2023届河南省青桐鸣大联考高三下学期4月联考文科数学试题

2023届普通高等学校招生全国统一考试

大联考(高三)

数学(文科)

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合则   (        )

A.{1 ,2}              B.{1 ,2,3}               C.{1 ,2,3,4}            D.{1 ,2,3,4,5}

2. 复数满足,则||=                                                       (        )

A.1                     B.                    C.2                    D. 

3. 已知命题,命题则是的                         (       )

A.充分不必要条件                              B.必要不充分条件

C.充要条件                                    D.既不充分也不必要条件

4. 已知正实数,点M(1,4)在直线    上，则的最小值为                     (       )

A.4                    B.6                     C.9                    D.12

5. 已知 则=                                 (        )

6. 函数 的图象大致是                       (         )

7. 若执行下面的程序框图，则输出的                                                    (        )

A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78

B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91

C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120

D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,136

8.  已知圆O为△ABC的外接圆,   则                  (       )

A.2                B.-2                  C.4                 D.-4

9.   函数  的最大值为          (       )

A.1                    B.                     C.                  D.  

10. 在长方体中2,.为的中点,⊥平面,则与所成角的余弦值为                                                          (       )

11. 已知数列{}满足则              (        )

12. 已知抛物线上有三点,),点的纵坐标为 2,-4, 且,则△面积的最大值为                                                    (        )

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 的一条切线是,则实数=            .

14. 已知一个球的表面上有四点，   平面⊥平面,则该球的表面积为            .

15. 已知数列{}满足  则  

16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，点位于双曲线的右支上，交左支于点,△的内切圆的半径为1,与,分别切于点,则=            .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

已知锐角三角形的内角的对边分别为a ,

(1)求;

(2)若 求b+c的取值范围.

18. (12分)

为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)

(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：

①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；

②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.

(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.

附  

19. (12分)

在四棱锥P-ABCD中,AB=4,BC=CD=2,AB//CD,∠ABC=90°,

PA=PD=2,PD⊥BD.

(1)证明:平面PAB⊥平面PBD;

(2)求点C到平面PAB的距离.

20. (12分)

已知点 在椭圆 上，分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为1的直线交椭圆于两点，椭圆上是否存在定点，使直线和的斜率之和满足与均不重合)?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

21. (12分)

设函数 

(1)求的单调区间;

(2)若函数有三个零点,且 证明.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为    为参数且),以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且   直线的极坐标方程为

(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数的图象如图所示,当  时,取得最小值3,

(1)求实数的值;

(2)若恒成立,求实数的取值范围.

2023届普通高等学校招生全国统一考试

大联考(高三)答案

数学(文科)

1. C   【解析】由 得1≤<26,故={1,2,3,4}.故选C.

2. B   【解析】 则  故 故选B.

3. B   【解析】由题意得,命题，故是的必要不充分条件.故选B.

4. C  【解析】由题意得 故· 当且仅当 即时,等号成立.故选C.

5. A 【解析】由tanαtanβ=2,得sinαsinβ=2cosαcosβ,与 联立，解得   故cos(α-β)=cosαcosβ+ 故选A.

6. A【解析】 ,可知为偶函数,排除B;易知,,排除C;=0,排除D.故选A.

7. C   【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.

8. B   【解析】如图,

圆O的直径为故|OB|=|OC|=R=2,∠BOC=2∠BAC=120°,故 故选B.

9. A 【解析】 故最大值为1.故选A.

10. B  【解析】连接MB,MD,BD,连接A₁D,如图,

A₁B₁⊥平面BCC₁B₁,则A₁B₁⊥BM,又A₁C⊥平面MBD,则A₁C⊥BM,A₁C∩A₁B₁=A₁,则BM⊥平面A₁B₁C,则BM⊥B₁C,∠MBC=∠BB₁C,则tan∠MBC=tan∠BB₁C,则 解得   由长方体的性质易知，A₁B₁∥DC,所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,所以A₁D∥B₁C,则∠BA₁D即为所求角,在△BA₁D中,   故   故选B.

11.B【解析】 故{}是首项为=+1=2,公比为2的等比数列，则 故选B.

12. C【解析】由题意得, 则M(1,2),由y₁+y₂=-4, 得  -1.

设直线AB：，代入抛物线方程得,可得Δ=16+16t>0,得.

