．24 B．48 C．72 D．120
5．将2个同样的红球、2个同样的黑球和2个同样的白球放人下列6个格子中，要求同样颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有（　　）种．
1
2
3
4
5
6
A．30 B．20 C．35 D．40
6．(多选题)某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（　　）．
A．若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B．若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D．若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪；服务工作，则有12种不同的方案
7．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能．出现的错误共有________种．
8．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数________个．(用数字作答)
9、3名男同学和3名女同学排成一列，若男同学甲与另外2名男同学不相邻，则不同的排法种数为________．(用数字作答)
10、5人参加百米赛跑，若无同时到达终点情况，则甲比乙先到有________种情况．
11、9人排成3行，每行3人，其中甲、乙、丙3人要排在同一行，有______种不同的排法．(用数字作答)
12．对“田”字的四个格子进行染色，每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有________种．
13．某市运动会组委会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有________种不同的选拔志愿者的方案．
14．一次演唱会共有10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌、2人伴舞的节目，有________种不同的选派方法．
15．将5个不同的小球全部放人编号为1，2，3，4的4个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有________种不同的放法．
拓展探究
16．已知关于x的方程|x－a|＋|x－b|＝|x－c|＋|x－d|有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a，b，c，d∈{1，2，3，4，5，6}，且|a－b|＝|c－d|，则a，b，c，d的可能取值共有多少种?

第4讲 二项式定理——关键看通项
四基概述
1．知识要点
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋⋯＋Cnkan-kbk＋⋯＋Cnnbnn∈N*．
(2)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan-kbk．
(3)二项式系数：Cnk(k＝0，1，2，⋯，n)．
2．常用结论
(1)令a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝Cn0＋Cn1x＋⋯＋Cnkxk＋⋯＋Cnnxnn∈N*．
(2)令a＝1，b＝-x，则(1-x)n＝Cn0-Cn1x＋Cn2x2-⋯＋(-1)kCnkxk＋⋯＋(-1)nCnnxnn∈N*．
3．注意点
(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，展开式共有n＋1项．
(2)公式中a，b的指数之和为n．a的指数从n逐项减到0，是降幂排列；b的指数从0逐项增到n，是升幂排列．
(3)二项式系数与二项展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Cnkan-kbk中，Cnk是该项的二项式系数，而该项的系数还与a，b有关．
(4)化简通项时，需将系数和字母分离，便于解决问题．
典例分析
例1已知二项式3x-23x6．
(1)求展开式的第4项；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中的常数项．
【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求指定项，利用待定系数法解决问题．
【自主解答】





例2(1)在x＋4x-44的展开式中，含x2的项为________；
(2)在x2＋x＋y5的展开式中，x5y2的系数为________．
【思路点拨】求多项式中指定项问题，既可以借鉴二项式定理的推导思路，也可以将三项式转化为二项式，应用二项式定理解决．
【自主解答】





例3(1)f(x)＝x2＋x＋12x-1x5的展开式中的常数项为________；
(2)(1＋2x)3(1-x)4的展开式中含x2项的系数为________．
【思路点拨】求(a＋b)n(c＋d)m型展开式中某一项的系数，可分别将二项式展开，再由多项式的乘法获得所求项的系数．
【自主解答】





例5化简下列式子：
(1)Cn0(x＋1)n-Cn1(x＋1)n-1＋⋯＋(-1)kCnk(x＋1)n-k＋⋯＋(-1)nCnn；
(2)(2x＋1)5-5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3-10(2x＋1)2＋5(2x＋1)-1．
【思路点拨】用整体的眼光观察发现式子特征，考查二项式定理的逆用．
【自主解答】





例4若函数f(x)＝64x6可表示为f(x)＝a0＋a1(2x-1)＋a2(2x-1)2＋⋯＋a6(2x-1)6，其中a0，a1，a2，⋯，a6为实数，则a3＝________；
【思路点拨】本题采用换元法，将2x-1换作新元，从而实现转化．
【自主解答】





例6用二项式定理证明：
(1)34n＋2＋52n＋1能被14整除；
(2)1＋1nn⩽3-12n-1．
【思路点拨】 (1)把34n＋2转化成(14-5)2n＋1，再经二项展开后提取14得证；
(2)用二项式定理展开并放缩，从而证明不等式．
【自主解答】





巩固练习
1．若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝（　　）
A．44 B．32 C．28 D．52
2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4项的系数为（　　）．
A．20 B．35 C．45 D．55
3．若x2-3x＋25＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a10x10，则a2等于（　　）．
A．400 B．425 C．625 D．800
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(x-1)＋a2(x-1)2＋⋯＋a10(x-1)10，则a8等于（　　）．
A．-180 B．180 C．45 D．-45
5．若在(x＋1)4(ax-1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为（　　）．
A．-4B．52 C．4 D．72
6．已知Cn0＋2Cn1＋⋯＋2nCnn＝729，则Cn1＋Cn3＋Cn5的值为
A．64 B．32 C．63 D．31
7．设a∈Z，且0⩽a＜13，若512012＋a能被13整除，则a等于()．
A．0 B．1 C．11 D．12
8．若二项式x2＋4xn的展开式的第5项为常数项，则n＝________；此常数项为_______．
9．若二项式41x＋3x2n的展开式中倒数第3项的系数为45，则含有x3的项为第_______项．
10．在(32x＋3y)15的展开式中，共有_______项的系数为有理数．
11．使得3x＋1xxnn∈N*的展开式中含有常数项的最小的n的值为_______．
12．在(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)4＋(x-1)5的展开式中，x2项的系数等于_______．
13．在(x-y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2项的系数为_______．
14．当n为正奇数时，7n＋Cn1×7n-1＋Cn2×7n-2＋⋯＋Cnn-1×7被9除所得的余数是_______．
15．某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为_______．(四舍五人，精确到0.01)
拓展探究
16．求证：32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N× )．

第5讲 系数有性质 赋值能求和
四基概述
1．二项式系数的概念
二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋⋯＋Cnkan-kbk＋⋯＋Cnnbnn∈N*
二项式系数
Cnk(k＝0，1，2，⋯，n)
二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2，⋯，Cnk，⋯，Cnn是以k为自变量的
的函数视角
函数f(k)＝Cnk，其中k∈{0，1，2，⋯，n}
2．二项式系数的性质

3．用赋值法求解展开式的系数和
以f(x)＝(a＋bx)n(a，b∈R)型二项展开式为例：(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋anxn(n∈N× )．

典例分析
例1南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”(如图所示)是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是

【思路点拨】寻找“杨辉三角”的排列规律，根据二项展开式系数求解．
【自主解答】





例2在(1-2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则二项式系数最大的项的系数为________．
【思路点拨】利用奇数项与偶数项的二项式系数关系求n，再根据二项式系数的性质求最值．
【自主解答】





例3已知(1-2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋⋯＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a1＋⋯＋a7．
【思路点拨】利用赋值法求展开式系数之和的问题，常见的赋值有x＝0，±1等．
【自主解答】





例4设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________．
【思路点拨】二项式系数的性质：当指数n为偶数时，二项式系数Cnn2最大；当指数n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn-12与Cnn＋12最大．
【自主解答】





例5在x＋13x2n的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为A，所有项的系数和为B，且AB＝24364．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【思路点拨】利用赋值法求两类和，再由性质求二项式系数最大的项；注意二项式系数与展开式系数的区别．
【自主解答】





例6求证：Cn1-2×2Cn2＋3×22Cn3-4×23Cn4＋⋯＋(-2)n-1nCnn＝(-1)n-1n．
【思路点拨】本题的关键是处理左式．左式既可以通过逆用二项式定理、求导、赋值等方法加以构造，也可以用组合数的运算规则进行化简．
【自主解答】





