2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）复数z＝i（1﹣i）的模|z|＝（　　）
A． B．2 C．1 D．4
2．（4分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（　　）
A．R B．[﹣2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）
3．（4分）二项式（x2﹣）5展开式中，x4的系数是（　　）
A．﹣40 B．10 C．40 D．﹣10
4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
5．（4分）数列{an}中，a1＝1，an+1＝﹣2an，数列{bn}满足bn＝|an|，则数列{bn}的前n项和Sn＝（　　）
A． B． C．2n﹣1 D．（﹣2）n﹣1
6．（4分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（　　）

A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
7．（4分）“ln（x+1）＜0”的一个必要而不充分条件是（　　）
A．﹣1＜x＜ B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C．1 D．
9．（4分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．9 D．18
10．（4分）在平面直角坐标系中，从点P（﹣3，2）向直线kx﹣y﹣2﹣k＝0作垂线，垂足为M，则点Q（2，4）与点M的距离|MQ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．17
二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．（5分）在△ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝2，则AC的长为　 　．
12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 　 　．

13．（5分）已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（，），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C，该条件的序号是　 　；满足该条件的双曲线C的标准方程是　 　．
条件①：双曲线C的离心率e＝2；
条件②：双曲线C的渐近线方程为y＝；
条件③：双曲线C的实轴长为2．
14．（5分）函数在区间上单调，且，则ω的最小值为　 　．
15．（5分）正△ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，．给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③不是定值，与直线l的位置有关；
④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如表：
分数段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
1
2
2
8
3
3
1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．
（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
（Ⅱ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值．

18．（13分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，满足b2＝12，b5＝30．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn；
（Ⅱ）若对任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立，求k的取值范围．
条件①an2+an＝2Sn；
条件②a1＝9，当n≥2，a2＝2，an+1＝an+2．
19．（15分）曲线C上任一点M（x，y）到点F1（﹣1，0），F2（1，0）距离之和为，点P（x0，y0）是曲线C上一点，直线l过点P且与直线x0x+2y0y﹣2＝0垂直，直线l与x轴交于点Q．
（Ⅰ）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点P（x0，y0）的坐标表示）；
（Ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论．
20．（15分）已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上存在极大值M，证明：M＜．
21．（15分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：
①D⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；
②∀a∈A，（a，a）∈D；
③∀a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，则a＝b；
④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈D且（b，c）∈D，则（a，c）∈D，
则称集合D为A的一个偏序关系．
（Ⅰ）设A＝{1，2，3}，判断集合D＝{（1，1），（1，2）（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系：
（Ⅲ）设E为集合A的一个偏序关系，a，b∈A．若存在c∈A，使得（c，a）∈E，（c，b）∈E，且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c）∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b．证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．

2021年北京市门头沟区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）复数z＝i（1﹣i）的模|z|＝（　　）
A． B．2 C．1 D．4
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i，
∴|z|＝．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2．（4分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（　　）
A．R B．[﹣2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
3．（4分）二项式（x2﹣）5展开式中，x4的系数是（　　）
A．﹣40 B．10 C．40 D．﹣10
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：由通项公式得：Tr+1＝•（﹣2）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，
可得含有x4的系数是，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（　　）

A．2 B． C．4 D．
【分析】画出直观图，利用三视图的数据转化求解即可．
【解答】解：根据直观图不难得出，
PC是最长的棱长，长度为：．
故选：D．

【点评】本题考查三视图求解几何体的相关数据，最长棱长的求法，是基础题．
5．（4分）数列{an}中，a1＝1，an+1＝﹣2an，数列{bn}满足bn＝|an|，则数列{bn}的前n项和Sn＝（　　）
A． B． C．2n﹣1 D．（﹣2）n﹣1
【分析】由题设得到数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得其前n项和．
【解答】解：由题设可知：b1＝|a1|＝1，＝＝2，
∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题．
6．（4分）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（　　）

A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
【分析】解法一，求出转动的角速度，利用直角三角形的边角关系求出OC、∠BOC的值，计算最佳观赏期的圆心角和运行的一圈里最佳观赏时长．
解法二，求出转动的角速度，写出点P到从最下端开始运动，运行中到地面距离解析式f（t），计算f（t）≥34时t的取值范围，求出最佳观赏期的时长．
【解答】解：如图所示，

