2021年上海市崇明区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市崇明区高考数学二模试卷，共16页。

2021年上海市崇明区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，A∩B＝　 　．
2．（4分）复数z＝i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第　 　象限．
3．（4分）已知圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的高等于　 　．
4．（4分）直线（t为参数）的一个方向向量可以是　 　．
5．（4分）已知（1﹣x）n＝0，则实数x的取值范围是　 　．
6．（4分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值等于　 　．
7．（5分）设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　 　．
8．（5分）已知（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于　 　．
9．（5分）已知等差数列{xn}的公差d＞0，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差Dξ＝　 　．
10．（5分）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于　 　.（用数字作答）
11．（5分）设y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝+sinx+，x∈[﹣，]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值等于　 　．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣3，a）作圆x2+y2﹣2x＝0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，则实数a的值等于　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（　　）
A． B．
C． D．
14．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝﹣x3 B．y＝ C．y＝lgx D．y＝sinx
15．（5分）数列{an}满足a1＝2，则“对任意的p，r∈N*，都有ap+r＝apar是“{an}为等比数列”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
16．（5分）已知以下三个陈述句：
p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
q1：函数y＝f（x）是减函数，且对任意的x∈R，都有f（x）＞0；
q2：函数y＝f（x）是增函数，存在x0＜0，使得f（x0）＝0；
用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p．”；命题T：“若q2，则p”．
关于S，T，以下说法正确的是（　　）
A．只有命题S是真命题
B．只有命题T是真命题
C．两个命题S，T都是真命题
D．两个命题S，T都不是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（14分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
19．（14分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．（16分）双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点．
（1）当b＝2时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且|BD|＝8，求b的值；
（3）若＝0，且||＝||，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：∠EFA＝2∠EAF．
21．（18分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的差分数列，其中△an＝an+1﹣an，n∈N*，如果对任意的n∈N*，都有△an+1＞△an，则称数列{an}为差分增数列．
（1）已知数列1，2，4，x，16，24为差分增数列，求实数x的取值范围；
（2）已知数列{an}为差分增数列，且a1＝a2＝1，an∈N*．若ak＝2021，求非零自然数k的最大值；
（3）已知项数为2k的数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：akak+1＜3．

2021年上海市崇明区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，A∩B＝　{0，1}　．
【分析】直接根据交集的定义即可求出．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1}，
则A∩B＝{0，1}，
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查集合的交集的运算运算，解题时要认真审题，属于基础题．
2．（4分）复数z＝i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应的点在第　二　象限．
【分析】由i（1+i）＝﹣1+i，由此能求出复数i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：∵i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，
∴i（1+i）即复数为﹣1+i，
∴﹣1+i在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题．
3．（4分）已知圆锥的底面面积为π，母线长为2，则该圆锥的高等于　　．
【分析】求出圆锥的底面半径，结合勾股定理求解圆锥的高即可．
【解答】解：圆锥的底面面积为π，所以圆锥的底面半径为：r，
πr2＝π，解得r＝1，母线长为2，
则该圆锥的高：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的高的求法，底面面积求解底面半径，勾股定理的应用，是基础题．
4．（4分）直线（t为参数）的一个方向向量可以是　　．
【分析】先将直线的参数方程化为一般方程，求出直线的斜率，得到直线的方向向量．
【解答】解：把直线（t为参数）化为一般方程为2x+y﹣5＝0，
因为直线2x+y﹣5＝0的斜率为﹣2，
故直线（t为参数）的一个方向向量可以是．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的参数方程与一般方程的互化，同时考查了直线的方向向量与斜率关系，属于基础题．
5．（4分）已知（1﹣x）n＝0，则实数x的取值范围是　（0，2）　．
【分析】结合题意得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：∵（1﹣x）n＝0，
∴﹣1＜1﹣x＜1，
解得：0＜x＜2，
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了极限及其运算，是基础的计算题．
6．（4分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值等于　3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（1，1），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
7．（5分）设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　　．
【分析】由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，