巩固练习
1．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋a6x6，且a1＋a2＋⋯＋a6＝63，则实数m的值为（　　）．
A．1或3 B．-3 C．1 D．1或-3
2．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋⋯＋a11x10，若数列a1，a2，a3，⋯，ak(1⩽k⩽11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值为（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知3＋x-x26＝a0＋a1(1-x)＋a2(1-x)2＋a3(1-x)3＋⋯＋a12(1-x)12，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12的值为（　　）．
A．365 B．-365 C．364 D．-364
4．(多选题)下列关于(a-b)11的说法中，正确的是（　　）．
A．展开式的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
5．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋⋯＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋⋯＋anxn，若a1＋a2＋⋯＋an-1＝29－n，则n的值为（　　）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知x-2xn展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，则n的值为（　　）．
A．8 B．9 C．10 D．11
7．若C202n＋6＝C20n＋2n∈N*，且(2-x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋⋯＋anxn，则a0-a1＋a2－⋯＋(-1)nan的值为（　　）．
A．27 B．81 C．243 D．729
8．若(1-2x)2021＝a0＋a1x＋⋯＋a2021x2021，则a0＋a1＋a0＋a2＋⋯＋a0＋a2021＝________．
9．在x＋axn(a＞0)的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n＝________；若所有项的系数和为256，则含x4项的系数为________．
10．若(2x-1)4(x-2)＝a0＋a1(x-1)＋a2(x-1)2＋⋯＋a5(x-1)5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．
11．若(2x-1)2021＝a0＋a1x＋⋯＋a2021x2021(x∈R)，则12＋a222a1＋a323a1＋⋯＋a202122021a1＝________．
12．若对任意实数x，y，都有(x-2y)5＝a0(x＋2y)5＋a1(x＋2y)4y＋a2(x＋2y)3y2＋a3(x＋2y)2y3＋a4(x＋2y)y4＋a5y5，则a0＋a1＋⋯＋a5＝________．
13．在二项式axm＋bxn12(a，b＞0，m，n≠0)中，2m＋n＝0，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则ab的取值范围是________．
14．已知x＋mxn的展开式的二项式系数之和为256．
(1)求n；
(2)若展开式中系数最大的项只有第6项和第7项，求m的值．




15．观察下列各等式：
C51＋C55＝23-2，
C91＋C95＋C99＝27＋23，
C131＋C135＋C139＋C1313＝211-25，
C171＋C175＋C179＋C1713＋C1717＝215＋27，
．．．
(1)由以上等式推测出一个一般的结论：
对于n∈N×，C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋⋯＋C4n＋14n＋1＝________；
(2)通过对(1＋x)4n＋1展开式赋值x＝i和复数的计算，证明(1)所得的结论．




拓展探究
16．已知x＞0，求证：x＋1xn-xn＋1xn⩾2n-2，n∈N*．

第6讲 完整分布列 概率和为一
四基概述
1．离散型随机变量及其分布列
(1)对于随机试验样本空间Ω中的每一个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称其为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值．
(2)设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，⋯，xi，⋯，xn，我们称X取每一个值xi的概率PX＝xi＝pi，i＝1，2，⋯，n为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示如下．

(3)离散型随机变量分布列的性质如下．
(1)pi⩾0(i＝1，2，⋯，n)；
(2)∑i＝1n pi＝1．
2．两种分布列
（1）超几何分布X∼H(n，M，N)
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CMkCN-kn-kCNn(k＝0，1，2，⋯，m)．
X
0
1
⋯
k
⋯
m
P
CM0CN-Mn-0CNn
CM1CN-Mn-1CNn
⋯
CMkCN-Mn-kCNn
⋯
CMmCN-Mn-mCNn
其中m＝min{M，n}，且n⩽N，M⩽N，n，M，N∈N^×．
(2)一项分布X∼B(n，p)
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnkpk(1-p)n-k(k＝0，1，2，⋯，n)．

(3)二项分布与超几何分布的比较

3．关键点
(1)随机试验中任意事件发生的概率非负．
(2)分布列中的概率和为1，可以用来检验分布列中的取值是否完整．
（3）解决概率问题时要注意准确区分概率模型．
典例分析
例1已知离散型随机变量的分布列如下表．
X
0
1
2
P
12
1-2q
q2
则常数q＝________．
【思路点拨】利用概率非负与分布列中概率和为1，构造关于q的方程．
【自主解答】

例2 设，，，已知随机变量的分布列如下．








又，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用“1”的代换，构造基本不等式求解．
【自主解答】

例3 学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出的分布列．
【思路点拨】随机变量服从超几何分布，即，根据超几何分布的公式即可求解．
【自主解答】

例4 盒中有4个球，其中有2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取1个，不放回，取到黑球为止，则第2次取到黑球的概率_________；若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程取到白球的个数为，则__________．
【思路点拨】本题需要注意是放回取球还是不放回取球．对于放回的情况，每次取到黑球或白球的概率不变；而对于不放回的情况，概率会改变．
【自主解答】

例5 盒子中有10元人民币4张，20元人民币3张（因纸币有编号，故视每张人民币各不相同）．
（1）若从中不放回地抽取5张（每张被抽到是等可能的），则币值和恰好是60的概率为
（2）若从中一次性抽取若干张，设其币值和为，则__________．
【思路点拨】本题需要明确所有基本事件的总数与要求的事件包含的基本事件总数，再代入古典概型公式即可．
【自主解答】


例6 袋子和中都装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出1个红球的概率是，从中摸出1个红球的概率为．
（1）从中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列．
（2）若，两个袋子中的球数之比为，将，中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求的值．
【思路点拨】本题第（1）小题是有放回地取球，离散型随机变量服从二项分布；第（2）小题是古典概型，明确所有基本事件总数与所求事件含有的基本事件总数即可．
【自主解答】

巩固练习
1．有10张卡片，其中有8张标有数字2，有2张标有数字5．从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为，则的概率是（ ）．
A． B． C． D．
2．设随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
3．若，，其中，则（ ）．
A． B． C． D．
4．袋内装有个白球，个黑球，不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，则下列概率等于的是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知随机变量，记，在上的最大值为，若正整数满足，则和的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
6．已知离散型随机变量的分布列如下．








记“函数是偶函数”为事件，则_________．
7．已知随机变量的概率分布规律为，其中为常数，则________
8．已知随机变量的分布列如下．








若，，成等差数列，则_________；公差的取值范围是__________．
9．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量，则__________．
10．已知离散型随机变量的分布列如下．








则的最小值是_________．
11．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为．
（1）求的值；
（1）设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列．

12．校庆时，某班共来了位校友（，且），其中有女校友6位．组委会要从这位校友中随机选出2位校友作为代表，若选出的2位校友是一男一女，则称之为“最佳组合”．
（1）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求的最大值；
（2）当时，设选出的2位校友代表中女校友人数为，求随机变量的分布列．


13．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分开．每次随机检测1件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时结束．
（1）求第一次检测出次品且第二次检测出正品的概率；
（2）每检测1件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．

14．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为，，，三个社团他都能进入的概率为，至少能进人一个社团的概率为，且．
（1）求与的值；
（2）该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布列．

15．某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取1个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动．
（1）若该家庭获得的返现金额为（单位：元），求的值；
（2）求该家庭获得的返现金额的分布列．


拓展探究
16．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一个易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面的柱状图．

以这100台机器更换易损零件的频率代替1台机器更换易损零件的概率，表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？

