2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

这是一份2021年北京市延庆区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市延庆区高考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1，3}
2．（4分）已知{an}为无穷等比数列，且公比0＜q＜1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（　　）
A．a3＜a2 B．a1×a2＞0
C．{an}是递减数列 D．Sn存在最小值
3．（4分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点M的横坐标为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）设x∈R，则“x2﹣5x+6＜0”是“|x﹣2|＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为y＝k（x+1）+3，以点（1，1）为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（　　）
A．2 B． C．4 D．8
7．（4分）已知定义在R上的幂函数f（x）＝xm（m为实数）过点A（2，8），记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（4分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）已知函数则不等式f（x）﹣2x＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，1）
C．（0，1） D．（﹣1，+∞）
10．（4分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的100mL血液中酒精含量为[0，20）mg，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到[20，80）mg的即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（　　）（参考数据：0.84＝0.41，）
A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若复数z＝（1﹣2i）（a+i）（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝　 　．
12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），则双曲线的离心率为　 　．
13．（5分）在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是　 　．
14．（5分）已知△ABC的面积为2，AB＝2，∠B＝，则＝　 　．
15．（5分）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…），对于函数f（x）以下结论正确的是　 　．
①如果a＝b，那么函数f（x）为奇函数；
②如果ab＜0，那么f（x）为单调函数；
③如果ab＞0，那么函数f（x）没有零点；
④如果ab＝1，那么函数f（x）的最小值为2．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数（a＞0），再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．
条件①：f（x）的最大值为2；
条件②：．
17．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1为矩形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝4，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面C1DE；
（Ⅱ）求二面角D﹣C1E﹣B1的余弦值．

18．（14分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年
2月
北京赛区
延庆赛区
张家口赛区

开闭幕式
冰壶
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
样
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
钢架雪车
无舵雪橇
跳台滑雪
北欧两项
越野滑雪
单板滑雪
冬季两项
自由式
滑雪
当
日
决
赛
数
5（六）

*
*
1
1




*
1

1
*
1
1
6
6（日）

*
*
1

*
1


1
1

1
1

1
7
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
（Ⅰ）（ⅰ）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
（ⅱ）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；
（Ⅱ）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望E（X）．
19．（15分）已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率等于1的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）设g（x）＝x2f（x）﹣2f（x），判断函数g（x）的零点个数，并说明理由．
20．（15分）已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦（不经过点P且A在B的上方），直线AB与直线x＝2相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，将k1、k2、k3如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
21．（14分）若无穷数列{an}满足：∃m∈N*，对于∀n≥n0（n0∈N*），都有＝q（其中q为常数），则称{an}具有性质“Q（m，n0，q）”．
（Ⅰ）若{an}具有性质“Q（3，2，2）”，且a2＝a4＝2，a6+a7+a8＝18，求a3；
（Ⅱ）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为的等比数列，b3＝c3＝4，b1+c1＝c2，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质“Q（2，1，2）”，并说明理由；
（Ⅲ）设{an}既具有性质“Q（i，1，q1）”，又具有性质“Q（j，1，q2）”，其中i，j∈N*，i＜j，求证：{an}具有性质“”．

2021年北京市延庆区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1，3}
【分析】进行补集、并集的运算即可．
【解答】解：∵U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，
∴∁UA＝{﹣1，3}，（∁UA）∪B＝{﹣1，0，1，3}．
故选：D．
【点评】本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）已知{an}为无穷等比数列，且公比0＜q＜1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（　　）
A．a3＜a2 B．a1×a2＞0
C．{an}是递减数列 D．Sn存在最小值
【分析】利用反例：数列{an}以﹣2为首项，以为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断．
【解答】解：例如数列{an}以﹣2为首项，以为公比的等比数列，
a2＝﹣1，a3＝，A，C，D显然错误；
a1•a2＝＞0一定成立，B正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
3．（4分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点M的横坐标为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．
【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．
分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，
则有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝8．
过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，
则MN为直角梯形ABDC中位线，
则|MN|＝（|AC|+|BD|）＝4，所以M的横坐标为：3．
故选：B．

