辽宁省县级重点合作校2022-2023学年高一下学期数学期末练习C卷（解析版）

这是一份辽宁省县级重点合作校2022-2023学年高一下学期数学期末练习C卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用并使用完毕前                                     测试时间：        年    月    日    时    分——    时    分2022-2023学年第二学期辽宁省县级重点合作校联考高一期末练习C本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则（  ）。A、                   B、                 C、                 D、【答案】C【解析】由题意可知，则，故选C。2．已知甲地在地球北半球，乙地在赤道上，由于地球自转，经一昼夜，甲地转过的路程是乙地转过路程的倍，则甲地在（  ）。A、北纬圈上          B、北纬圈上         C、北纬圈上         D、不能确定甲地纬度【答案】A【解析】将地球视为球体，设其半径为，则乙地转过的路程为，设甲地所在纬度圈半径为，则甲地转过的路程为，由，得，由得甲地在北纬圈上，故选A。3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（  ）。A、           B、         C、           D、【答案】C【解析】由题意知，把函数的图像向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图像，故选B。4．已知向量与向量夹角为，且、，则向量与向量的夹角为（  ）。A、                   B、                  C、                   D、【答案】A【解析】∵、，、的夹角为，∴，∴，，∴，设向量与向量的夹角为，∴，∵，∴，故选A。5．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，，则与底面所成角的正弦值等于（  ）。A、                                      B、C、                                        D、【答案】C【解析】∵四边形为正方形，且，∴，∵，∴，∵底面，底面，∴，，设与底面的夹角为，则，故选C。6．如图所示，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（  ）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面，由题意知，球心一定在线段或的延长线上，如图1，当球心在线段上时，过点作于点，则，，∴、，设球的半径为，（），则，则由勾股定理可得，即，解得，不符合要求，舍去，如图2，当球心在的延长线上时，过点作于点，则，，∴、，设球的半径为，（），则，则由勾股定理可得，即，解得，符合要求，可取，∴，∴圆台外接球的表面积为，故选D。7．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则（  ）。A、                   B、                   C、                   D、【答案】A【解析】在中，，根据余弦定理得，又，∴，由正弦定理得（为外接圆半径），∴，∵，∴，故选A。8．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是（  ）。A、                                          B、C、                                           D、【答案】C【解析】∵，∴       ，∴，故选C。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．下列命题正确的是（  ）。A、若、为复数，则B、若、为向量，则C、若、为复数，且，则D、若、为向量，且，则【答案】AD【解析】令（）、（），则，则，又、，∴，A选项对，∵，∴，当时，不成立，B选项错，∵，，又，∴，∴，C选项错，将两边平方并化简得，D选项对，故选AD。10．已知，函数，下列选项正确的有（  ）。A、若的最小正周期，则B、当时，函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像C、若在区间上单调递增，则的取值范围为D、若在区间上只有一个零点，则的取值范围为【答案】ACD【解析】A选项，由余弦函数图像与性质，可得，得，对，B选项，当时，，将函数的图像向右平移个单位长度后得，错，C选项，若在区间上单调递增，则，，解得，，又∵，∴只有当时，此不等式有解，即，对，D选项，若在区间上只有一个零点，则，解得，对，故选ACD。11．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，、、、为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则下列说法不正确的是（  ）。A、该几何体是四棱台B、该几何体是棱柱，平面是底面C、D、平面与平面的夹角为【答案】ABC【解析】∵四边形和为直角梯形，、、、为直角顶点，其他四个面均为矩形，∴这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，∴A选项错，B选项错错，由题意可知，，两两垂直，如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则、、、，∴、，则，∴与不垂直，∴C选项错，根据题意可知平面，∴为平面的一个法向量，设平面的法向量为，、则有，即，令，则、，∴，设平面与平面的夹角为（），则，∴平面与平面的夹角为，D选项对，故选ABC。12．已知在中，角、、所对的边分别为、、，则下列命题正确的是（  ）。A、当、、时，满足条件的三角形共有个B、若，则C、若，，则为等腰直角三角形D、若，则一定是等边三角形【答案】CD【解析】在中，，A选项，由余弦定理可得：，则，∵，∴该方程无解，即不存在满足条件的三角形，错，B选项，由题意及正弦定理得，∴，又、，∴，∴，又、，∴或或，即（可取）或（可取）或（可取），∴或，错，C选项，由余弦定理及、可得：，则，则，∴为等腰直角三角形，对，D选项，由题意可知、、，则、、，若，则，可得，即，∴一定是等边三角形，对，故选CD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知向量，向量，向量（），则        。【答案】【解析】由题意可知，∴。14．如图所示，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距海里，渔船乙以海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用小时追上，则渔船甲的速度为        ，        。（本小题每个空2.5分）【答案】海里/小时    【解析】在中，、、，由余弦定理得：，∴，∴海里/小时，在中，，由正弦定理得，∴，∴。15．