解法一，转动的角速度为，
计算OC＝44﹣（34﹣12）＝22，
所以，
所以最佳观赏期的圆心角为，
在运行的一圈里最佳观赏时长为（分钟）．
解法二，转动的角速度为，
所以点P到从最下端开始运动，运行中到地面距离为
f（t）＝44sin（t﹣）+56（0≤t≤18），
令f（t）≥34，得sin（t﹣）≥﹣，
解得﹣≤t﹣≤，
即3≤t≤15，
所以最佳观赏期的时长为15﹣3＝12（分钟）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
7．（4分）“ln（x+1）＜0”的一个必要而不充分条件是（　　）
A．﹣1＜x＜ B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0
【分析】直接利用对数的运算，不等式的解法，集合间的关系，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：设ln（x+1）＜0，
整理得ln（x+1）＜ln1，
解得：M＝{x|﹣1＜x＜0}，
它的必要条件的集合为N，则M是N的真子集．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：对数的运算，不等式的解法，集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】由任意角的三角函数知cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ，再根据两角差的余弦公式，即可得解．
【解答】解：由题意得，cosα＝cosβ，sinα＝﹣sinβ，
∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝．
故选：B．
【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9．（4分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．9 D．18
【分析】画出图形，通过B在解得F的左侧与右侧，判断三角形的形状，转化求解P即可．
【解答】解：由题意可知，当B在焦点F的右侧时，
，
当B在焦点F的左侧时，同理可得P＝18，此时点B在x轴的负半轴，不合题意．
故选：B．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．
10．（4分）在平面直角坐标系中，从点P（﹣3，2）向直线kx﹣y﹣2﹣k＝0作垂线，垂足为M，则点Q（2，4）与点M的距离|MQ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．17
【分析】根据直线kx﹣y﹣2﹣k＝0过定点N（1，﹣2），得到点M是在以PN为直径的圆C：（x+1）2+y2＝8上，再把所求问题转化即可求解结论．
【解答】解：直线kx﹣y﹣2﹣k＝0过定点N（1，﹣2），
∵PM⊥MN，
可知点M是在以PN为直径的圆C：（x+1）2+y2＝8上，
又，
可得：，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线方程过定点以及两点间的距离公式的应用，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．（5分）在△ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝2，则AC的长为　　．
【分析】利用余弦定理，即可求得AC的值．
【解答】解：△ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝2，如图所示：

由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝12+22﹣2×1×2×cos＝7，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用余弦定理求三角形边长的应用问题，是基础题．
12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 　2　．

【分析】根据平面BA1C1∥平面ACD1，可得点M的轨迹是△A1C1B三角形及其内部，然后利用正三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：因为平面BA1C1∥平面ACD1，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，
所以点M的轨迹是△A1C1B三角形及其内部，
所以△A1BC1的面积为．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了面面平行的性质，以及三角形的面积公式，同时考查了转化思想和运算求解的能力，属于中档题．
13．（5分）已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（，），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C，该条件的序号是　②　；满足该条件的双曲线C的标准方程是　x　．
条件①：双曲线C的离心率e＝2；
条件②：双曲线C的渐近线方程为y＝；
条件③：双曲线C的实轴长为2．
【分析】设双曲线方程为或，然后根据各个条件逐个求解即可．
【解答】解：设双曲线方程为或，
条件①：因为e＝，且c2＝a2+b2，
又，解得或，
所以双曲线方程为x或，故有两条双曲线；
条件②：因为y＝x，则或，
又，解得a2＝1，b2＝3或无解，故只有一条双曲线；
条件③：因为实轴长为2，故2a＝2，所以a＝1，
又，所以b2＝1或b2＝3，
所以双曲线方程为y2﹣x2＝1或x，故有两条双曲线，
综上，只有②能确定一条双曲线，且双曲线方程为x，
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的方程与性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
14．（5分）函数在区间上单调，且，则ω的最小值为　1　．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而根据正弦函数的图像和性质即可求解．
【解答】解：因为，
又由函数在区间上单调，且，
可得：是它的一个称中心，
所以，k∈Z，
因为ω＞0，
所以ω最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图像和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
15．（5分）正△ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，．给出下列四个结论：
①；
②若，则；
③不是定值，与直线l的位置有关；
④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 　①④　．
【分析】通过向量的数乘运算判断①的正误；向量的数量积的运算法则判断②的正误；通过向量共线推出λμ的关系．判断③的正误；求出△AMN与△ABC的面积之比，再利用均值不等式求出最小值，然后判断④的正误．
【解答】解：对于①，＝，可得①正确；
对于②，，＝
＝＝＝，显然②不正确；
对于③，，
又因为，O，M，N三点共线
所以是定值，可得③不正确
对于④，设，
由均值不等得，
由③得：，
当且仅当时，取等号，可得④正确．
故答案为：①④．

