新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 培优点3 导数中函数的构造问题（含解析）课件PPT

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导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题.
例1　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为______________________.
(－∞，－4)∪(0,4)
解析　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减.根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4).
(2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________.
(－1,0)∪(0,1)
当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1).
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增.
由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，
1.(2020·广东韶关调研)已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是A.f(2 021)>e2 021f(0)B.f(2 021)∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减，
∴f(2 021)解析　因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f′(x)<0.
所以f(x)＋(x－1)f′(x)>0，构造函数g(x)＝(x－1)·f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝(1－1)f(1)＝0，所以当x<1时，g(x)<0，所以f(x)>0；当x>1时，g(x)>0，所以f(x)>0.因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)>0.综上，对于任意x∈R，f(x)>0，故选B.
3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(x)为偶函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增，根据f(1)＝0可得F(1)＝0.根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
4.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 020)2f(x＋2 020)－4f(－2)>0的解集为_______________.
(－∞，－2 022)