精品解析:黑龙江省哈尔滨市顺迈高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(解析版)
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这是一份精品解析:黑龙江省哈尔滨市顺迈高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
顺迈高中2022—2023学年度下学期期中考试数学试卷考试时间:120分钟 满分:150分命题人:谢文博 审题人:徐玉顺第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1. 的虚部是( )A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用虚部的定义判断即可.【详解】的虚部为,故选:D2. 不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解.【详解】解:不等式,可化为,解得,即不等式的解集为.故选:C.3. 复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】,故对应的点为故选:D.4. 已知,是第一象限角,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式得,结合已知求,即可求的值.【详解】,而,是第一象限角,可得,∴.故选:D.5. 若一个圆锥的底面半径为1,母线长为,则圆锥的体积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由已知条件求出圆锥的高,从而可求出圆锥的体积【详解】因为圆锥的底面半径为1,母线长为,所以圆锥的高为,所以圆锥的体积为,故选:C6. 若i虚数单位,复数z满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法求出的代数形式,再代入求模即可.【详解】由已知,.故选:B.7. 已知长方体的长、宽、高分别为1,1,2,并且其顶点都在球O的球面上,则球O的体积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径,从而求出外接球半径,从而得到体积.【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径,故外接球半径,故外接球的体积为.故选:B8. 国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动,如图所示,在操场上选择了C,D两点,在C,D处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且C、D的距离为15米,则旗杆的高度为多少米?( )A. 13 B. C. 15 D. 【答案】C【解析】【分析】设旗杆的高度为,在中,利用余弦定理求解.【详解】如图所示: 设旗杆的高度为,所以,在中,由余弦定理得,即,即,解得或(舍去),故选:C二、多项选择题(本题共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 下列各式中,值为的是( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式可判断A;由二倍角的正弦公式可计算B;由二倍角的余弦公式可判断C;由诱导公式可计算D.【详解】对于A:,所以A正确对于B:,所以B正确对于C:,所以C不正确对于D:,所以D正确,故选:ABD.10. 如图,在正方形ABCD中,Q为BC上一点,AQ交BD于E,且E,F为BD的两个三等分点,则( ) A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】建立直角坐标系,利用向量的坐标运算即可求解.【详解】建系如图,不妨设正方体的边长为,设,则根据题意可得:,,,,,,, ,,,,,,,由于,所以,故,对于A, ,故A正确,对于B,,故B正确,对于C,,故C正确,对于D,,,故D错误,故选:ABC 11. 设函数,则下列结论正确的为( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D. 在上的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数的周期可判断A;将代入验证可判断B;根据正弦函数图象的平移变换可判断C;由,确定,根据正弦函数的最值可判断D.【详解】对于函数,它的最小正周期为,故A错误;令,求得,可得的图象关于点对称,故B正确;把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,故C错误;当,,故当时,函数取得最大值为,故D正确.故选:BD.12. 如图,在棱长为2的正方体中,E为边AD的中点,点P为线段上的动点,设,则( )A. 当时,EP//平面 B. 当时,取得最小值,其值为C. 的最小值为 D. 当平面CEP时,【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明判断A;利用两点间距离公式计算判断BC;确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,,,则点,对于A,,,,而,显然,即是平面的一个法向量,而,因此不平行于平面,即直线与平面不平行,A错误;对于B,,则,因此当时,取得最小值,B正确;对于C,,于是,当且仅当时取等号,C正确;对于D,取的中点,连接,如图,因为E为边AD中点,则,当平面CEP时,平面,连接,连接,连接,显然平面平面,因此,平面,平面,则平面,即有,而,所以,D错误.故选:BC【点睛】关键点睛:涉及空间图形中几条线段和最小的问题,把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内,再利用两点之间线段最短解决是关键.