2021年北京市平谷区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市平谷区高考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市平谷区高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．（4分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，则A∩B等于（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|x＞1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}
2．（4分）设复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z等于（　　）
A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i
3．（4分）的展开式中x4的系数是（　　）
A．28 B．56 C．112 D．256
4．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（　　）

A．3π B．8π C．12π D．14π
5．（4分）设P是圆x2+y2﹣10x﹣6y+25＝0上的动点，Q是直线x＝﹣4上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．（4分）函数f（x）＝ln（x+1）的图象与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2＝c2的一个交点为P，且∠PF2F1＝，那么双曲线C1的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
9．（4分）已知数列{an}满足，且对任意n∈N*，都有，那么a4为（　　）
A． B．7 C． D．10
10．（4分）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]，A，B两点间的距离为d（单位：cm），则d等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．（5分）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是　 　．
12．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为　 　．
13．（5分）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，BC＝2，那么等于　 　；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么的最大值是　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在上单调递增，那么常数ω的一个取值　 　．
15．（5分）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．如图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．
根据上述信息，下列结论中正确的是：
①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；
②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；
③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；
④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．

17．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c﹣2bsinC＝0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积条件．
条件①：b＝3，a＝2；
条件②：a＝2，A＝．
18．（14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到如表（单位：人次）：
满意度
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
（Ⅰ）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（Ⅱ）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；
（Ⅲ）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．
19．（15分）已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B'，直线PB'交x轴于点M，求证：|OM|•|ON|为定值．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1时，过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y＝f（x）相切？请说明理由．
21．（15分）已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3），具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n）aj+ai与aj﹣ai，两数中至少有一个是该数列中的一项，Sn为数列A的前n项和．
（Ⅰ）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；
（Ⅱ）证明：a1＝0，且Sn＝；
（Ⅲ）证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．

2021年北京市平谷区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．（4分）若集合A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，则A∩B等于（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|x＞1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2|，B＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）设复数z满足（1﹣i）z＝1+i，则z等于（　　）
A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1﹣i）z＝1+i，得z＝，
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（4分）的展开式中x4的系数是（　　）
A．28 B．56 C．112 D．256
【分析】求出二项展开式的通项公式，令x的指数为4，求出r的值，从而可得x4的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1＝x8﹣r＝2rx8﹣2r，
令8﹣2r＝4，解得r＝2，
所以的展开式中x4的系数是22＝112．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式以及系数的求法，属于基础题．
4．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（　　）

A．3π B．8π C．12π D．14π
【分析】由三视图可知，该几何体为圆柱，从而求表面积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆柱，
其底面半径为1，高为3；
故其表面积为：
2×π•12+2π×3＝8π，
故选：B．
【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．
5．（4分）设P是圆x2+y2﹣10x﹣6y+25＝0上的动点，Q是直线x＝﹣4上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意求出圆的标准方程，再根据直线和圆的位置关系，求得|PQ|的最小值．
【解答】解：P是圆x2+y2﹣10x﹣6y+25＝0圆，圆即 （x﹣5）2+（y﹣3）2＝9，
由于圆心C（5，3），半径等上的动点于R＝3，
Q是直线x＝﹣4上的动点，则|PQ|的最小值为|QC|﹣R＝9﹣3＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，属于中档题．
6．（4分）函数f（x）＝ln（x+1）的图象与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】在同一坐标系中分别画出函数f（x）＝ln（x+1）与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象，然后利用数形结合思想即可求解．
【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数f（x）＝ln（x+1）与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象，
如图所示，
故函数f（x）＝ln（x+1）与函数f（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，
故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象的交点问题，涉及到数形结合思想，属于基础题．
7．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出函数f（x）是偶函数的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若f（x）＝Asin（ωx+φ）为偶函数，
则φ＝，
∴“f（x）是偶函数”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．
8．（4分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2＝c2的一个交点为P，且∠PF2F1＝，那么双曲线C1的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】由题意可得∠F1PF2＝，由题意可得|PF2|，|PF1|的值，再由双曲线的定义可得a，c的关系，求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意如图所示：由题意可得∠F1PF2＝，
因为∠PF2F1＝，所以可得|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|PF2|＝c，
所以2a＝|PF1|﹣|PF2|＝c﹣c＝（﹣1）c
所以双曲线的离心率e＝＝＝+1，
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的性质及圆的性质，属于基础题．
9．（4分）已知数列{an}满足，且对任意n∈N*，都有，那么a4为（　　）
A． B．7 C． D．10
【分析】利用题中的条件，可以进一步推出an+1与an的递推关系，进而可以解出．
【解答】解：由，得4an+1an+2an+1＝an+1an+2an，
∴，
∴＝；
＝；
＝；
故选：A．
【点评】本题考查了数列通项递推式，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．
10．（4分）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]，A，B两点间的距离为d（单位：cm），则d等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出经过t秒秒针转过的角度，然后利用圆的性质以及垂径定理即可求解．
【解答】解：因为经过t秒，秒针转过的角度为：，
如图，取AB的中点C，连接OC，
则根据直角三角形的性质可得：
d＝|AB|＝2|OA|sin∠AOC＝2×，
故选：D．