【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，是中档题．
4．（4分）设x∈R，则“x2﹣5x+6＜0”是“|x﹣2|＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用不等式的解法分别化简“x2﹣5x+6＜0”是“|x﹣2|＜1”，进而判断出关系．
【解答】解：由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3；
由|x﹣2|＜1，化为：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3．
由2＜x＜3⇒1＜x＜3，反之不成立．
∴“x2﹣5x+6＜0”是“|x﹣2|＜1”的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，
PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，
则该几何体的体积为V＝．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为y＝k（x+1）+3，以点（1，1）为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【分析】由直线方程求得直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式得答案．
【解答】解：直线y＝k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），
已知点的坐标为M（1，1），
则以点M（1，1）为圆心且与直线l相切的所有圆中，
半径最大的圆的半径为r＝|PM|＝．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，正确理解题意是关键，是基础题．
7．（4分）已知定义在R上的幂函数f（x）＝xm（m为实数）过点A（2，8），记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】求出函数f（x）的解析式，根据函数的单调性求出a，b，c的大小关系即可．
【解答】解：将A（2，8）代入f（x），得：2m＝8，解得：m＝3，
故f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0，f（x）在R单调递增，
而log0.53＜0，2＜log25＜3，m＝3，
故a＜b＜c，故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是基础题．
8．（4分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据向量的加法法则进行求解转化即可．
【解答】解：由题意可知，D为△ABC所在平面内的一点，如图所示，
则有①，
②，
因为，代入①中可得③，
由②③可得，．
故选：B．

【点评】本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
9．（4分）已知函数则不等式f（x）﹣2x＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，1）
C．（0，1） D．（﹣1，+∞）
【分析】分别画出函数y＝f（x）与y＝2x的图象，由图象可得答案．
【解答】解：分别画出函数y＝f（x）与y＝2x的图象，如图所示，
由图象可得不等式f（x）﹣2x＞0的解集是（﹣1，0）∪（0，1）
故选：A．

【点评】本题考查了分段函数以及函数图象的画法，考查了不等式的解集，属于基础题．
10．（4分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的100mL血液中酒精含量为[0，20）mg，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到[20，80）mg的即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（　　）（参考数据：0.84＝0.41，）
A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
【分析】利用题中的条件，列出血液中酒精含量与酒后时间的关系式，再利用指数不等式，即可解出．
【解答】解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，
∴160×（1﹣20%）x＜20，
∴0.8x＜0.125，
∴x≥10，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的实际应用，指数不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若复数z＝（1﹣2i）（a+i）（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝　﹣2　．
【分析】先利用复数的乘法运算化简z，然后由纯虚数的定义求解即可．
【解答】解：因为z＝（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i是纯虚数，
所以a+2＝0且1﹣2a≠0，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算，以及复数的基本概念的运用，考查了化简运算能力，属于基础题．
12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），则双曲线的离心率为　　．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率，再由离心率公式，计算可得所求值．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
由一条渐近线过点（2，），可得＝，
则e＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
13．（5分）在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是　4　．
【分析】写出通项公式，根据7﹣k为偶数求出k的值，再求出系数为有理数的项的个数．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为C7k（）7﹣kxk，
当7﹣k为偶数时，此时系数为有理数，
则k＝7，k＝5，k＝3，k＝1，
故系数为有理数的项的个数是4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二项式定理的展开式，考查了运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）已知△ABC的面积为2，AB＝2，∠B＝，则＝　　．
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可求AC的值，根据正弦定理即可求解的值．
【解答】解：因为△ABC的面积为2＝AB•BC•sinB，AB＝2，∠B＝，
所以2＝，可得BC＝4，
所以由余弦定理可得AC＝＝＝2，
所以＝＝＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15．（5分）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…），对于函数f（x）以下结论正确的是　②③　．
①如果a＝b，那么函数f（x）为奇函数；
②如果ab＜0，那么f（x）为单调函数；
③如果ab＞0，那么函数f（x）没有零点；
④如果ab＝1，那么函数f（x）的最小值为2．
【分析】①根据奇偶性定义可得f（x）为偶函数；
②由指数函数单调性对此题进行分析可知f（x）为单调函数；
③由ex＞0，e﹣x＞0可知f（x）没有零点；
④当a＜0且b＜0时f（x）有最大值．
【解答】解：当a＝b时f（x）＝aex+be﹣x＝a（ex+e﹣x），函数f（x）定义为R且f（﹣x）＝a（ex+e﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．∴①错误；
∵y＝ex是增函数且y＞0，y＝e﹣x是减函数且y＞0．∴当a＞0、b＜0时函数f（x）为增函数，当a＜0、b＞0时函数f（x）为减函数，∴②正确；
∵ab＞0，∴a、b同正或同负，又∵ex＞0且e﹣x＞0，∴f（x）一定不为零，∴函数f（x）没有零点；∴③正确；
当a＝b＝﹣1时，f（x）＝﹣（ex+e﹣x）≤﹣2＝﹣2，有最大值﹣2，∴④错误；
故答案为：②③．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数零点、函数最值、基本不等式、分类讨论思想、运算及推理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数（a＞0），再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．
条件①：f（x）的最大值为2；
条件②：．
【分析】（Ⅰ）选①②时，直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步求出a的值；
（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换和整体思想的应用求出函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）选择①：因为，
所以，其中，
所以，又因为a＞0，
所以a＝1．
选择②：，
所以a＝1．
（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）
（Ⅱ）因为．
所以，
则，k∈Z，
整理得，k∈Z，
所以函数g（x）的单调增区间为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1为矩形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝4，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面C1DE；
（Ⅱ）求二面角D﹣C1E﹣B1的余弦值．