第7讲 变量特征数 期望与方差
四基概述
1．离散型随机变量的期望与方差
设离散型随机变量的分布列如下．



…

…




…

…

（1）期望
为随机变量的均值或数学期望，简称期望．期望是随机变量的可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
（2）方差
为随机变量的方差，并称为随机变量的标准差，记为．随机变量的方差与标准差都可以度量随机变量的取值与其期望的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．
（3）期望与方差的性质
①．（为常数）
②．（为常数）
③若随机变量服从两点分布，则，
④若，则．
⑤若，则．（可看作从含有件次品的件产品中任取件）
2．求期望、方差的一般步骤
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值．
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，得出分布列．
（3）根据期望与方差的概念，结合分布列，得出期望与方差．
3．关键点
（1）要求期望与方差，首先要准确求出分布列．
（2）利用定义可求任意离散型随机变量的期望与方差．
（3）若离散型随机变量符合上述三种分布，即可用公式求期望与方差．
典例分析
例1 甲、乙两名射手一次射击得分（分别用，表示）的分布列如下．
甲得分：








乙得分：








则甲、乙两人的射击技术相比，（ ）．
A．甲更好 B．乙更好 C．一样好 D．不可比较
【思路点拨】分别求两个随机变量的数学期望，再比较大小．
【自主解答】


例2 一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为．设解出该题的人数为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【思路点拨】先根据题意写出分布列，再利用公式计算期望．
【自主解答】

例3 设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，．若的期望，则（ ）．
A． B． C． D．
【思路点拨】由概率和为1，结合数学期望的计算公式，可构造方程组求得，进而得到结果．
【自主解答】

例4 （多选题）设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）．
A．当时，
B．当时，
C．当且）时，
D．当时，的数学期望为
【思路点拨】根据题意，分别求出当取不同值时的概率，即可判断．
【自主解答】

例5 一个质地均匀的小正方体，它的六个面中有三个面上标着数字1，另两个面上标着数字2，还有一个面上标着数字3，现将此正方体任意抛郑2次，记向上的面的数字之和为，则 ．
【思路点拨】先由题意，确定的所有可能取值，再结合题中条件求出每个值对应的概率，根据期望的计算公式，即可求出结果．
【自主解答】


例6 某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测．方案甲：将这6名疑似病人的血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少，并说明理由．
【思路点拨】甲方案检测的次数，乙方案检测的次数（1）记两种方案检测的次数相同为事件，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；（2）分别求得随机变量和的期望，比较期望的大小即可．
【自主解答】


巩固练习
1．已知随机变量的分布如下．

1
2
3




若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．设随机变量的分布列为．且，则等于（ ）．
A．8 B．12 C． D．
3．已知随机变量服从二项分布，若，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量．若，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知离散型随机变量的分布列如下．

1
3
5





1
2
4
5





下列说法中一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．多选题给出的四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有（其中个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中，，则有（ ）．
A． B．
C． D．
7．（多选题）已知随机变量的分布列如下．

4

9
10

0．3
0．1

0．2
若，则以下结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（多选题）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）．
A． B． C． D．
9．（多选题）已知是离散型随机变量，则下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．已知随机变量，，则 ．
11．两个沿海城市某日受台风袭击（相互独立）的概率相同，已知该日至少有一个城市受台风袭击的概率为．若用表示该日受台风袭击的城市个数，则 ．
12．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生1次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是 ．
13．设随机变量，若，则 ．
14．在“学习强国”中，“争上游”的答题规则为：答题两局，首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲答题两局的得分期望为 ．
15．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了株沙柳，每株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为．设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差．
（1）求的值，并写出的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳末成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．


拓展探究
16．为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表．
分数段







人数
1
2
2
8
3
3
1
规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀．
（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？
（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求的分布列、期望与方差．





第8讲 三种分布列 应用模型建
四基概述
1．三种分布列
项目
二项分布
超几何分布
定义
在次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示重伯努利试验中事件发生的次数，则的可能取值为，且对每一个，事件即为“次试验中事件恰好发生次”，随机变量服从二项分布，记为
设有件产品，其中有件不合格品．若从中不放回地随机抽取件，则其中不合格品的件数服从超几何分布，记为
分布列

其中

期望


方差



项目
正态分布
定义
若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且概率密度函数为，则这个随机变量就为称正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作
概率密度函数
其中
期望

方差

特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称
（2）曲线在处达到峰值
（3）当无限增大时，曲线无限接近轴
（4）当一定时，曲线的形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中
特殊情况
当时，称随机变量服从标准正态分布
（1）确定二项分布模型的方法：明确伯努利试验及事件的意义，确定事件发生的概率；明确重复试验的次数，并判断各次试验的独立性；设为次独立重复试验中事件发生的次数，则．
（2）概率密度曲线：在样本数据的频率分布直方图中，当样本容量越来越大时，直方图顶部的折线所接近的曲线即为概率密度曲线；在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．该曲线位于横轴的上方，它与横轴一起围成的图形面积是1，而随机变量落在指定的两个数和之间的概率就是相应的曲边梯形的面积．
2．正态变量的标准化
（1）一般正态分布都可以通过一个线性变换（标准化）化成标准正态分布．因此，与正态变量有关的一切事件的概率都可以通过查标准正态分布函数表获得．标准正态分布对于一般正态分布的计算起着关键的作用．
（2）若随机变量，令，则．
3．重要结论
（1）二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中的次品数的分布规律，并且二者的期望相同．对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布近似于二项分布．
（2）正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
（3）正态变量在内取值的概率为1，在区间之外的取值概率是，故正态变量的取值绝大部分都在距直线三倍标准差范围内，这就是正态分布的原则．


典例分析
例1 一条自动化生产线上产品的一级品率为，现检查5件，求至少有2件是一级品的概率．
【思路点拨】判断各次试验的独立性，然后确定一个二项分布模型，进行概率的计算．
【自主解答】


例2 设随机变量，已知，，求两个参数和各为多少．
【思路点拨】直接利用二项分布的期望和方差公式，代入数据进行计算．
【自主解答】

例3 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为，求的分布列和数学期望．
【思路点拨】先确定的分布列类型为超几何分布，然后确定相应的参数取值，并求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望公式进行求值．
【自主解答】

例4 设随机变量，，画出分布密度曲线草图，并指出与，以及与之间的大小关系．
【思路点拨】根据正态分布的相关参数确定图象的大概位置及高度，然后根据草图判断大小关系．
【自主解答】

例5 设，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】首先将一般正态分布转化成标准正态分布，即，然后转化为非负标准正态分布表达式，最后通过查表获得结果．
【自主解答】


例6 已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从．
（1）求取得的这件材料的强度不低于的概率；
（2）若所用的材料要求以的概率保证强度不低于，则这批材料是否符合要求？
【思路点拨】将实际问题抽象成一个数学模型，问题的本质就是求服从正态分布的随机变量在某一范围内取值的概率．
【自主解答】


巩固练习
1．某批电子手表正品率为，次品率为，现在对该批电子手表进行测试，设第次测试首次测到正品，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．若一个病人服用某种新药后被治愈的概率为，则服用这种新药的个病人中至少人被治愈的概率为________．（用数字作答）
3．设袋中有个球，其中有个红球，个黑球，从中任取个球，则恰有个红球的概率为________．
4．经验表明，预订餐厅而不来就餐的顾客比例为．某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，则顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？


5．某优秀射手命中环的概率为，命中环的概率为，求该射手三次射击所得的环数不少于环的概率．



6．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，求．


7．令表示服从二项分布的随机变量．求证：．


8．已知甲、乙两个袋子中各装有大小、形状完全相同的4个小球，其中甲袋中有2个红球和2个黄球，乙袋中有3个红球和1个黄球．现从甲袋中随机摸取2个球装入乙袋中，再从乙袋中随机摸取2个球装入甲袋中，此时甲袋中红球的个数记为随机变量．
（1）求此时乙袋中恰有1个红球的概率；
（2）求的分布列和数学期望．



9．某批件产品的次品率为，现从中任意抽取3件进行检验，当，，时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到件次品的概率各是多少？比较结果，你有什么发现？为什么呢？


