专题六 圆的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题六 圆的综合——2023届中考数学热点题型突破

1.如图,在圆O中,AB是直径,AD是弦,点C在圆O上,于点E,,交AD的延长线于点F,且.

（1）求证:CF是圆O的切线:

（2）若,,求BE的长.

2.如图,在中,点D在边AC上,BD平分,经过点B,C的圆O交BD于点E,连接OE交BC于点F,.

（1）求证:AB是圆O的切线;

（2）若,,,求圆O的半径.

3.如图,内接于圆O,AD是圆O直径,E是CB延长线上一点,且.

（1）求证:直线AE是圆O的切线;

（2）若,,,求EB的长及圆O的半径.

4.如图矩形ABCD中,过A,B两点的圆O切CD于E,交BC于F,于H,连结EF.

（1）求证:,

（2）若,求BF的长.

5.已知，如图，在圆O中，AB为直径，C为圆上一点，AD平分并交圆O于点D，点E在AD上，且.

(1)求证：BE平分；

(2)若圆O的半径，，求AC的长.

6.如图,已知AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,,垂足分别为E,F.

（1）求证:;

（2）若,,求阴影部分的面积.

7.如图1，四边形OMTN中，，，我们把这种两组邻边相等的四边形叫做筝形.

(1)探究结论：试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；

(2)尝试应用：如图2，在筝形ABCD中，已知，，，BD，AC为对角线，.若存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上，试求出这个圆的半径；

(3)拓展延伸：如图，将正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形GBEF，AD与EF相交于点K，延长DA交GF于点H.①证明四边形KABE是筝形 ；②若，求AH的长.

8.(1) 如图 (1), 等边三角形ABC的边长为 6 , 则该等边三角形的外接圆半径长为

(2) 如图 (2), 在 中, ,, 点D,E,F 分别在边 BC,AB和AC 上, , 若点D 为BC 边的中点, , 求 AF的长度.

(3) 如图 (3), 在 中, ，, 等边三角形DEF的三个顶点分别在边BC,AB 和AC 上, 该等边三角形的面积是否存在最大值? 如果存在, 求出面积最大值; 如果不存在, 说明 理由.

9.在四边形中，，，，.直角三角板含角的顶点E在上移动，一直角边始终经过点A，斜边与交于点F.

(1)如图1，当时，求证：；

(2)如图2，在上有一点P，.若点E从点B到点C移动的速度为每秒个单位长，求点P在直角三角板内部(包括边界)的时长；

(3)连接，当的外心落在的边上时，求的值；

(4)直接写出点E移动过程中的外接圆半径的最小值.

答案以及解析

1.答案：（1）见解析

（2）BE的长

解析:（1）连接OC,AC,

,,且,

是的平分线,

,

,

,

,

,

,

是圆O半径,

是圆O的切线.

（2）,

,

,

,

,

,

,

,

.

答:BE的长.

2.答案：（1）见解析

（2）圆O的半径是5

解析:（1）证明:连接OB,如图,

,

,

BD平分,

,

,

,

,

AB是圆O的切线;

（2）解:,BD平分

,

,

,

解得,

,

,

,

,

解得,

令,

,

,

在中,

,

即

解得,

圆O的半径是5.

3.答案：（1）见解析

（2）圆O的半径为

解析:（1）证明:连结BD.

是圆O的直径,

.

.

,,

.

.

即.

是圆O的直径,

直线AE是圆O的切线.

（2）解:过点B作于点F,则.

,

,.

,,

=15

.

由（1）,又,

.

,

设,则,在中,由勾股定理得,可求得.

圆O的半径为.

4.答案：（1）见解析

（2）

解析:（1）证明:CE切圆O于E,

,

四边形ABCD是矩形,

,

,

,

（2）CE切圆O于E

,

,

5.答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：为直径，.

，，.

又平分，.

，，

，平分.

(2)解：，.

，.

设BC与AD交于点M，如图，则.

，，，

即，，.

易证，，即，

.

6.答案：（1）见解析

（2）

解析:（1）证明:连接BD,

AD是圆O的直径,B为圆上的点,

,

,

,

,

,

AD是圆O的直径,即O为AD的中点,

E为AB的中点,

.

AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,

,

,即.

（2）解:,

又,

,即.

,

,

,.

如图,连接BD,

,AD是圆O的直径,,

.

同理,,,,

,.

AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,

.

,,

.

,

,

,

.

7.答案：(1)见解析

(2)

(3)①四边形KABE是筝形

②

解析：(1)如图1，连接MN、OT，则，

理由：，，，

，

，

，

；

(2)设AC、BD交于点M，

在中，，，

，

A，B，C，D四个点都在这个圆上，

，

，

，

BD为所求圆的直径，

，，

，

，

解得，

A，B，C，D四点所在圆的半径为；

(3)①连接BK，

四边形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形GBEF，

，，

，

，

，

四边形KABE是筝形；

②，，

，

，

，

，

，

，，

，

.

8.答案： (1)

(2)3

(3) 等边三角形DEF 的面积存在最大值

解析： (1)略

(2) 如图 (1), 连接AD, 过点D 分别作 于点M, 于点N, 则,

, 点D 是BC 的中点,

，

(依据: 角平分线上的点到角两边的距离相等).

易证，.

在四边形AMDN 中, ,

,

, 即,

在和中, ，

，

，

，

，

在中,.

在中, ,

(3) 等边三角形DEF 的面积存在最大值.

如图 (2), 过点D 作 于点 G,于点H, 连接AD.

由 (2) 可知, ,

又,,

,,

AD是 的平分线,

.

是等边三角形,.

易知 ,当 且AD 取得最大值时,

面积最大.作 的外接圆, 过点 O作BC 的垂线, 垂足为点Q, 交 于点, M,N 则MN 平分, 连接AN, 如图(3)

又,

A,N,D三点共线,即AN 交BC 于点D.

,.

, 当ND 最小,即 时, AD取得最大值,

此时AN 为 直径, 点 A与点M 重合, AD 最大.

连接OB,OC, 在优弧BC 上任取一点K, 连接KB,KC,

四边形 ABKC是圆内接四边形,

,

,.

,,

,,

,

的最大值为.

9.答案：(1)证明见解析

(2)2s

(3)的长为或

(4)

解析：(1)，，.

在和中，

；

(2)如图1，分别过点A，D作，，垂足分别为M，N.

则.

当三角板过点P时，如图2，图3.

设，由(1)知，，，

，即，解得，.

点P在直角三角板内部(包括边界)的时长为：

；

(3)如图4，当时，.

，，，

；

如图5，当时，.

，，，

；

综上，当的外心落在的边上时，的长为或；

(4)设外接圆的圆心为O，其半径为r.

，劣弧所对圆周角为45°.

劣弧所对圆心角，

，当最小时，也最小，当最大时，最小.

设，，，，

，

当时，有最大值，最大值为，此时.

如图6，过点F作，交的延长线于点H，则，

，