【分析】（Ⅰ）连结B1C，ME，利用中位线定理可证明四边形MNDE为平行四边形，从而得到MN∥ED，由线面平行的判定定理证明即可；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C，ME，因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且，
又因为N为A1D的中点，所以，
由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，
故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED，
又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE；
（Ⅱ）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
又因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，且侧面ADD1A1∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面ADD1A1，又DD1⊂平面ADD1A1，
所以CD⊥DD1，又因为侧面ADD1A1为矩形，所以AD⊥DD1，
以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，
其中D（0，0，0），C1（0，2，4），E（1，2，0），C（0，2，0），
所以，，
因为CD⊥平面ADD1A1，所以DC⊥平面BCC1B1，
故为平面C1EB1的一个法向量，
设为平面DC1E面的法向量，
则，即，
令y＝﹣2，可得，
所以，
因为二面角D﹣C1E﹣B1的平面角是钝角，
所以二面角D﹣C1E﹣B1的余弦值．

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．（14分）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）
2022年
2月
北京赛区
延庆赛区
张家口赛区

开闭幕式
冰壶
冰球
速度
滑冰
短道
速滑
花
样
滑
冰
高
山
滑
雪
有舵雪橇
钢架雪车
无舵雪橇
跳台滑雪
北欧两项
越野滑雪
单板滑雪
冬季两项
自由式
滑雪
当
日
决
赛
数
5（六）

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6（日）

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说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
（Ⅰ）（ⅰ）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；
（ⅱ）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；
（Ⅱ）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望E（X）．
【分析】（Ⅰ）（i） 记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A，利用古典概型能求出恰好看到冰壶和冰球的概率．
（ii） 记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B，利用古典概型能求出两场决赛恰好在同一赛区的概率．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）（i） 记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A．
由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10×10＝100种不同方法，
其中恰好看到冰壶冰球，共有2种不同方法．
所以，恰好看到冰壶和冰球的概率P（A）＝．
（ii） 记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B．
由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6×7＝42种不同方法，
其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4×4＝16．
所以P（B）＝．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，，
，
．
随机变量X的分布列是：
X
1
2
3
P