【点评】本题考查命题的真假的判断，向量的数量积以及共线向量定理的应用，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如表：
分数段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
1
2
2
8
3
3
1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．
（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
（Ⅱ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望．
【分析】（Ⅰ）设恰好2名学生都是优秀这一事件为A，利用古典概型概率求解即可．
（Ⅱ）X可取0，1，2求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）设恰好2名学生都是优秀这一事件为A，…………………………（1分）
．………………………………………………………………（2分）
（Ⅱ）设每名同学为优秀这一事件为B，由题意可得，……（2分）
X可取0，1，2，………………………………………………………………（1分）
，
，
，……………（3分）
X
0
1
2
P



……（1分）
E（X）＝．………………………………………（2分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题以及计算能力，是中档题．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）证明PA⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面PAC，即可证明平面EBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）E是PC的中点，连结OE，OB，OC，OE两两垂直，建立如图所示的坐标系，求出平面EBC的法向量，直线DE的方向向量，利用空间向量的数量积求解ED与平面EBC所成角的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，…………………………………（1分）
底面ABCD菱形，可得BD⊥AC，………………………………………（1分）
又PA∩AC＝A，
又PA⊥BD，BD⊥AC，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，BD⊥平面PAC，…………………………………………（2分）
BD⊂平面EBD，平面EBD⊥平面PAC．………（2分）
（Ⅱ）若E是PC的中点，连结OE，则OE∥PA⇒OE⊥平面ABCD，……（1分）