10．写出以下正态分布的均值和标准差：
（1）；
（2）；
（3）．


11．已知．
（1）求；
（2）求；
（3）设满足，则至少为多少？


12．设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，比较和的大小：，．



13．设随机变量服从正态分布，若，求．



14．设随机变量服从正态分布，随着的增大，概率是如何变化的？



15．由某机器生产的螺栓的长度（单位：）服从正态分布，若规定长度在范围内为合格品，求螺栓不合格的概率．


拓展探究
16．测量到某一目标的距离时，发生的随机误差（单位：）具有密度函数，，求在三次测量中，至少有一次随机误差的绝对值不超过的概率．



第9讲 回归成线性 求助二乘法
四基概述
1．一元线性回归模型
在研究两个变量线性相关时，常用成对样本建立统计模型，利用统计模型进行预测．
． ①
我们称①为关于的一元线性回归模型．其中，称为因变量或者响应变量，称为自变量或者解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差．
2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计
（1）经验回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，
（2）最小二乘估计
求经验回归方程时，使得样本数据点到经验回归直线的竖直距离的平方之和最小的方法叫作最小二乘法．求得的，叫作，的最小二乘估计．
，．
其中，称为回归系数，它实际上是经验回归方程的斜率．经验回归方程确定后，就可用于预测．
（3）经验回归方程的性质
经验回归直线一定经过点；与正相关的充要条件是，与负相关的充要条件是；当增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义．
（4）残差的概念
对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值就是残差．残差是随机误差的估计结果．对于样本点，，…，，它们的随机误差为，，，…，，其估计值为，，，…，，则称为相应于点的残差．
（5）刻画回归效果的方法
方法
作图或公式
刻画效果
残差图法
作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选样本编号或身高数据、体重估计值等，这样作出的图称为残差图
在残差图中，若残差点比较均匀地落在水平带状区域中，则说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精确度越高
残差平方和法

一般地，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
决定系数法

常用来刻画回归的效果或比较两个模型的拟合效果，越接近，模型的拟合效果越好
3．非线性回归分析
当两个变量不呈线性相关时，要依据样本点的分布选择合适的曲线来拟合数据．可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程．常见非线性经验回归方程的转换方式如下．
曲线方程
曲线
变换公式
变换后的线性函数





















典例分析
例1（多选题）设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）．
A．与具有线性相关关系
B．经验回归直线一定经过点
C．若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D．若该大学某女生身高为，则可以判断其体重必为
【思路点拨】掌握经验回归方程的性质，注意区别预测值和观测值．
【自主解答】

例2已知与之间的几组数据如下表．










表中的平均值为，若某同学对赋了三个值，分别为，，，得到三条线性回归直线的方程，分别为，，，对应的相关系数分别为，，，则下列结论中正确的是________．（填序号）
①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；
②；
③；
④相关系数中，最大．
参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；
．
【思路点拨】本题考查线性回归方程与相关系数的求法，同时考查计算能力．由题意可得，分别取与的值，由公式计算出，，，，，，的值，逐一分析四个结论即可．
【自主解答】


例3 （多选题）某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位:万件）之间的对应关系如下表．
广告支出费


4


销售量

6



根据表中的数据可得回归直线方程，，则以下说法中正确的是（ ）
A．第三个样本点对应的残差
B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
C．销售量的变化有是由广告支出费引起的
D．用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量
【思路点拨】本题考查线性回归方程、残差及决定系数的应用．由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，求解残差判断与；由相关系数的意义判断；由样本的取值范围会影响回归方程的使用范围判断．
【自主解答】


例4 已知关于的经验回归方程为，与的一组对应数据如下表．

1
2
3
4





当时，预测的值可能为_______．
【思路点拨】对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意进行变换．本题需要两边取对数，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化．
【自主解答】


例5 为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业进行了调查统计，得出相关数据如下表，
年广告投入/万元
2
3
4
5
6
年利润/万元
3
4
6
8
11
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲是；方程乙是．
（1）求（结果精确到0．01）与的值．
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表；（注：，称为相应于点的残差）
年广告投入/万元
2
3
4
5
6
年利润/万元
3
4
5
8
11
模型甲
估计值





残差





模型乙
估计值





残差





②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和与，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
【思路点拨】（1）对于方程甲，设，则，代入数据，求出，代入方程即可求出；对于方程乙，求出的值，代入方程，即可求出．
（2）①将数据分别代入两方程，计算求解，即可完成表格；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和与，再进行比较．
【自主解答】


例6有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．高铁可以说是中国一张行走的名片．截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3．9万千米．2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
运营里程（万千米）
1．3
1．6
1．9
2．2
2．5
2．9
3．5
3．9
根据以上数据，回答下面问题．
（1）甲同学用曲线来拟合，并算得相关系数，乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数，请判断哪一个更适合作为关于的回归方程类型，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程（系数精确到）．
（3）请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为，．
参考数据：，，，
令，，，，，．
【思路点拨】（1）比较已知的相关系数的大小；（2）由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出和，从而可求出回归方程；（3）利用非线性回归方程进行估计．
【自主解答】

巩固练习
1．设一个线性回归方程，当变量每增加一个单位时，（ ）
A．平均增加约个单位 B．平均增加约个单位
C．平均减少约个单位 D．平均减少约个单位
2．某种高科技产品开发的支出成本（单位：万元）与市场销售额（单位：万元）之间有如下表所示的线性相关关系，与的经验回归方程为，当支出成本为8万元时，残差为（ ）

2
4
5
6
8

40
50
70
60
80
A． B． C． D．
3．在全球共同抗击新型冠状病毒肺炎（）期间，有研究团队得到了一项研究成果，首次揭示了患者发生急性呼吸窘迫综合征（）和从进展至死亡的危险因素，并首次提出发生的患者使用甲强龙可能获益的观点．为了了解甲强龙的指标数据与质量分数（单位:%）之间的关系，随机统计了相关数据，如下表，由最小二乘法求得经验回归方程为．

6
10
14
18
22

62

44
28
14
现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断，该数据的值为（ ）．
A．53 B．56 C．59 D．62
4．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有线性相关关系
B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．在残差图中，若残差点比较均匀地落在水平带状区域中，则说明选用的模型比较合适
5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位；吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值．

有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤
6．（多选题）有一幅散点图如图所示，从个数据点中去掉，则下列说法中正确的是（ ）．

A．残差平方和变大
B．相关系数变大
C．决定系数变大
D．解释变量与响应变量的线性相关程度变强
7．（多选题）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量，进行回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）．
A．变量关于的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量关于的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当时，变量的估计值取到最小值
D．当时，变量的估计值取到最大值
8． 由一组样本数据，，，得到经验回归方程，则下列说法中正确的是_______．（填序号）
①直线一定经过点；
②直线至少经过点，，，中的一个；
③直线的斜率为；
④经验回归方程最能代表样本数据中，之间的线性关系，当时，与正相关，当时，与负相关．
9．某单位为了了解用电量（单位：千瓦・时）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天的气温，并制作了如下对照表．
气温/





用电量/（千瓦・时）





由表中数据得线性回归方程，其中，预测当气温为时，用电量约为_______千瓦・时．
10．已知具有线性相关性的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程：，过点，的直线方程：，给出下列4个命题：
①，；
②直线过点；
③；
④．
其中正确的命题有_______个．
11．某研究机构对高三学生的记忆力和判断力的相关性进行统计分析，得到散点图如下．

请用图中的数据，求出关于的线性回归方程：_______；据此可预测当一个学生的判断力为时，他的记忆力为_______．
12．某工厂为研究某种产品的产量（单位:吨）与所需某种原材料（单位:吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如下表所示．










根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为，则表中 ，处的残差为 ．
13．关于与有以下数据．












有以下两个线性模型：（1）；（2），根据决定系数判断哪一个模型的拟合效果比较好．
参考公式：决定系数．


14．某兴趣小组欲研究昼夜温差与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月至6月每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料．
日期
1月
10日
2月
10日
3月
10日
4月
10日
5月
10日
6月
10日
昼夜温差