第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分.)13. 复数的共轭复数为_______.【答案】【解析】【分析】先化简复数,再利用共轭复数的概念求解.【详解】解:因为复数,所以其共轭复数为,故答案为:14. 已知向量,满足,,,则与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】先设与的夹角为,再根据由向量夹角公式即可求解.【详解】设与的夹角为,则,又,所以与的夹角为.故答案为:.15. 已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.【答案】【解析】【分析】由题意该四面体外接球就是正方体的外接球,求出半径即可求解【详解】由题意可知四面体内置于一个正方体中,且易得该正方体的边长为,该四面体外接球就是正方体的外接球,可知其外接球的半径为,且,从而其表面积为.故答案为:16. 如图,在四边形中,,且,若,则的最大值为_____________.【答案】【解析】【分析】设,利用余弦定理可求得,结合垂直关系可得,根据向量数量积定义可得,由正弦型函数最大值可求得结果.【详解】设,则,作,交的延长线于点,由余弦定理得:,,即,,,,即,,,,,,则当,即时,,.故答案为:.四、解答题(本题共6小题,17题10分,18—22每题12分,共70分)17. 已知,.(1)当m为何值时,与共线?(2)若,当k为何值时,与垂直?【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据向量平行满足的坐标运算即可求解,(2)根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.【小问1详解】,共线,则,【小问2详解】,由于与垂直,所以18. 在中,内角所对的边分别为,,,已知.(1)若,,求的值;(2)若,判断的形状.【答案】(1); (2)正三角形.【解析】【分析】(1)(2)根据给定条件,利用余弦定理计算、推理判断作答.【小问1详解】在中,,,,由余弦定理得:,所以.【小问2详解】在中,,而,则,由及余弦定理得:,整理得,则,所以为正三角形.19. 如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,,,M为的中点. (1)证明:∥平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)连接交于,连接,则由三角形中位线定理可得∥,然后由线面平行的判定定理可证得结论;(2)根据题意直接利用三棱锥的体积公式求解.【小问1详解】连接交于,连接,因为四边形为平行四边形,所以,因为M为中点,所以∥,因为平面,平面,所以∥平面; 【小问2详解】因为底面是平行四边形,,,所以,,因为M为的中点,所以,又在直四棱柱中,底面,所以三棱锥的体积为20. 如图,在四棱锥中,//平面PAD,,,,点N是AD的中点.求证: (1)//;(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值.【答案】(1)见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质定理即可证明;(2)由线线平行,以及异面直线所成角的定义即可求解平面角,由余弦定理即可求解.【小问1详解】在四棱锥P﹣ABCD中,BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,∴BC∥AD,【小问2详解】由于点N是AD的中点,BC∥AD,,所以,故四边形为平行四边形,则 ,故或其补角即异面直线PA与NC所成角,在中,,故异面直线PA与NC所成角的余弦值为21. 在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c、满足.(1)求角B的大小;(2)若,求的面积的最大值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理求即可;(2)利用基本不等式得到,然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.【小问1详解】因为,由余弦定理得,又,所以.【小问2详解】因为,由(1)得,当且仅当时取等号,所以,面积所以三角形面积的最大值为.22. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米,为迎接“五一“观光游,欲在边界BC上选择一点P,修建现赏小径PM,PN,其中M,N分别在边界AB,AC上,小径PM,PN与边界BC的夹角都是60°,区域PMB和区域PNC内种植郁金香,区域AMPN内种植月季花, (1)探究“赏小径PM,PN的长度之和是否为定值?请说明理由(2)为深度体验观赏,准备在月季花区域内修建小径MN,当点P在何处时,三条小径(PM,PN,MN)的长度之和最小?(3)求郁金香区域面积之和的最小值.【答案】(1)400; (2)P点是MN的中点,; (3).【解析】【分析】(1)在和中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和;(2)在中利用MN边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可;(3) 由(1)可知PM=,,进而表达出与,并利用PB+PC=BC为定值,利用基本不等式求解即可.【小问1详解】解:在中,=180°-60°-45°=75°,由正弦定理可得:, 即==,同理可得,所以=为定值;【小问2详解】解:在中,由余弦定理可得:,即,所以,,又由(1)有=, 故,当且仅当时等号成立. 故当P点是MN的中点时,三条小径(PM,PN,MN)的长度之和最小,最小为;【小问3详解】解:由(1)可知PM=,故=,同理可得:,所以=====. 当且仅当PB=PC=200时取得最小值.
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