∴1﹣a＞a＞0，
∴a∈，
故答案为
【点评】本题考查解不等式，考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
8．（5分）已知（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于　60　．
【分析】先根据二项式系数的性质求出n的值，再利用通项公式求得展开式中常数项．
【解答】解：∵（x﹣）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n＝64，则n＝6，
故展开式的通项公式为 Tr+1＝C6r•x6﹣r•（﹣2）rx﹣2r＝C6r•x6﹣3r•（﹣2）r，
令6﹣3r＝0，求得r＝2，
可得展开式中常数项等于C62（﹣2）2＝60．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
9．（5分）已知等差数列{xn}的公差d＞0，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，则方差Dξ＝　　．
【分析】先计算，然后再利用方差的计算公式求即可．
【解答】解：因为{xn}是等差数列，公差为d，
所以，
所以方差Dξ＝[（x1﹣x5）2+（x2﹣x5）2+…+（x9﹣x5）2]＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了样本数据方差的计算，灵活运用等差数列的性质是解答本题的关键，考查了运算能力，属于中档题．
10．（5分）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于　　.（用数字作答）
【分析】根据题意，由排列组合数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，
若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，
则其概率P＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的实际应用，属于基础题．
11．（5分）设y＝f﹣1（x）是函数f（x）＝+sinx+，x∈[﹣，]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值等于　　．
【分析】先求出f（x）的值域，从而得到y＝f﹣1（x）的定义域，进而得到y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域，利用f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，分别求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝+sinx+在x∈[﹣，]上是单调递增函数，
又y＝f﹣1（x）是函数f（x）的反函数，
所以f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，
函数f（x）在x∈[﹣，]上的值域为[﹣，]，
函数y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[﹣，]，
因为，故，
所以y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数与反函数关系的综合应用，同时考查了三角函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣3，a）作圆x2+y2﹣2x＝0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，则实数a的值等于　4　．
【分析】利用圆的方程可得：+﹣2x2＝0，+﹣x1＝0，代入已知化为：﹣2x1+2x2﹣2（y2﹣y1）＝0，由圆的切线性质可得：kMN•kCP＝﹣1，即可得出a．
【解答】解：x2+y2﹣2x＝0化为：（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0）．
∵（x2﹣x1）（x2+x1）+（y2﹣y1）（y2+y1﹣2）＝0，
∴﹣+﹣﹣2（y2﹣y1）＝0，
利用圆的方程可得：+﹣2x2＝0，+﹣x1＝0，
∴﹣2x1+2x2﹣2（y2﹣y1）＝0，
∴＝1，
由圆的切线性质可得：kMN•kCP＝﹣1，∴•＝﹣1，
∴1•＝﹣1，解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程应用、直线斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得答案．
【解答】解：的增广矩阵，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，考查转化思想，属于基础题．
14．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝﹣x3 B．y＝ C．y＝lgx D．y＝sinx
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：y＝﹣x3在（0，1）上单调递减，不符合题意；
y＝my＝lgx为非奇非偶函数，不符合题意；
y＝sinx为奇函数且在（0，1）上单调递增．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
15．（5分）数列{an}满足a1＝2，则“对任意的p，r∈N*，都有ap+r＝apar是“{an}为等比数列”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】利用等比数列的定义通项公式及其性质即可判断出关系．
【解答】解：对任意的p，r∈N*，都有ap+r＝apar，取p＝n，r＝1，则＝a1＝2，因此数列{an}是公比为2的等比数列；
反之不成立：例如取an＝2，则a3＝2≠4＝a1a2，
∴“对任意的p，r∈N*，都有ap+r＝apar是“{an}为等比数列”的充分非必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知以下三个陈述句：
p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
q1：函数y＝f（x）是减函数，且对任意的x∈R，都有f（x）＞0；
q2：函数y＝f（x）是增函数，存在x0＜0，使得f（x0）＝0；
用这三个陈述句组成两个命题，命题S：“若q1，则p．”；命题T：“若q2，则p”．
关于S，T，以下说法正确的是（　　）
A．只有命题S是真命题
B．只有命题T是真命题
C．两个命题S，T都是真命题
D．两个命题S，T都不是真命题
【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，结合不等式恒成立思想，可判断结论．
【解答】解：对于命题S：“若q1，则p”；
当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，存在a＜0，此时2x﹣a＞2x，
而f（x）递减，所以f（2x﹣a）＜f（2x），
又因为f（x）＞0恒成立，
则f（a）＞0，则有f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立；
对于命题T：“若q2，则p”．
当f（x）递增，存在x0＜0，使得f（x0）＝0，
存在a＞0，则a＞x0，f（a）＞0，
由于a＞0，则2x﹣a＜2x，
而f（x）递增，则f（2x﹣a）＜f（2x），
故f（2x﹣a）＜f（2x）+f（a）恒成立，
命题T也为真命题．
两个命题S，T都是真命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【分析】（1）求得三棱柱的底面积和侧面积，可得所求表面积；
（2）运用异面直线所成角的定义，结合三角形的余弦定理，计算可得所求值．
【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为×1×1＝，
侧面积为（1+1+）×4＝8+4，