就诊人数/人






该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据，用剩下的组数据求经验回归方程，再用选取的组数据进行检验．
（1）求选取的组数据不是相邻两个月的数据的概率；
（2）若选取的是月与月的两组数据，请根据月至月的数据，求出关于的经验回归方程；
（3）若由经验回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差不超过人，则认为得到的经验回归方程是理想的，判断该小组得到的经验回归方程是否理想．


15．近年来，共享单车进驻城镇，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行共享单车投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量和年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千人次）的数据，如下表．根据数据绘制的投放量与年使用人次的散点图如图．

















（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请判断哪个模型更适合作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；
（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等使用成本为每人次元，按用户每使用一次收费1元计算，若投人8000辆单车，则需要几年才能开始盈利？
参考数据：










其中，．
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．


拓展探究
16．某兴趣小组在做实验时记录了相应的与的几组数据，如下表．

1
2
3
4
5
6

0
2
1
3
3
4
（1）作出散点图，并求关于的经验回归方程；
（2）计算，并进行残差分析；
（3）为更好地寻找与之间的函数关系，讨论此兴趣小组可以在哪些方面进行完善．








第10讲 模型巧建立 统计测变化
四基概述
1.变量的相关关系
(1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.
(2)如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.
(3)如果两个变量正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关;如果这两个变量有相关性,但不是线性相关,我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.样本相关系数

为变量和变量的样本相关系数,性质如下.
(1)当时,称与正相关;当时,称与负相关.
(2)当越接近1时,与的线性相关程度越强;当越接近0时,与的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
关于的一元线性回归模型如下.

4.经验回归方程
将称为关于的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.求得的，叫作的最小二乘估计.

5.比较两个模型的拟合效果
用来比较两个模型的拟合效果.越大,模型拟合的效果越好;越小,模型拟合的效果越差.
6.非线性回归分析问题
对于不具有线性相关关系的两个变量,通过变量代换,可转化为线性回归模型.
(1)方程可以通过进行变换,得到线性经验回归方程.
(2)方程可以通过进行变换,得到线性经验回归方程.
(3)方程可以通过进行变换,得到线性经验回归方程.
7.分类变量、列联表、等高堆积条形图
(1)分类变量:为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量以区别不同的现象和性质,这类随机变量称为分类变量.
(2)列联表:列出两个分类变量的频数的表.
(3)等高堆积条形图:与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
8.独立性检验
(1)定义:利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,简称独立性检验.
(2)公式:,其中.
典例分析
例1下列四个散点图中，表示正相关的是（ ）.

【思路点拨】根据散点图中点的分布情况,判断相关性和正负相关关系.
【自主解答】

例2已知变量与,且观测数据如下表(其中,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）.

1
2
3
4
5

6.5

4

1
A. B.
C. D.
【思路点拨】求出,代入方程检验,然后根据的变化趋势判断系数的正负.
【自主解答】

例某同学用收集到的6组数据对)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线的方程:,相关系数为,决定系数为;经过残差分析,确定点为“离群点”(对应残差过大的点),把它去掉后,再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程:,相关系数为,决定系数为.则以下结论中,正确的是（ ）.

①; ②; ③; ④.
A.①② B.①②③ C.②④ D.②③④
【思路点拨】根据散点图逐项进行判断即可.
【自主解答】

例4(多选题)某校针对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数相同,男生中喜欢锻炼的人数占男生总人数的,女生中喜欢锻炼的人数占女生总人数的.若至少有的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”,则被调查的学生中,男生的人数可能为（ ）.
附,其中

0.050
0.010

3.841
6.635
A.35 B.40 C.45 D.50
【思路点拨】利用独立性检验表达列联表及观测值可求解.
【自主解答】

例5某种机械设备随着使用年限的增加,使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称为“失效费”。某种机械设备的使用年限(单位:年)与失效费(单位:万元)的统计数据如下表.
使用年限年年
1
2
3
4
5
6
7
失效费万元万元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）由上表数据知,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(2)求出关于的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费.
参考公式:
相关系数.
线性回归方程中,
参考数据:,
【思路点拨】(1)根据统计数据求,结合参考数据及相关系数公式,求相关系数,进而判断与的相关程度;(2)利用公式估计,写出线性回归方程,进而将代入估算求值.
【自主解答】

例6体育中考(简称体考)是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质进行科学评价的一种方式,即通过测量考生的身高、体重、肺活量和测试考生的运动成绩等指标来进行体质评价.已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为,为了调研该地区体考水平,从参加体考的学生中,按非城镇与城镇学生,用分层抽样的方法抽取200人的体考成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图(如图所示),体考成绩分布在范围内,规定分数在40分以上的成绩为“优良”,其余成绩为“不优良”。

(1)根据频率分布直方图,估计该地区体考学生成绩的平均数;
(2)将下面的列联表补充完整,根据表中数据回答,是否有的把握认为“优良”与“城镇学生”有关?
项目
非城镇学生
城镇学生
合计
优良



不优良

115

合计


200
附,其中

0.15
0.10
0.05

2.072
2.706
3.841
【思路点拨】(1)根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算.(2)根据非城镇与城镇学生人数之比可确定非城镇与城镇学生人数,结合频率分布直方图可计算得到优良学生人数,由此确定列联表中的数据;进而计算,由此可得结论.
【自主解答】

巩固练习
1.在下列各图中,两个变量具有相关关系的是（ ）.
A.①② B.①③ C.② D.②③
2.对两个变量进行线性相关检验,得线性相关系数;对两个变量进行线性相关检验,得线性相关系数.则下列判断中正确的是（ ）.
A.变量与正相关,变量与负相关,变量与的线性相关性较强
B.变量与负相关,变量与v正相关,变量与的线性相关性较强
C.变量与正相关,变量与负相关,变量与.的线性相关性较强
D.变量与负相关,变量与正相关,变量与的线性相关性较强
3.对两个变量进行回归分析,得到一组样本数据,则下列说法中不正确的是（ ）.
A.由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点
B.决定系数越大,残差的平方和越小,模型的拟合效果越好
C.若线性回归方程为,则当解释变量每增加1个单位时,响应变量平均增加个单位
D.相关系数越接近，变量与的相关性越强
4.某种产品的广告支出费用(单位:万元)与销售量(单位:万件)之间的对应数据如下表.
广告支出费用万元万元
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量万件万件
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
根据表中的数据可得回归直线方程，,则以下说法中正确的是（ ）.
A.第三个样本点对应的残差,回归模型的拟合效果一般
B.第三个样本点对应的残差,回归模型的拟合效果较好
C.销售量的多少有是由广告支出费用引起的
D.销售量的多少有是由广告支出费用引起的
5.某个国家某种病毒传播的中期,感染人数在18天里的散点图如图所示.下面四个回归方程类型中,最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ ）.

A. B. C. D.
6.已知变量的关系可以用模型拟合,设,其变换后得到一组数据如下.

16
17
18
19

50
34
41
31
由上表可得线性回归方程,则（ ）.
A. B. C.109 D.
7.用等高堆积条形图可以粗略估计两个分类变量是否相关.观察下列各图,其中两个分类变量相关关系最强的是（ ）.

8.调查中学生近视情况知,某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生近视是否与性别有关时,用（ ）方法最有说服力.
A.平均数 B.方差 C.回归分析 D.独立性检验
9.(多选题)2018年12月1日,贵阳市地铁1号线全线开通,在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况,某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本,分析其年龄和性别结构,并制作出如下等高堆积条形图.根据图中的信息,下列结论中一定正确的是（ ）.

A.样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B.样本中多数女性是35岁及以上
C.样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D.样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
10.为了调查患胃病是否与生活无规律有关,某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人,并根据调查结果计算出了随机变量的观测值为,则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时,出错的概率不会超过（ ）.