所以，OB，OC，OE两两垂直，建立如图所示的坐标系，………（1分）
不妨设AB＝2，则…（2分）
设平面EBC的法向量为＝（x，y，z），，
取x＝1，则y＝z＝，所以，＝（1，，），
直线DE的方向向量为＝（，0，1），
cos＝＝．
ED与平面EBC所成角的正弦值为：．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．
18．（13分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，满足b2＝12，b5＝30．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn；
（Ⅱ）若对任意n∈N*不等式kSn≥bn恒成立，求k的取值范围．
条件①an2+an＝2Sn；
条件②a1＝9，当n≥2，a2＝2，an+1＝an+2．
【分析】选择①，（Ⅰ）由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）运用等差数列的通项公式和参数分离，结合数列的单调性求得最值，可得所求范围；
选择②，（Ⅰ）运用等差数列的通项公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）运用等差数列的通项公式和参数分离，结合基本不等式求得最值，可得所求范围．
【解答】选择①an2+an＝2Sn．
解：（Ⅰ）得：当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，（1），（2），
两式相减得：，
而an＞0，可得：an﹣an﹣1＝1，数列{an}为等差数列，
所以，an＝1+（n﹣1）×1＝n，
；
（Ⅱ）设bn＝b1+（n﹣1）d，b2＝12，b5＝30，即b1+d＝12，b1+4d＝30，
解得b1＝6，d＝6，
所以，bn＝6n，
由kSn≥bn得：，
设，则{cn}是递减数列，
所以，当，cn达到最大，
所以，k的取值范围为[6，+∞），
选择②a1＝9，当n≥2，a2＝2，an+1＝an+2．
解：（Ⅰ）当n≥2，an+1＝an+2⇒an+1﹣an＝2，
当n≥2，an＝a2+（n﹣2）×2⇒an＝2n﹣2，
所以，，
，
（Ⅱ）设bn＝b1+（n﹣1）d，b2＝12，b5＝30，代入得：bn＝6n，
由kSn≥bn得：，
设，
当且仅当n＝3时，上式取得等号，
所以，
综上所述，k的取值范围是．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列不等式恒成立问题解法，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
19．（15分）曲线C上任一点M（x，y）到点F1（﹣1，0），F2（1，0）距离之和为，点P（x0，y0）是曲线C上一点，直线l过点P且与直线x0x+2y0y﹣2＝0垂直，直线l与x轴交于点Q．
（Ⅰ）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点P（x0，y0）的坐标表示）；
（Ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）由题意可知结合椭圆的定义，求出a，b，得到椭圆方程．通过P的坐标，转化求解Q的坐标即可．
（Ⅱ）点P（x0，y0）满足方程：，通过，结合化简求解推出两个比值相等．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，c＝1，，所以b＝1，……（2分）
曲线C的方程为：，……………………………………………（2分）
当y0＝0时，直线l与x轴重合，不合题意，
当x0＝0时，直线l与y轴重合，点Q是原点，Q（0，0），………………………（1分）
当x0≠0，y0≠0时，由题意得：，直线l的方程：2y0x﹣x0y﹣x0y0＝0，…（2分）
得，……………………………………………………………………（1分）
综上所述，点．…………………………………………………………（1分）
（Ⅱ）点P（x0，y0）满足方程：，……………（1分）
，………………………………………………（1分）
将代入整理得：，………（2分），……………………………………………………（1分）
所以，＝．…………………………………………………………（1分）
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
20．（15分）已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上存在极大值M，证明：M＜．
【分析】（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣ax，由题意得：f′（x）＝ex﹣ax≥0⇒a≤，设，利用导数研究其单调性极值即可得出结论．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≤e时，函数f（x）在（0，+∞）上递增，无极大值，于是a＞e．设h（x）＝f′（x）＝ex﹣ax，利用导数研究其单调性极值，进而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣ax…………………………………………（1分）
由题意得：f′（x）＝ex﹣ax≥0⇒a≤………………………………（1分）
设，求导得：g′（x）＝………………………………（1分）
g（x）在区间（0，1）上减，在区间（1，+∞）上增，
g（x）的最小值为g（1）＝e……（1分）
所以，a≤e………………………………………………………………（1分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a≤e时，函数f（x）在（0，+∞）上递增，无极大值……1 分
所以，a＞e………………………………………………………………………（1分）
设h（x）＝f′（x）＝ex﹣ax，则h′（x）＝ex﹣a＝0⇒x＝lna…………………………（1分）
f′（x）在（0，lna）上减，在（lna，+∞）上增，
f′（x）的最小值f′（lna）＝a（1﹣lna）＜0…（1分）
而f′（0）＝1＞0，f′（1）＝e﹣a＜0，f′（lna2）＝a（a﹣2lna），
设t（x）＝x﹣2lnx（x＞e），
求导得：t′（x）＝＞0，t（x）＞t（e）＝e﹣2＞0，所以，f′（lna2）＝a（a﹣2lna）＞0…（2分）
由零点存在定理得：f′（x）在（0，lna），（lna，+∞）上分别有一个零点x1，x2，
即f′（x1）＝0⇒＝ax1，f′（x2）＝0⇒＝ax2，且0＜x1＜1……（1分）
f（x）在（0，x1）上增，在（x1，x2）减，在（x2，+∞）上增，f（x）极大值为f（x1）＝M…（1分）
，
由均值不等式得，…（2分）
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（15分）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：
①D⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；
②∀a∈A，（a，a）∈D；
③∀a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，则a＝b；
④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈D且（b，c）∈D，则（a，c）∈D，
则称集合D为A的一个偏序关系．
（Ⅰ）设A＝{1，2，3}，判断集合D＝{（1，1），（1，2）（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系：
（Ⅲ）设E为集合A的一个偏序关系，a，b∈A．若存在c∈A，使得（c，a）∈E，（c，b）∈E，且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c）∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b．证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．
【分析】（Ⅰ）集合D满足①②③，但不满足④，推导出集合D不是集合A的偏序关系，由此能求出结果．
（Ⅱ）R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，满足①②，推导出a＝b，满足条件③，（a，c）∈R≤，满足条件④，由此能证明R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系．
（Ⅲ）假设对A中的两个给定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．推导出（c2，c1）∈E，（c1，c2）∈E，则c2＝c1，与c1≠c2矛盾．从而对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．
【解答】解：（Ⅰ）集合D满足①②③，但不满足④，
因为（1，2）∈D，（2，3）∈D，由题意（1，3）∈D，而（1，3）∉D，所以不满足④，
集合D不是集合A的偏序关系，
故D＝{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（开放性）．
（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，满足①②，
∀（a，b）∈D⇒a≤b，且（b，a）∈D⇒b≤a，则a＝b，满足条件③，
∀a，b，c∈R，若（a，b）∈R≤且（b，c）∈R≤，则a≤b，b≤c，所以a≤c，
所以（a，c）∈R≤，满足条件④，
综上所述，R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系．
（Ⅲ）证明：用反证法．假设对A中的两个给定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．
设c1＝a∧b，c2＝a∧b，且c1≠c2，则（c1，a）∈E，（c1，b）∈E，（c2，a）∈E，（c2，b）∈E，
其中E为集合A的一个偏序关系．
且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c1）∈E，所以（c2，c1）∈E，
同理（c1，c2）∈E，则c2＝c1，与c1≠c2矛盾．
所以，对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．
【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查两个集合的偏序关系的证明，考查反证法、集合间的关系、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
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