湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考 数学试卷

2023届湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考

数学试题卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知i为虚数单位，，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A．1 B． C． D．

4．已知函数在处的切线与直线垂直，则a的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，（e为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

8．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．以下说法正确的是（    ）

A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88

B．相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性

C．的展开式中常数项为15

D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立

10．已知直三棱柱中，，，M，N，Q分别为棱，，AC的中点，P是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面MNA

B．三棱锥的体积为定值

C．的最大值为4

D．若P为的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为

11．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点（A在第一象限），，P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．双曲线C的离心率为2

C．的面积为 D．直线OP的斜率为

12．已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A．关于对称 B．的一个周期为

C．不关于对称 D．关于对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________．（用分数表示）

14．已知函数，，若，且在上单调递增，则的值为________．

15．已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．

16．函数．若，使得成立，则整数a的最大值为________．（参考数据：，，）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足．

（1）求证：；

（2）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，，，，平面平面PBD，M为线段PB上的一点．

（1）证明：平面ABCD；

（2）当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．

（1）求盒子中恰剩2个红球的概率；

（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X，求X的分布列与数学期望．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆E：经过点，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．

（1）求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；

（2）记△AFM、△BFM的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB的方程．

参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求在上的单调性；

（2）若存在，对，恒有，求实数k的取值范围．

2023届湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C

【解析】∵，，∴，故选C．

2．A

【解析】∵，∴的对应点为，在第一象限，故选A．

3．C

【解析】∵，，∴，为在上的投影向量，故选C．

4．B

【解析】∵的斜率为，∴，，，∴．故选B．

5．B

【解析】∵，∴，，．又，为等差数列，，，所有正项和使取得最大值，最后一个正项为，∴最大．故选B．

6．D

【解析】如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，易知AC为圆面ABC的直径，平面ABC，O，M分别为BD，BN的中点，所以平面ABC，

∵，∴，

即，在Rt△ABC中，，

∴，∴，∴球O的表面积为．故选D．

7．A

【解析】对两边取对数，，而在上单调递增，∴．法一：令，，∴在单调递減，∴，即，∴；法二：；

又，∴，∴．故选A．

8．D

【解析】令，即，∴M点的坐标为，则的最小值为的最小值，即点M到直线的距离为．故选D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ACD

【解析】对于A，∵，∴第75百分位数为88，正确；对于B，相关系数r的绝对值接近于0，只能说两个随机变量没有线性相关性，错误；对于C，常数项为，正确；由定义可得D项成立．故选ACD．

10．AC

【解析】连接，，易证平面平面，平面，则平面MNA，故A正确；，故B错误；，当P和重合时，最大为4，故C正确；由题意，A，M，P三点所确定的截面周长为，故D错误．故选AC．

11．AD

【解析】由题意可得，，∴，A正确；∵过的直线斜率为，设该直线的倾斜角为，则，∴，在中，由余弦定理得，即，，∴，B错误；∵，∴，∴的面积为，C错误；设，，由得，，则直线OP的斜率为，D正确．故选AD．

12．ABD

【解析】对于A，由两边求导得，即关于对称，A正确；对于B，由为偶函数，知关于对称，又，则关于对称，所以的一个周期为，的一个周期为，所以B正确；对于C，当时，由，得，关于对称，当时，不关于对称，所以C不对；对于D，由为偶函数，知关于对称，即，则，即关于对称，所以D正确．故选ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

【解析】设不吸烟者中患肺癌的概率为x，由全概率公式得：，解得．

14．2

【解析】，由，得，故，，，又在上单调递增，∴，∴．故当时，．

15．4

【解析】设，，由得，∴，，又AB是焦点弦，∴，则，∴点，，解得．

16．

【解析】，易知是周期为的周期函数．，当时，在单调递增，单调递減，单调递增，单调递減，又，且．构造函数，求得，由基本不等式可得，当时，恒成立，所以函数在单调递增，且，故，所以有，即为函数的最大值．若，使得成立，即，亦即，构造函数，可知在单调递减，在单调递增．又，所以，，所以，令，则，构造函数，可知在单调递减，在单调递增．又，，，，所以满足条件的整数，故整数，所以整数a的最大值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）∵，∴，……2分

∴，

∴．……4分

（2）由（1）可得：，且C为钝角，即，……5分

即，，……6分

，……9分

当且仅当，即时取等号．

故的最大值为．……10分

18．【解析】（1）∵，

∴，

两式作差得，∴，……2分

当时，，∴，……3分

所以是首项为，公比为的等比数列，……4分

故．……5分

（2）∵，∴，……7分

∴，①

，②

两式作差得，

化简得，……9分

∵恒成立，∴，，

当时，；……10分

当时，；……11分

当时，，，所以，

综上所述，．……12分

19．【解析】（1）连接PO，过点A作PO的垂线，垂足为H，

∵平面平面PBD，且交线为PO，

∴平面PBD，……1分

又∵平面PBD，∴，……2分

又∵四边形ABCD为菱形，∴，又∵，

∴平面PAC，……3分

又∵平面PAC，∴，……4分

又∵，，

∴平面ABCD．……5分

（2）连接MH，由（1）知∠AMH为AM与平面PBD所成的角，……6分

∴，当点M为PB的中点时，最大为，……7分

如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

易知平面ABCD的一个法向量为．

设平面AMC的法向量，

则令得，

即，……9分

设平面MAC与平面ABCD的夹角为，

则，……11分

所以当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，

平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为．……12分

20．【解析】（1）恰剩2红球，第3次必是黄球，

．……5分

（2）X的所有可能取值为1，2，3，……6分

，……7分

，……8分

，……9分

∴X的分布列为

……10分

．……12分

21．【解析】（1）由题意可得即，，……2分

故椭圆E的方程为．……3分

设，，，

由参考结论知过点P在A处的椭圆E的切线方程为，……4分

同理，过点P在B处的椭圆E的切线方程为．

∵点P在直线PA，PB上，∴……5分

∴直线AB的方程为，则直线AB过定点．……6分

（2）设直线AB的方程为，联立得，……7分

故，，……8分

∴，……10分

当且仪当，即时取等号，……11分

此时直线AB的方程为．……12分

阅卷说明：第一问用极点极线直接得结果的扣2分．

22．【解析】（1）时，，，……1分

，，，单调递减；……2分

，，，单调递增．……3分

综上所述，在，上单调递减；在，上单调递增．……4分

（2）

今，，

则，．……5分

①若，，

，∴在单调递增，

，，

∴，，，，单调递减，

∴，，不合题意；……7分

②若，，

，∴在单调递增，

，，

∴，，

，，单调递减，

∴，，不合题意；……9分

（③若，，

，∴在单调递增，

∴成立；

∴在恒成立，

故时，符合题意．……11分

综上，k的取值范围是．……12分