0.400
0.250
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

0.708
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A. B. C. D.
11.(多选题)针对当下的“抖音热”,某校团委就“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数的.若有的把握认为喜欢抖音和性别有关,则被调查的男生可能有（ ）人.
附:,其中.

0.050
0.010

3.841
6.635
A.25 B.45 C. D.40
12.某机构为了解某大学中男生的体重(单位:)与身高(单位:)是否存在较好的线性关系,搜集了7位该校男生的数据,得到下表.
序号
1
2
3
4
5
6
7
身高
161
175
169
178
173
168
180
体重
52
62
54
70
66
57
73
根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为.
(1)求.
(2)已知,且当时,回归方程的拟合效果非常好;当时,回归方程的拟合效果良好.则该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好?说明你的理由.
参考数据:.
13.某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,得出以下列联表.
项目
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般


25
合计


50
如果随机抽查该班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是.
(1)求的值;
(2)试运用独立性检验的思想方法分析:能否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系?说明理由.
附,其中

0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
14.某大学举行了一次知识测试,满分为100分.该校某专业的100名大一学生参加了测试,记录这100名学生的分数,将数据分成7组:,,并整理得到如下频率分布直方图.

(1)估计这100名学生测试分数的中位数;
(2)把分数不低于80分的称为优秀,已知这100名学生中有男生70人,其中测试优秀的男生有45人,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有的把握认为测试优秀与性别有关;
项目
男生
女生
优秀


不优秀


(3)对于样本中分数在内的学生,学校准备按比例从这2组中抽取12人,再从这12人中随机抽取3人参与学校其他的宣传活动,记这3人中分数不低于90分的人数为,求的分布列和期望.
附:,其中.

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
15.某生物研究所研发了某种型号的疫苗,为检验其效果,研究人员在200只小白鼠身上进行实验,得到如下数据.
项目
未感染病毒
感染病毒
合计
未注射疫苗

60

注射疫苗

30

合计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到未感染病毒的小白鼠的概率为.
（1）能否有的把握认为注射此疫苗有效?
（2）在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析,然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实,求至少有1只注射过疫苗的概率.附:,其中.

0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

拓展探究
16.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏,玩家需要根据盘面上的已知数字,推理出所有剩余空格中的数字,并满足每一行、每一列、每一个粗线九宫格内的数字均含,且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.赛前,小明在某数独软件上进行了一段时间的训练,每天的解题平均速度(单位:秒)与训练时间(单位:天)有关,经统计,得到数据如下表.
天
1
2
3
4
5
6
7
秒
990
990
450
320
300
240
210
(1)现用作为回归方程模型,请利用表中的数据,求出该回归方程;
(2)请用(1)中的结论预测:小明经过100天训练后,每天的解题平均速度约为多少?
参考数据:（其中）



1845
0.37
0.55
参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.

第2篇 思想方法篇
第11讲 概率之本质 分布来描述
四基概述
1.离散型随机变量及其分布
随机变量及其分布列
概念
对于随机试验样本空间中的每一个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量
分布列
设离散型随汥机变量的可能取值为,称取每一个值的概率为的概率分布列,简称分布列
性质
①
②
三种分布
两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验, 称 服从两点分布或 分布
二项分布

超几何分布

其中 , 且 ,
数字特征
期望

反映随机变量取值的平均水平
方差

反映随机变量取值的离散程度
2.关键点
(1)随机变量的取值分别对应的事件是两两互斥的.
(2)分布列的性质用于检验离散型随机变量的取值是否完整.
(3)超几何分布是不放回抽样问题,二项分布是
有放回抽样问题,抽样时需注意是有放回抽样还是不放回抽样.
典例分析
例1已知集合,从集合中任取3个不同的元素,其中最小的元素用表示,从集合中任取3个不同的元素,其中最大的元素用.表示,记,则随机变量的期望为().
A. B. C.3 D.4
【思路点拨】求得随机变量的取值,分别求得相应的概率,结合期望的计算公式即可求解.
【自主解答】


-1
1
2




例2设,随机变量的分布列如下.




A. B. C. D.
【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差的关系,结合二次函数的性质即可求解.
【自主解答】

例3已知随机变量的分布列如下,则下列说法中正确的是






A.存在 B.对任意
C.对任意 D.存在
【思路点拨】表示出期望与方差,利用基本不等式判断不等关系.
【自主解答】

例4一只小虫从数轴上的原点出发开始爬行,一次爬行过程中,小虫等概率地向前或向后爬行1个单位长度,设爬行次后小虫所在位置对应的数
A. B.
C. D.
【思路点拨】本题考查利用二项分布公式求概率,以及求随机变量的期望、方差.
【自主解答】

例5(多选题)某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组,针对某技术难题同时进行科研攻关攻克该技术难题的小组都会得到奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为,且三个小组各自独立进行科研攻关,则下列说法中正确的是().
A.甲、乙、丙三个小组均得到奖励的概率为
B.只有甲小组得到奖励的概率为
C.得到奖励的小组数的期望等于
D.现已知该技术难题被攻克,则只有丙小组得到奖励的概率为
【思路点拨】根据相互独立事件的概率计算公式,针对不同的选项分别求解,即可判断和;利用概率公式结合期望公式可判断;利用条件概率的计算公式可判断D.
【自主解答】

例6某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年人流量(年人流量:一年内上游来水与库区降水之和;单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的有10年,不低于80且不超过120的有35年,超过120的有5年.将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年人流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年人流量超过120的概率.
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年人流量限制,并有如下关系.
年人流量/亿立方米年人流量/亿立方米



发电机最多可运行数量/台
1
2
3
若某台发电机运行,则该台发电机年净利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年维护费与年人流量有如下关系.
年人流量/亿立方米


年维护费/万元
500
800
欲使水电站年净利润最大,应安装发电机多少台?
【思路点拨】本题考查二项分布,还考查离散型随机变量的分布列和数学期望.
【自主解答】

巩固练习
1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验;若实验失败,则重新实验1次;若实验3次均失败,则放弃实验.若此人每次实验成功的概率为,则此人实验次数的期望是（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量的分布列如下.

-1
0
1
2

0.2


0.3
若,则的项分别是（ ）.
A. B. C. D.
3.设,随机变量的分布列如下.

0
1
2




则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
4.已知,随机变量的分布列如下.

0






当取最大值时,等于（ ）.
A.1 B. C.3 D.
5.假设某射手每次射击的命中率相同,且每次射击都是独立的.若在两次射击中至多命中一次的概率是,则该射手每次射击的命中率为（ ）.
A. B. C. D.
6.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若表示取得次品的件数,则等于（ ）.
A. B. C. D.
7.某年级7个班级中有3个是先进班级,现从中任意选3个班级,则下列事件中概率等于的是（ ）.
A.至少有1个先进班级 B.有1个或2个先进班级
C.有2个或3个先进班级 D.恰有2个先进班级
8.(多选题)将个有编号的球随机放人2个不同的盒子中,已知每个球放人这2个盒子的可能性相同,且每个盒子容纳球的个数不限,记2个盒子中较少的球数为,则下列说法中正确的为（ ）.
A.当时,方差
B.当时,
C.,使得成立
D.当确定时,期望
9.已知随机变量的分布列如下.

0
1
2




若成等差数列,则函数有且只有一个零点的概率为 .
10.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表.若记分别为的期
望,分别为的方差,则 , .(填“>""或“")















11.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛,已知每局比赛甲胜的概率为,乙胜的概率为,且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时,甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛,则甲胜的局数的数学期望为 .
12.从一副扑克牌中挑10张,其中2张红桃、8张黑桃.现从这10张扑克牌中随机抽取3张,则抽取的3张扑克牌中红桃的张数的数学期望为 .
13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,相关部门要求产品在进人市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利元,则 .
14.设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条,当它们相交时,;当它们平行时,的值为它们之间的距离;当它们异面时,.求随机变量的分布列.
15.某班主任对班级最后一次月考的语文作文分数进行了统计,发现分数都位于20～55之间,现将所有分数情况分为,共七组,其频率分布直方图如图所示.已知这组中有12人.