所以直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为2×+8+4＝9+4；
（2）因为BC∥B1C1，所以∠MBC（或补角）即为异面直线BM与B1C1所成的角．
连接CM，在三角形MBC中，BC＝，BM＝＝，CM＝，
可得cos∠MBC＝＝＝．
所以异面直线BM与B1C1所成的角的大小为arccos．

【点评】本题考查三棱柱的表面积求法，以及异面直线所成角的大小，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
18．（14分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
【分析】先将原函数化简为y＝Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．
（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）＝，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，
最后由cos2x0＝cos（2x0+）可得答案．
【解答】解：（1）由f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1，得
f（x）＝（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f（0）＝1，f（）＝2，f（）＝﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x0）＝2sin（2x0+）
又因为f（x0）＝，所以sin（2x0+）＝
由x0∈[，]，得2x0+∈[，]
从而cos（2x0+）＝﹣＝﹣．
所以
cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin＝．
【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
19．（14分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为.（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；
②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．
综合①②可得，L（x）＝．
（2）①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950，
∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；
②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，
当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元
【点评】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力，属于中档题
20．（16分）双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点．
（1）当b＝2时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且|BD|＝8，求b的值；
（3）若＝0，且||＝||，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：∠EFA＝2∠EAF．
【分析】（1）求得双曲线的方程和渐近线方程，运用两直线的夹角公式，计算可得所求角；
（2）求得直线BF的方程，联立双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得b；
（3）由＝0，且||＝||，求得b的值，A，F的坐标，设出E的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理即可得证．
【解答】解：（1）由b＝2，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，渐近线方程为y＝±2x，
则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为||＝，
即有夹角为arctan；
（2）直线BF的斜率为tan＝1，又F（，0），则直线BF的方程为y＝x﹣，
设B（x1，y1），D（x2，y2），
由可得（1﹣）y2+2y+b2＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝，
所以|BD|＝|y1﹣y2|＝•＝8，
化为1﹣＝，解得b＝；
（3）证明：令x＝c＝，则c2﹣＝1，解得y＝±b＝±b2，
由BF⊥AF时，|BF|＝b2，而|AF|＝1+，所以b2＝1+，
解得b＝，即双曲线的方程为x2﹣＝1，A（﹣1，0），F（2，0），
设E（m，n），可得n2＝3（m2﹣1），
tan∠EFA＝，tan∠EAF＝，
所以tan2∠EAF＝＝＝＝＝tan∠EFA，
因为E为第一象限的点，可得∠EFA＝2∠EAF．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（18分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的差分数列，其中△an＝an+1﹣an，n∈N*，如果对任意的n∈N*，都有△an+1＞△an，则称数列{an}为差分增数列．
（1）已知数列1，2，4，x，16，24为差分增数列，求实数x的取值范围；
（2）已知数列{an}为差分增数列，且a1＝a2＝1，an∈N*．若ak＝2021，求非零自然数k的最大值；
（3）已知项数为2k的数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：akak+1＜3．
【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于x的不等式组，即可求解；
（2）根据△an+1＞△an，a1＝a2＝1，an∈N*，可得△a2＞△a1＝0，△a2≥1，△a3≥2，…，△ak≥k﹣1，k∈N*，从而可得2021≥1+，即可求解；
（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．
【解答】（1）解：数列1，2，4，x，16，24的差分数列为1，2，x﹣4，16﹣x，8，
由题意可得，解得8＜x＜10，
故实数x的取值范围是（8，10）．
（2）解：由题意，△a1＝0，△an∈N，
因为数列{an}为差分增数列，所以对任意的n∈N*，都有△an+1＞△an，
所以△a2＞△a1＝0，△a2≥1，同理，△a3≥2，…，△ak≥k﹣1，k∈N*，
所以当k≥2时，ak＝a1+△a1+△a2+…+△ak﹣1≥1+1+2+…+（k﹣2）＝1+，
所以2021≥1+，
解得k≤65，
所以非零自然数k的最大值为65．
（3）证明：假设akak+1≥3，
由题意知an＞0（n＝1，2，3，…，2k），
因为项数为2k的数列{log3an}所有项的和等于k，
所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2k＝k，
即log3a1a2a3…a2k＝k，
所以a1a2a3…a2k＝3k，
因为数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，
所以log3an+1﹣log3an＜log3an+2﹣log3an+1，
所以＜，因此＜＜＜…＜，
所以对任意的m≤k﹣1，m∈N*，都有＜，即am+1a2k﹣m＜ama2k+1﹣m，
所以a1a2k＞a2a2k﹣1＞a3a2k﹣2＞…＞akak+1≥3，
所以a1a2a3…a2k＞3k与a1a2a3…a2k＝3k矛盾，
故假设不成立，所以akak+1＜3．
【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，对数的运算，考查运算求解能力，属于难题．
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