在中，已知、、，且点是的外接圆上任意一点，则的最大值为        。【答案】【解析】由题意可知，即为直角三角形，建立平面直角坐标系，如图所示，则、、，外接圆为，设，则，，∴，当且仅当时取等号，∴的最大值是。16．如图所示，在中，、，点和点分别在直线的两侧，且，则的最大值为        。 【答案】【解析】在中，设，则，由正弦定理得：，∴，又∵，∴，∴，∴，∴为直角三角形，在中，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，∴，在中，由余弦定理得：，即，又∵，∴当，即时，取得最大值为。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）如图所示，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的。位于该市的某大学与市中心的距离，且。现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学。其中，，。（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长。   【解析】（1）在中，，且，，由余弦定理得：，                         3分∴，即大学与站的距离为；                                4分（2）∵，且为锐角，∴，在中，由正弦定理得：，即，∴，又，∴，                                6分∴，∵，∴、，∴，又，∴，                                    8分在中，，由正弦定理得：，即，∴，即铁路段的长为。                                    10分18．（本小题满分分）已知向量、向量，函数。（1）求函数的单调递减区间；（2）已知、、分别是内角、、的对边，为锐角，，，且恰是在上的最大值，求、和的面积。【解析】（1），                                        3分由（），得（），                4分∴的单调递减区间为（）；                                  5分（2）在中，，由（1）知：，时，                      6分由正弦函数图像可知，当时取得最大值，∴，即，       8分由余弦定理得，∴，                 10分∴。                                            12分19．（本小题满分分）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且。（1）求的值；（2）求的取值范围。【解析】（1）在中，，由题意及正弦定理得：，         1分∴，                      2分∴，又∵，∴，                      3分∴，又，∴；                                               4分∴；                 6分（2）由（1）可知，又、，∴，                      8分则，       10分又，∴，∴的取值范围为。12分20．（本小题满分分）已知函数。（1）化简函数；（2）已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若方程有解，求实数的取值范围。【解析】（1）；    2分（2）∵，由（）得：（），            4分∴的递增区间为，，                              5分∵在上是增函数，∴当时，有，             6分∴，解得，∴的取值范围是；                              8分（3）方程，即为，从而问题转化为方程有解，                                       9分只需在函数的值域范围内，∵，当时，当时，                                     11分∴实数的取值范围为。                                                      12分21．（本小题满分分）如图所示，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面。（1）求点到平面的距离；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值。    【解析】（1）设点到平面的距离为，∵，三棱锥的体积为，∴三棱锥的体积为，        2分又由，得，解得；                            4分（2）取的中点，连接，则，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又，∴平面，∴，                                     6分以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，设，，则、，取中点，则，∵四边形是平行四边形，，∴为正三角形，∴，，又，又，解得、，                              8分∴、、、，∴、、、，                      9分设平面的法向量，则，∴，令，则、，∴，                                     10分设平面的法向量，则，∴，令，则、，∴，                                      11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。                                       12分22．（本小题满分分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，、、。（1）求证：；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由。      【解析】（1）连接与相交于点，连接，如图所示，∵四边形为菱形，∴为的中点，∴，∵为等边三角形，∴，又∵，、平面，∴平面，∵平面，∴，                                                   2分∵四边形为菱形，∴，又∵、、平面，∴平面，∵平面，∴；                                                  4分（2）、分别为、的中点，连接、，由（1）可知，又，，、平面，平面，∵，∴平面，∵为等边三角形，∴，以为原点，、、的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，    6分则、、、，由、得、，设（），则，∴，∴，7分由题意可知平面的一个法向量为的方向上的单位向量，                8分设平面的一个法向量，∵、，∴，即，令，则，，即，                             10分∵平面与平面的夹角的余弦值为，∴，∴，又，∴，解得，∴存在点，。                   12分