(1)求图中的值,并求该班级这次月考作文分数的中位数.
(2)从这组(其中共有5名女生,其余为男生)中随机选出1人(为公平起见,把每个人编号,通过号码确定),如果选到男生,则该学生留在本组;如果选到女生,则该女生交换一个男生到该组中去(已知该班级男生人数多于女生人数).重复上述过程次后,该组中的男生人数为.
①求随机变量的分布列及数学期望;
②求随机变量的数学期望关于的表达式.
拓展训练
16.某校开展“阳光体育节”活动,其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.甲、乙两人轮流进行定点踢足球比赛(每人各踢一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置,甲先踢,每人踢一次球.两人中有一人命中,命中者得1分,人命中者得分;两人都命中或都人命中,两人均得0分.甲每次踢球命中的概率为,乙每次踢球命中的概率为,且每次踢球互不影响.
(1)经过一轮踢球,记甲的得分为,求的数学期望.
(2)若经过轮踢球,用表示经过第轮踢球后,甲累计得分高于乙的概率.
(1)求;
(2)规定,且,请根据(1)中的值求出,并求出数列的通项公式.

第12讲 析成对数据 悟统计思想
四基概述
1.知识要点
(1)频率:在频率分布直方图中,横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率.
(2)众数:频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标.
(3)中位数:平分频率分布直方图中小长方形的总面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.
(4)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和.
2.技能技巧
(1)结合所学的单变量数据的直观表示和统计特征的刻画等知识和方法,可以分析数据的分布规律、集中趋势、离散程度.
(2)利用成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、列联表等知识,可以分析两个随机变量之间的相关性,建立合适的模型对数据进行预测,检验两个随机变量的独立性.
3.思想方法数据分析、数学建模.
典例分析
例1“关注夕阳、爱老敬老”是中华民族的传统美德.某机构从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,下表记录了第年(2013年是第1年)与当年捐赠的现金(单位:万元)的对应数据,由表中的数据得到关于的线性回归方程为,则预测2020年捐赠的现金大约是（ ）.

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5
A.5万元 B.万元 C.万元 D.万元
【思路点拨】结合点一定在直线上这一性质进行求解.
【自主解答】

例2某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对流感的预防作用,根据1000名注射疫苗的人与另外1000名名注射疫苗的人半年内患流感的记录,作出如下列联表,并提出假设:“这种疫苗不能起到预防流感的作用.”则下列说法中正确的是（ ）.
项目
患流感
未患流感
合计
注射疫苗
200
800
1000
名注射疫苗
260
740
1000
合计
460
1540
2000
附:,其中.

0.100
0.050
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635
A.这种疫苗预防流感的有效率为
B.若某人名注射该疫苗,则他在半年中有超过的可能性得流感
C.有的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”
D.有的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”
【思路点拨】将计算出的临界值与临界值表进行比较，得到假设不合理的程度约为,即“这种疫苗不能起到预防流感的作用”不合理的程度约为.
【自主解答】

题3某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,建了一些蔬菜大棚供村民承包管理.已知土地使用面积与相应的管理时间的关系如下表.
土地使用面积/公顷
1
2
3
4
5
管理时间/月
8
10
13
20
24
调查了某村300名村民参与管理的意愿后,得到的部分数据如下表.
项目
意参与管理
不愿参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50

(1)求出相关系数(保留三位小数)的大小,并判断管理时间与土地使用面积是否有较强的相关关系.若有,求出线性回归方程.
(2)是否有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关?
参考公式.

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
参考数据:.
【思路点拨】(1)利用表中的数据直接求,再分别计算,,然后利用公式计算相关系数和,,从而求出线性回归方程.
(2)依题意,女性村民中不愿意参与管理的人数为50,然后利用公式计算,再与临界值表比较得结论.
【自主解答】

例4为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关,某高中选取了200名学生进行问卷调查,得到如下列联表.
项目
喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80


女生

20

合计



已知从这200名学生中随机抽取1人,抽到喜欢跑步的学生的概率为.
(1)是否有的把握认为喜欢跑步与性别有关?
(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生,再从中抽取3名学生调查其喜欢的运动,用表示3名学生中女生的人数,求的分布列和数学期望.
附:,其中.

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10

0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
【思路点拨】(1)根据随机抽到喜欢跑步的学生的概率和总人数,即可求喜欢跑步的人数,可得列联表,进而求并得出结论.
(2)由分层抽样确定抽到男生、女生的人数,表示其中女生的人数,则有,求出对应的概率,写出分布列,并求期望.
【自主解答】

例5某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,因为两组活动在同一时间段进行,所以每个职工只能参加其中的一组活动.在参加活动的职工中,男士有90名,女士有110名.(1)根据统计数据,请在下面表格的空白处填写正确数字,并说明能否在犯错概率不超过的前提下,认为是否参加登山组活动与性别有关.
项目
女士
男士
合计
登山组人数
40


游泳组人数

70

合计



(2)将上述调查所得频率视为概率,现在从该单位参加活动的职工中,每次随机抽取1名职工,抽取3次,记被抽取的3名职工中参加登山组活动的人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、数学期望和方差.
附,其中

0.100
0.050
0.025
0.010
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【思路点拨】(1)根据题意得出列联表,再由公式计算,可得结论.
(2)根据题意得,由此可求得期望和方差.
【自主解答】

例6当前,“日行万步”已经成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数,得到下表.
日行步数/步







人数人
10
40
150
200
350
200
50
(1)为研究日行步数与居民年龄的关系,以日行步数是否超过8000为标准进行分层抽样,从上述1000位居民中抽取200人,得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数超过8000与居民年龄超过40岁有关.
项目
日行步数8000
日行步数>8000
合计
40岁以上


120
40岁以下(含40岁)
40

200
合计



(2)以这1000位居民日行步数超过8000的频率代替该地区1位居民日行步数超过8000的概率,且每位居民日行步数是否超过8000相互独立.为了深人研究,该研究团队随机调查了20位居民,其中日行步数超过8000的最有可能(即概率最大)是多少位居民?
附:,其中.

0.050
0.025
0.010

3.841
5.024
6.635
【思路点拨】(1)由分组数据结合分层抽样,求出抽取的200人中日行步数不超过8000和超过8000的人数,补充完整列联表,进而计算,即可判断独立性.
（2）求出每位居民日行步数超过8000的概率,设日行步数超过8000的最有可能是位居民,可求出的取值范围,进而可求出的值.
【自主解答】

巩固练习
1.蟋蟀鸣叫可以说是大自然中优美、和谐的音乐.蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温（单位:)之间存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表中的观测数据,建立了关于的线性回归方程,则下列说法中不正确的是().
/(次・)
20
30
40
50
60

25
27.5
29
32.5
36
A.的值是20
B.变量呈正相关关系
C.若的值增加1,则的值约增加
D.当蟋蟀鸣叫的频率为52次/分时,该地当时的气温预报值为
2.如图所示是某地区2010年至2019年污染天数y(单位:天)与年份的折线图.根据2010年至2014年、2015年至2019年、2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型,则().

A.
B.
C.
D.
3.PM2.5是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物(也称可人肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否有关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据,如下表，由最小二乘法求得回归直线方程十6.24.表中一个数据模糊不清,请你推断出该数据为().
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量/万辆
100
102
108
114
116
PM2.5的浓度/（微克·）
78

84
88
90
A. B. C. D.
4.为了解某社区居民的家庭年收人和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭,得到统计数据如下表.
年收人万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
年支出万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户年收人为15万元的家庭年支出为（）.
A.万元 B.万元 C.万元 D.万元
5.某大学的学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试,得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况,组织了两个研究小组.