数学期望．
【点评】本题考查概率、离散型随机事件的分布列、数学期望的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率等于1的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）设g（x）＝x2f（x）﹣2f（x），判断函数g（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）设切点为（x0，y0），利用切点处的导数等于1求得切点坐标，即可求得切线方程；
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，进一步分析极值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，结合＞0，f（）＜0，可得存在唯一，使得f（x0）＝0，再由f（1）＝0，g（）＝0且三个零点互不相同，可得函数g（x）有三个零点．
【解答】解：（Ⅰ）设切点为（x0，y0），∵，
∴，x0＝1，y0＝﹣ln1+2﹣2＝0，
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1；
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
令f'（x）＝0，即，，
令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，
故f（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴f（x）存在极小值，无极大值；
（Ⅲ）函数g（x）＝x2f（x）﹣2f（x）＝（x2﹣2）f（x）有三个零点，理由如下：
由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
且，，
∴存在唯一，使得f（x0）＝0，
又∵f（1）＝0+2﹣2＝0，，
且三个零点互不相同，∴函数g（x）有三个零点．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的极值与最值，考查函数零点的判定，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属难题．
20．（15分）已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦（不经过点P且A在B的上方），直线AB与直线x＝2相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，将k1、k2、k3如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）由椭圆C经过点，离心率，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．
（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2
通过直线的方程得点M坐标M（2，k），写出k1，k2，k3，发现k1+k2＝2k3，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①，
②，
由 ①②得c2＝1，a2＝2，b2＝1，
故椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）k1、k3、k2或k2、k3、k1能构成一个等差数列，
证明：椭圆右焦点坐标F（1，0），显然直线AB斜率存在，
设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）③，
代入椭圆方程，
整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，易知Δ＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有④，
在方程③中，令x＝2，得M（2，k），
所以k1＝，k2＝，k3＝＝k﹣，
因为k1+k2＝+＝
＝⑤，
将④代入⑤得k1+k2＝，
而，
所以k1+k2＝2k3，
即k3为k1、k2的等差中项，
所以k1、k3、k2或k2、k3、k1为等差数列．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（14分）若无穷数列{an}满足：∃m∈N*，对于∀n≥n0（n0∈N*），都有＝q（其中q为常数），则称{an}具有性质“Q（m，n0，q）”．
（Ⅰ）若{an}具有性质“Q（3，2，2）”，且a2＝a4＝2，a6+a7+a8＝18，求a3；
（Ⅱ）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为的等比数列，b3＝c3＝4，b1+c1＝c2，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质“Q（2，1，2）”，并说明理由；
（Ⅲ）设{an}既具有性质“Q（i，1，q1）”，又具有性质“Q（j，1，q2）”，其中i，j∈N*，i＜j，求证：{an}具有性质“”．
【分析】（Ⅰ）由题意可得任意的n≥2，都有，即可求解．
（Ⅱ）由题意可得{bn}的公差，以及通项公式，同时可得{cn}的公比和通项公式，进而得到an，由新定义，即可判断．
（Ⅲ）由题意可得对任意n≥1，，，根据题意整理即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）因为{an}具有性质“Q（3，2，2）”，所以，n≥2．
由a2＝2，得a5＝4，a8＝8，由a4＝2，得a7＝4，
因为a6+a7+a8＝18，所以a6＝6，即a3＝3．
（Ⅱ）{an}不具有性质“Q（2，1，2）”
由等比数列{cn}的公比为，由 c3＝4，得c1＝16，故，
设等差数列{bn}的公差为d，由 c2＝8，b1+c1＝c2，
得b1＝﹣8，由b3＝4，所以d＝6，故bn＝6n﹣14，
所以．若{an}具有性质“Q（2，1，2）”，则，n≥1．
因为a4＝12，，所以，故{an}不具有性质“Q（2，1，2）”，
（Ⅲ）证明：因为{an}具有性质“Q（i，1，q1）”，所以，n≥1．①
因为{an}具有性质“Q（j，1，q2）”，所以，n≥1．②
因为i，j∈N*，i＜j，所以由①得；由②，得，
所以，即，
由①②，得，n≥1，
所以，n≥i+1，
所以{an}具有性质“”．
【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题．
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