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    精品解析:黑龙江省哈尔滨市顺迈高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(解析版)

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    这是一份精品解析:黑龙江省哈尔滨市顺迈高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    顺迈高中2022—2023学年度下学期期中考试数学试卷考试时间:120分钟        满分:150命题人:谢文博        审题人:徐玉顺卷(选择题)一、选择题(本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1. 的虚部是(    A. 2 B.  C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用虚部的定义判断即可.【详解】的虚部为故选:D2. 不等式的解集是(    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解.【详解】解:不等式,可化为,解得即不等式的解集为故选:C3. 复数在复平面内对应的点在(    A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】,故对应的点为故选:D4. 已知是第一象限角,则的值为(    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式得,结合已知求,即可求的值.【详解】,而是第一象限角,可得.故选:D.5. 若一个圆锥的底面半径为1,母线长为,则圆锥的体积是(    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先由已知条件求出圆锥的高,从而可求出圆锥的体积【详解】因为圆锥的底面半径为1,母线长为所以圆锥的高为所以圆锥的体积为故选:C6. i虚数单位,复数z满足,则    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法求出的代数形式,再代入求模即可.【详解】由已知.故选:B.7. 已知长方体的长、宽、高分别为112,并且其顶点都在球O的球面上,则球O的体积是(    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径,从而求出外接球半径,从而得到体积.【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径,故外接球半径故外接球的体积为.故选:B8. 国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动,如图所示,在操场上选择了CD两点,在CD处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得CD的距离为15米,则旗杆的高度为多少米?(    A. 13 B.  C. 15 D. 【答案】C【解析】【分析】设旗杆的高度为,在中,利用余弦定理求解.【详解】如图所示: 设旗杆的高度为所以中,由余弦定理得解得(舍去),故选:C二、多项选择题(本题共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 下列各式中,值为的是(    A.  B.  C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式可判断A;由二倍角的正弦公式可计算B;由二倍角的余弦公式可判断C;由诱导公式可计算D.【详解】对于A,所以A正确对于B,所以B正确对于C,所以C不正确对于D,所以D正确,故选:ABD.10. 如图,在正方形ABCD中,QBC上一点,AQBDE,且EFBD的两个三等分点,则(      A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】建立直角坐标系,利用向量的坐标运算即可求解.【详解】建系如图,不妨设正方体的边长为,设,则根据题意可得:, ,,,,由于,所以,故,对于A, ,A正确,对于B,B正确,对于C,C正确,对于D,D错误,故选:ABC   11. 设函数,则下列结论正确的为(    A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D. 上的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数的周期可判断A;将代入验证可判断B;根据正弦函数图象的平移变换可判断C;由,确定,根据正弦函数的最值可判断D.【详解】对于函数,它的最小正周期为,故A错误;,求得,可得的图象关于点对称,故B正确;把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,故C错误;,故当时,函数取得最大值为,故D正确.故选:BD12. 如图,在棱长为2的正方体中,E为边AD的中点,点P为线段上的动点,设,则(    A. 时,EP//平面 B. 时,取得最小值,其值为C. 的最小值为 D. 