【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到圆与圆的弦的性质，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．（5分）函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域是　（1，3]　．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：1＜x≤3，
故函数的定义域是（1，3]，
故答案为：（1，3]．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．
12．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为　2　．
【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，
代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x

∴焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1
设所求点坐标为M（x，y）
作MQ⊥l于Q
根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离
即x+1＝3，解之得x＝2，
代入抛物线方程求得y＝±4
故点M坐标为：（2，y）
即点M到y轴的距离为2
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．
13．（5分）已知在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝1，BC＝2，那么等于　﹣1　；若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，那么的最大值是　0　．
【分析】由题意画出图形，分析P在内部或边界上时的不同情况，数形结合可得 的最大值为0．
【解答】解：如图，
由AB＝1，BC＝2，可得AC＝，
故∠ABC＝60°，
∴＝1×2×cos120°＝﹣1，
当P在BC上时，⊥，∴•＝0，
当P在AC、AB及三角形内部时，与夹角为钝角，∴•＜0，
故的最大值为0，
故答案为：﹣1；0．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在上单调递增，那么常数ω的一个取值　　．
【分析】由正弦函数的性质可得[﹣，]是f（x）的一个单调递增区间，由已知可得﹣≤﹣，≥，进而即可解得0＜ω≤，即可得解．
【解答】解：因为函数f（x）＝sinωx的周期T＝，
所以[﹣，]是f（x）的一个单调递增区间，
又函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在上单调递增，
所以⊆[﹣，]，
于是有，﹣≤﹣，≥，
又ω＞0，
解得0＜ω≤，故可得常数ω的一个取值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图像和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
15．（5分）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．如图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．
根据上述信息，下列结论中正确的是：
①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；
②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；
③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；
④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增．
其中所有正确结论的序号是 　②③　．

【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可．
【解答】解：①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于2﹣1.5＝0.5，故①错误，
②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确，
③看两点纵坐标之差哪组最大，故③正确，
④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查函数的简单应用问题，根据折线图，正确理解对应意义是解决本题的关键，是基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．

