天津市和平区2023届高三二模数学试题

和平区2022-2023学年度第二学期高三年级第二次质量调查

数学学科试卷

温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!

第I卷（选择题共45分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

锥体的体积公式，其中s表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

如果事件A､B互斥，那么.

如果事件A､B相互独立，那么.

一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知全集，集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.函数的图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（    ）

①的值为0.005；

②估计成绩低于60分的有25人；

③估计这组数据的众数为75；

估计这组数据的第85百分位数为86.

A.②③    B.①③④    C.①②④    D.①②③

5.设，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ）

A.1    B.    C.    D.3

7.如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设分别为双曲线的左，右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为（    ）

A.3    B.4    C.    D.5

9.函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（    ）

①

②函数在上单调递减；

③函数在上的值域为；

④曲线在处的切线斜率为.

A.0个    B.1个    C.2个    D.3个

第II卷（非选择题共105分）

注意事项：

1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.

2.本卷共11题，共105分.

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）

10.复数满足，则__________.

11.若在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）

12.设，若，则的最大值为__________.

13.在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为__________；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望__________.

14.在平行四边形中，，边的长分别为2与1，则在上的投影向量为__________（用表示）；若点分别是边上的点，且满足，则的取值范围是__________.

15.已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________.

三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）

在中，内角所对的边分别为，设满足条件和，

（1）求角和；

（2）若，求的面积；

（3）求.

17.（林小题满分15分）

如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）求平面与平面的夹角的正弦值.

18.（本小题满分15分）

在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，椭圆与轴正半轴的交点为点，且为等腰直角三角形.

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知斜率为1的直线与椭圆相切于点，点在第二象限，过椭圆的右焦点作直线的垂线，垂足为点，若，求椭圆的方程.

19.（本小题满分15分）

已知数列为等差数列，数列为等比数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）

（3）求.

20.（本小题满分16分）

已知函数，其中，

（1）若，

（i）当时，求的单调区间；

（ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.

（2）证明：当时，存在直线，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线.

和平区2022-2023学年度第二学期高三年级二模考试

数学试卷参考答案及评分标准

一､选择题（9×5分=45分）

二､填空题（6×5分=30分）

10.    11.-20    12.3    13.；    14.；    15.

三､解答题（共75分）

16.（14分）

解：（1）由余弦定理得，

因为，所以.

由已知条件，应用正弦定理

即，

所以.

（2）因为，所以，

所以.

（3）因为，所以，

所以.

所以.

17.（15分）

（1）证明：因为四边形为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，

因为平面，所以.

（2）解：取的中点，连接，

因为为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面平面，所以平面，

以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量为，

由，令，

则，

设直线与平面所成角为，

，

则直线与平面所成角的余弦值为.

（3）解：设平面的法向量为，

由，令，则，

设平面与平面的夹角为，

，

所以平面与平面的夹角的正弦值为.

18.（15分）

解：（1）设椭圆的半焦距为，由已知得点，

因为为等腰直角三角形，所以，即，

所以，

有.

（2）由（1），设椭圆方程为，

因为切点在第二象限，设直线的方程为点坐标，

因为直线与椭圆相切，

由方程组消去，可得.

由，可得，即，

，所以，

因为直线与直线垂直，所以斜率为-1，则直线的方程为，

由方程组，解得，所以.

又因为，

有，

.

所以，则，

所以椭圆的方程为.

19.（15分）

（1）解：设等差数列公差为，等比数列公比为，

因为，所以，

所以，

所以，

又因为，所以，

所以.

（2）证明：右式.

.

，

，

两式相减得

，

所以左式右式，原式得证.

（3）解：，

设.

，

.

.

则.

20.（16分）

（1）解：（1）时，，

，

令，即，

令，即，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），.

两侧同时取对数，有

设函数，

则，

令，有，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，

又因为，且时，.

则曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件为，

即，

所以的取值范围为.

（2）证明：

曲线在点处的切线.

曲线在点处的切线.

要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得和重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②得.③

因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解.

设函数，

即要证明当时，函数存在零点.

可知时，；

时，单调递减，

又，

故存在唯一的，且，使得，即.

由此可得在上单调递增，在上单调递减.

在处取得极大值.

因为，故，

下面证明存在实数，使得.

因为可证，

所以当时，有

根据二次函数的性质，存在实数，使得，

因此当时，存在，使得.

所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线.