点M(1,2)到AB的距离为d= 故

由,得,即,又,则,则 ,易得当且仅当   时,g(t)取得最大值，为 故S△MAB最大值为  故选C.

  【解析】设切点坐标为(x₀，y₀)，则满足 则 ax₀=x₀-1, 代入①得,解得 ,

14. 16π【解析】设球心为O,半径为R,BD的中点为M,则M为△BCD的外心,OM⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,故O在平面ABD内,故O为△ABD的外心  故  

【解析】当时, 满足故=,n∈.令

则

两式相减得， 

  【解析】设内切圆与F₂M切于点Q,,如图,

则,即,化简得①, =,即②,①+②得,NI平分∠RNP,则故 则

17.解:(1)由题意得   化简得

即

则  

解得

(2)由题意及正弦定理  得  

则

由(1)知,   得   则

故

故的取值范围是

18. 解:(1)①由题意得,南山:“一级”苹果40千克,“二级”苹果150千克,“三级”苹果200-190=10(千克),南山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 (元/千克),

北山:“一级”苹果50千克,“三级”苹果40-10=30(千克),“二级”苹果200-50-30=120(千克),故北山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 (元/千克).

②南山“一级”苹果有3×40=120(个),“二级”苹果有4×150=600(个),“三级”苹果有6×10=60(个),共有780个,

按分层抽样的方式抽取的13个苹果中，“一级”苹果有   (个)，“二级”苹果有 10(个),“三级”苹果有 (个),

2个“一级”苹果分别记为A₁,A₂,10个“二级”苹果分别记为： “三级”苹果记为C，抽取2个苹果有

C),…,(,共78种可能,恰有1个“三级”苹果有(A₁,C),(A₂,C),(B₁, ,共12种可能.

故所求概率为  

(2)由(1)可得以下2×2列联表:

则   2.706,

故有90%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.

19.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,AB∥CD,

∴∠BCD=90°,

过点D作DM⊥AB,如图,

则DM=BC=2,AM=AB-BM=AB-CD=2,

又∵AB=4,AB²=BD²+AD²,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BD,

又PD⊥BD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,

∴BD⊥平面PAD.

∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥BD.

∵BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PBD,

∴PA⊥平面PBD,

又PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBD.

(2)由PA⊥平面PBD易知∠APB=90°,PA=2,AB=4,则   

取AD的中点为Q，连接PQ，AC，由等腰三角形三线合一的性质易得PQ⊥AD.

又BD⊥平面PAD,BD⊂平面ABCD,则平面PAD⊥平面ABCD,

PQ⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,且   ,

  设点C到平面PAB的距离为h，

易得   即  解得    

20.解解得 a²=4,

将   代入椭圆方程   得   b²=3,故椭圆的标准方程为  

(2)假设存在定点T，则设,直线的方程为,

由题意得    将 y₁ = x₁ + t,y₂=x₂+t  代入整理得   2x₁x₂+( t-x ₀-y₀)(x₁+x₂)-2x₀( t-y₀)=0( * ) ,联立 整理得,则  

代入(*)式整理得  

 解得

代入验证得  都在椭圆上，

故存在定点T，使

点T的坐标为

21.解:  令,得

①若0,当时,  当x>-1时   

则的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1,+∞).

②若,当时,当x>-1时   

则f的单调递减区间为(-1，+∞)，单调递增区间为(-∞,-1).

(2)证明：因为函数 有三个零点，所以方程 有三个不相等的实数根，又易知为方程的一个实根，所以方程 有两个不相等的实数根，即-m= 有两个不相等的实数根.

令则

当时, 单调递增；

当时, )单调递减，

所以.

又因为当时,<0;当时,,当x→+∞时,g(x)→0,

所以,

则.

要证,  即证, 即证,只需证.

因为,

所以只需证,即证   

即证( - 1 ,0) .

令  

则  

当∈(-1,0)时,  故  

为增函数，所以  ,

原式得证，故,  即  ,

22.解:(1)由 且   

得

∴,即

∴直线l的直角坐标方程为;

由得,

则

又1) ,

∴曲线C的普通方程为

(2)将  代入 整理得，

则

∴实数m的取值范围为

23.解:(1)因为,所以 即

解得

故实数的值为  

(2)由题意知，当 时,取得最小值3,

当函数的图象过点时,

即 时

而由图象可知

故