平面CEP时,【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明判断A;利用两点间距离公式计算判断BC;确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,,则点对于A,而显然,即是平面的一个法向量,,因此不平行于平面,即直线与平面不平行,A错误;对于B,则因此当时,取得最小值B正确;对于C于是,当且仅当时取等号,C正确;对于D,取的中点,连接,如图,因为E为边AD中点,则,当平面CEP时,平面连接,连接,连接,显然平面平面因此平面平面,则平面即有,而,所以D错误.故选:BC【点睛】关键点睛:涉及空间图形中几条线段和最小的问题,把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内,再利用两点之间线段最短解决是关键.卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分.)13. 复数的共轭复数为_______.【答案】【解析】【分析】先化简复数,再利用共轭复数的概念求解.【详解】解:因为复数所以其共轭复数为故答案为:14. 已知向量满足,则的夹角为______【答案】【解析】【分析】先设的夹角为,再根据由向量夹角公式即可求解.【详解】的夹角为,所以的夹角为故答案为:15. 已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.【答案】【解析】【分析】由题意该四面体外接球就是正方体的外接球,求出半径即可求解【详解】由题意可知四面体内置于一个正方体中,且易得该正方体的边长为该四面体外接球就是正方体的外接球,可知其外接球的半径为从而其表面积为.故答案为:16. 如图,在四边形中,,且,若,则的最大值为_____________【答案】【解析】【分析】,利用余弦定理可求得,结合垂直关系可得,根据向量数量积定义可得,由正弦型函数最大值可求得结果.【详解】,则,交的延长线于点由余弦定理得:,即,则当,即时,.故答案为:.四、解答题(本题共6小题,1710分,18—22每题12分,共70分)17. 已知1m为何值时,共线?2,当k为何值时,垂直?【答案】1    2【解析】【分析】1)根据向量平行满足的坐标运算即可求解,2)根据向量垂直满足的坐标关系即可求解.【小问1详解】共线,则【小问2详解】由于垂直,所以18. 中,内角所对的边分别为,已知.1,求的值;2,判断的形状.【答案】1    2正三角形.【解析】【分析】1)(2)根据给定条件,利用余弦定理计算、推理判断作答.【小问1详解】中,,由余弦定理得:所以.【小问2详解】中,,而,则及余弦定理得:,整理得,则所以为正三角形.19. 如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,M的中点.  1证明:∥平面2求三棱锥的体积.【答案】1证明见解析    2【解析】【分析】1)连接,连接,则由三角形中位线定理可得,然后由线面平行的判定定理可证得结论;2)根据题意直接利用三棱锥的体积公式求解.【小问1详解】连接,连接因为四边形为平行四边形,所以因为M中点,所以因为平面平面,所以∥平面  【小问2详解】因为底面是平行四边形,所以因为M的中点,所以又在直四棱柱中,底面所以三棱锥的体积为20. 如图,在四棱锥中,//平面PAD,点NAD的中点.求证:  1//2求异面直线PANC所成角余弦值.【答案】1见解析    2【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质定理即可证明;2)由线线平行,以及异面直线所成角的定义即可求解平面角,由余弦定理即可求解.【小问1详解】在四棱锥PABCD中,BC∥平面PADBC平面ABCD平面ABCD∩平面PADADBCAD【小问2详解】由于点NAD的中点,BCAD,所以,故四边形为平行四边形,则 ,或其补角即异面直线PANC所成角,中,,故异面直线PANC所成角的余弦值为21. 中,内角ABC所对的边分别为abc、满足1求角B的大小;2,求的面积的最大值.【答案】1    2【解析】【分析】1)利用余弦定理求即可;2)利用基本不等式得到,然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.【小问1详解】因为由余弦定理得,又,所以.【小问2详解】因为由(1)得,当且仅当时取等号,所以面积所以三角形面积的最大值为22. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC,其中斜边BC的长度为400米,为迎接五一观光游,欲在边界BC上选择一点P,修建现赏小径PMPN,其中MN分别在边界ABAC上,小径PMPN与边界BC的夹角都是60°,区域PMB和区域PNC内种植郁金香,区域AMPN内种植月季花, 1探究赏小径PMPN的长度之和是否为定值?请说明理由2为深度体验观赏,准备在月季花区域内修建小径MN,当点P在何处时,三条小径(PMPNMN)的长度之和最小?3求郁金香区域面积之和的最小值.【答案】1400;    2P点是MN的中点,    3.【解析】【分析】(1)中分别利用正弦定理即可求得PMPN的长度之和;(2)中利用MN边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可;(3) 由(1)可知PM,进而表达出,并利用PB+PC=BC为定值,利用基本不等式求解即可.【小问1详解】解:在中,180°60°45°75°由正弦定理可得:  同理可得所以为定值;【小问2详解】解:在中,由余弦定理可得:所以又由(1)有 ,当且仅当时等号成立.  故当P点是MN的中点时,三条小径(PMPNMN)的长度之和最小,最小为【小问3详解】解:由(1)可知PM同理可得:所以. 当且仅当PB=PC=200时取得最小值.   

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