(1)第一小组决定从单次完成个引体向上的男生中,按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试.
(1)单次完成个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少?
(2)该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈,记抽到“单次完成引体向上个”的人数为随机变量,求的分布列和数学期望.
(2)第二小组从学生的成绩与体育锻炼的相关性角度进行研究,得到了如下列联表.
项目
学业优秀
学业不优秀
合计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
合计
150
250
400
请你根据上表判断:是否有的把握认为学生的成绩与体育锻炼有关?
附:,其中.

0.025
0.010
0.005
0.001

5.024
6.635
7.879
10.828
6.机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让行人”.下表是某市一路口监控设备抓拍的5个月内驾驶员不礼让行人违章行为的统计数据.
月份/月
1
2
3
4
5
违章人数/人
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程,并预测该路口10月份的不礼让行人违章人数;
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人,调查驾驶员不礼让行人违章行为与驾龄的关系,得到下表.
项目
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
据此判断,能否有的把握认为礼让行人行为与驾龄有关?
附,,其中.

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

7.芯片作为集成电路的载体,广泛应用于手机、军工、航天等多个领域,是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计,某公司七年时间里在芯片技术上的研发投人(单位:亿元)与收益(单位:亿元)的数据统计如下图.

(1)由折线图知,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(2)根据折线图中的数据,求关于的线性回归方程(系数精确到整数部分);
(3)为鼓励科技创新,当研发投人不少于15亿元时,国家给予公司补贴4亿元,预测当研发投人为16亿元时公司的实际收益.
附:样本的相关系数;线性回归方程中的系数,;当时,两个变量高度相关.
参考数据:,
年,福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市迎来“”新高考模式.“3”指的是:语文、数学、英语,统一高考;“1”指的是:物理和历史,考生从中选一科;“2”指的是:化学、生物、地理、政治,考生从中选两科.为了迎接新高考,某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向,随机抽取了100人统计选考科目,数据如下表.
项目
选考物理
选考历史
合计
男生
40

50
女生



合计

30

(1)补全上面的列联表;
(2)将此样本的频率视为总体的概率,随机调查了本校的3名学生,设这3人中选考历史的人数为,求的分布列和数学期望;
(3)根据表中数据判断,是否有的把握认为“选考物理与性别有关”,并说明理由.
附:,其中.

0.100
0.050
0.025

2.706
3.841
5.024
9.某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校方式,整理后得到如下列联表.
项目
父母接送
独自到校
合计
男
20
40
60
女
30
20
50
合计
50
60
110
(1)根据列联表的数据判断,能否在错误的概率不超过的前提下认为到校方式与性别有关系?
(2)若以上述样本的频率作为概率,在该校学生中随机抽取6人,用表示6人中“独自到校”的人数,求的数学期望和方差.
附,其中

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

10.为了了解人们接种某种疫苗后是否会出现疲乏等症状,某组织随机抽取了某地200人进行调查,得到统计数据如下表.
项目
无疲乏症状
有疲乏症状
合计
末接种疫苗
100
20
120
接种疫苗
x
y
n
合计
160
m
200
(1)求列联表中的数据x,y,m,n的值,并判断是否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.
(2)从接种疫苗的n人中,按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出8人,再从8人中随机抽取3人做进一步调查.初始总分为10分,抽到的3人中,每出现一人有疲乏症状减1分,每出现一人没有疲乏症状加2分.设得分结果总和为X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635




11.A,B两所同类学校的高三年级分别采用甲、乙两种方案进行线上教学,为评估其教学效果,在两所学校的高三年级各随机抽取60名学生,对每名学生进行综合评分,记综合评分为80及以上的学生为优秀学生.经统计,得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生,且A学校的优秀学生占该校抽取总人数的23.
(1)填写下面的列联表,并判断能否在错误概率不超过0.1的前提下认为学生综合评分优秀与教学方案有关;
项目
优秀学生
非优秀学生
合计
甲方案



乙方案



合计




(2)对A学校的60名学生依据综合评分是否优秀进行分层抽样,抽取容量为6的样本,从这6名学生中随机抽取2名,求2名学生都是优秀学生的概率.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828




12.某机构调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系,在当地农户中随机选取了300户进行统计,发现当年收入水平提高的农户占1315,当年选择种植A作物的农户占23,既选择A作物又收入提高的农户有180户.
(1)完成下面的列联表,并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关.
项目
种植A作物
末种植A作物
合计
收入提高



收入末提高



合计



（2）某农户决定在一个大棚内交替种植A,B,C三种作物,为了保持土壤肥度,每种作物都不连续种植.开始时选择种植A,后因习惯,在每次种植A后会有13的可能性种植B,23的可能性种植C;在每次种植B的前提下,再种植A的概率为14,种植C的概率为34;在每次种植C的前提下,再种植A的概率为25,种植B的概率为35.若仅种植3次,求种植A作物的次数X的分布列和期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828




13.某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.

将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.
项目
非“体育迷”
“体育迷”
合计
男



女

10
55
合计



(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样的方法,每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.05
0.01
k0
3.841
6.635




14.2021年1月1日,新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》(以下简称《民法典》)颁布施行.为了使同学们深人了解《民法典》,大力营造学法、守法、用法的良好氛围,某校从高三年级文科班和理科班的学生中随机抽取了100名参加学校举办的“《民法典》与你同行”知识竞赛,将他们的比赛成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值.
(2)估计这100名学生比赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(3)规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为比赛成绩是否优秀与文理科别有关.
项目
优秀
非优秀
合计
文科生

30

理科生


55
合计


100
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828




15.近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业迅猛发展.某汽车交易市场对2020年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称使用时间)进行了统计,得到频率分布直方图如下(分组包含上限,不包含下限,下同).

(1)记“从2020年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用时间在(8,16]内”为事件A,以频率估计概率,估计事件A发生的概率.
(2)根据该汽车交易市场2020年的资料得到的散点图如下,其中x表示二手车的使用时间(单位:年),y表示该辆二手车的平均交易价格(单位:万元).

由散点图看出,可采用y=ea+bx作为二手车平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程,相关数据如下表(表中Yi=ln⁡yi).
x
y
Y
∑i=110 xiyi
∑i=110 xiYi
∑i=110 xi2
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
(1)据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(2)该汽车交易市场对使用8年及以下的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用8年以上的二手车收取成交价格10%的佣金,在频率分布直方图中,以各组区间的中点值代表该组的值,若以2020年的数据为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆二手车收取的平均佣金.参考公式:对于一组数据u1,v1,u2,v2,⋯,un,vn,其回归方程v=a+βu中斜率和截距的最小二乘法估计值分别为β=∑i=1n uivi-nuv∑i=1n ui2-nu2,a=v-βu.
参考数据:e2.95≈19.1,e1.75≈5.75,e0.55≈1.73,e-0.65≈0.52,e-1.85≈0.16.




拓展探究
16.新型冠状病毒的传染性是非常强的,40岁以上的人群更容易感染.该病毒进人人体后有潜伏期,并且潜伏期越长,感染他人的可能性越高.现对100个病例的潜伏期(单位:天)进行调查,统计发现潜伏期的中位数为5,平均数为7.21,方差为5.08,超过8天的潜伏期则属于长潜伏期.按照年龄统计样本,得到下面的列联表.
项目
长潜伏期
非长潜伏期
40岁以上
15
55
40岁及以下
10
20
(1)能否有90%以上的把握认为长潜伏期与年龄有关?
(2)假设潜伏期Z服从正态分布Nμ,σ2,其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差.现在很多省份对人境人员一律要求隔离14天,请用概率的知识解释其合理性.
(3)以样本频率估计概率,并计算4个病例中有XX∈N*个为长潜伏期的期望与方差.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
Pχ2⩾k0
0.10
0.05
k0
2.706
3.841
若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2,则P(μ-σ