【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH，推导出MH∥BP，从而PB∥平面ACM；
（Ⅱ）取AB中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OB，OH，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MBC与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣BC﹣D的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BD交AC于H点，连接MH
∵四边形ABCD是菱形，∴点H为BD的中点．
又∵M为PD的中点，∴MH∥BP，
又∵BP⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
解：（Ⅱ）取AB中点O，连接PO，
∵△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，分别以OB，OH，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，2，0），M（，1，），
＝（0，2，0），＝（，1，），
设平面MBC的一个法向量为，
由，取z＝，得，
平面ABCD的一个法向量为，
∴cos＜＞＝＝．
由图可知，二面角M﹣BC﹣D为锐角，则其余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
17．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c﹣2bsinC＝0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积条件．
条件①：b＝3，a＝2；
条件②：a＝2，A＝．
【分析】（I）由已知结合正弦定理进行化简可求sinB，结合锐角三角形条件可求B，
（II）选①：由余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式可求；
选②：由正弦定理可求b，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】解：（I）因为c﹣2bsinC＝0，
由正弦定理得，sinC﹣2sinBsinC＝0，
因为sinC＞0，
所以sinB＝，
由B为三角形内角且B为锐角得B＝；
（II）选①：b＝3，a＝2，
由余弦定理得b2＝4+c2﹣2c，
即c2﹣2c﹣23＝0，
解得c＝1+2，S＝＝＝；
选②：a＝2，A＝，
由正弦定理，
所以b＝，C＝＝，
故sinC＝sin（）＝，
S＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式，属于中档题．
18．（14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到如表（单位：人次）：
满意度
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
120
120
100
150
120
不满意
50
30
30
50
50
80
（Ⅰ）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（Ⅱ）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；
（Ⅲ）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．
【分析】（Ⅰ）求出总人次以及对酸奶满意的人次，利用概率公式计算即可；
（Ⅱ）分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后计算三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；
（Ⅲ）直接根据表格中的数据判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）设这个人恰好对生产的酸奶质量满意为事件A，总人次为500人，
共抽取得了100+120+150＝370人次对酸奶满意，故＝；
（Ⅱ）由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为，
抽取青年人满意度的概率为，
抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率
P（D）＝＝，
所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为；
（Ⅲ）青年人．
【点评】本题考查了概率统计的综合应用，解题的关键是掌握概率的求解公式，属于基础题．
19．（15分）已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B'，直线PB'交x轴于点M，求证：|OM|•|ON|为定值．
【分析】（Ⅰ）由离心率及过的点的坐标，a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设B的坐标，由题意求出B'的坐标，设直线PB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，可得B的坐标，及B'的坐标，由题意由直线PB的方程可得M的坐标，求出直线PB'的方程，可得N的坐标PM的斜率，进而可证得|OM|•|ON|的值为定值
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝，b＝，c2＝a2﹣b2，
解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（Ⅱ）证明：由题意可得直线PB的斜率存在，设为k，
设P（x1，y1），B（x2，y2），则B'（x2，﹣y2），N（m，0），M（n，0），
设直线PB的方程为：y＝kx+，
联立，整理可得：（3+4k2）x2+8kx＝0，
Δ＝64×3k2＞0，x1+0＝﹣，x1＝﹣，y1＝﹣+＝，
所以B的坐标（﹣，），
则B'的坐标（﹣，﹣），
直线PB'的方程为：y+＝（x+），
令y＝0，可得x＝•4k，所以M（•4k，0），
在y＝kx+中，令y＝0，则x＝﹣，所以N（﹣，0），
则|OM|•|ON|＝|•4k|•|﹣|＝4，
综上所述可证得：|OM|•|ON|＝4为定值．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1时，过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y＝f（x）相切？请说明理由．
【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）设切点，求出切线方程，确定切点的个数，即可确定过点P（﹣1，0）可作几条直线与曲线y＝f（x）相切．
【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝，f′（x）＝，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减；
（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝，
设切点为（m，n），则f′（m）＝（m﹣m2）e﹣m，
∴切线方程为y﹣n＝（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），
代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1＝0，
设g（m）＝m3+m2+1，g′（m）＝3m2+2m，
由g′（m）＞0，可得m＜﹣或m＞0，g′（m）＜0，可得﹣＜m＜0，
∴函数g（m）的单调递减区间是（﹣，0），单调递增区间是（﹣∞，﹣），（0，+∞）；
∵g（﹣）＞0，g（0）＞0，
∴g（m）＝0有唯一解，
∴过点P（﹣1，0）可作1条直线与曲线y＝f（x）相切．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是中档题．
21．（15分）已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3），具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n）aj+ai与aj﹣ai，两数中至少有一个是该数列中的一项，Sn为数列A的前n项和．
（Ⅰ）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；
（Ⅱ）证明：a1＝0，且Sn＝；
（Ⅲ）证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
【分析】（Ⅰ）利用性质P分别判断即可得结论；
（Ⅱ）由性质P可得an﹣an与an+an中至少有一个是数列A中的项，根据0≤a1＜a2＜…＜an，an+an∉A，an﹣an∈A，从而可证得a1＝0；
由性质P可知an﹣a1＞an﹣a2＞an﹣a3＞…＞an﹣an，从而可得an﹣a1＝an，an﹣a2＝an﹣1，……an﹣an＝a1，将这n个等式左右两端同时相加，即可证得Sn＝；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得a3＝2a2，a4＝3a2，a5＝4a2，从而得证．
【解答】解：（Ⅰ）解：因为1+3＝4∉A，3﹣1＝2∉A，故数列0，1，3，5不具有性质P，
因为2+0＝2，2﹣0＝2；4+0＝4，4﹣0＝4；6+0＝6，6﹣0＝6；4+2＝6，4﹣2＝2；6+2＝8，6﹣2＝4；6+4＝10，6﹣4＝2，
这六组数中，每组中的两个数至少有一个是数列0，2，4，6中的项，故数列0，2，4，6具有性质P．
（Ⅱ）证明：因为数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3），具有性质P，
所以an﹣an与an+an中至少有一个是数列A中的项，
因为0≤a1＜a2＜…＜an，所以an+an∉A，an﹣an∈A，
所以a1＝0，
由数列A具有性质P，可知an﹣ak∈A（k＝1，2，3，…，n），
所以an﹣a1＞an﹣a2＞an﹣a3＞…＞an﹣an，
所以an﹣a1＝an，
an﹣a2＝an﹣1，
an﹣a3＝an﹣2，
……
an﹣an＝a1，
从而nan﹣（a1+a2+…+an）＝an+an﹣1+an﹣2+…+a1，
所以nan﹣Sn＝Sn，所以Sn＝．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a5﹣a4＝a2，a5﹣a3＝a3，所以a5＝a4+a2＝2a3，
a3﹣a2＝a2，所以a3＝2a2，a4＝3a2，a5＝4a2，
所以数列a1，a2，a3，a4，a5是以0为首项，a2为公差的等差数列
【点评】本题主要考查新定义的应用，数列的求和，等差数列的证明，考查逻辑推理能力，属于难题．
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