2021年上海市闵行区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市闵行区高考数学二模试卷，共20页。

2021年上海市闵行区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝　 　．
2．（4分）复数为虚数单位）的共轭复数为　 　．
3．（4分）在无穷等比数列{an}中，a2＝1，a5＝，则＝　 　．
4．（4分）已知函数，若f（a）＝2021，则f（﹣a）＝　 　．
5．（4分）已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点．则cos2α＝　 　．
6．（4分）若直线l的参数方程为（t∈R），则直线l的倾斜角为　 　．
7．（5分）在（1﹣）6的二项展开式中，中间一项的系数为　 　．（用数字作答）
8．（5分）如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为　 　．

9．（5分）已知双曲线的两焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，PF2⊥x轴，且|PF2|是|PF1|与|F1F2|的等差中项，则双曲线的渐近线方程为　 　．
10．（5分）若四边形ABCD是边长为4的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是　 　．
11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）在区间D上的最大值存在，记该最大值为K{D}，则满足等式K{[0，a）}＝3•K{[a，2a]}的实数a的取值集合是　 　．
12．（5分）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+⋯+a24＝　 　．（结果用含a的式子表示）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设p：log2x＜0，q：x＜1，则p是q成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分亦非必要条件
14．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，该图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴上的基本单位向量，则＝（　　）

A．﹣1 B． C． D．
15．（5分）已知函数（a＞0），0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），给出以下结论：
①恒成立；②恒成立．则（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
16．（5分）在直角坐标平面上，到两条直线y＝0与y＝x的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是（　　）
A．18 B． C．36 D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知函数．
（1）证明：f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数F（x）＝m+f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数m的取值范围．
18．（14分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，已知AM⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2CD，且AB＝AM＝AD＝2．
（1）求四棱锥M﹣ABCD的体积；
（2）求直线MC与平面ADM所成的角．

19．（14分）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE表示（D、E两点分别在腰AB、AC上，以下结果精确到0.01）．
（1）如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1），求AD的长；
（2）如果曲线DE是直道（如图2），求AD+AE的最小值，并求此时直道DE的长度．

20．（16分）如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆Γ上异于A、B的一点，直线l：x＝4，直线AP、BP分别交直线l于两点C、D，线段CD的中点为E．
（1）设直线AP、BP的斜率分别为kAP、kBP，求kAP•kBP的值；
（2）设△ABP、△ABC的面积分别为S1、S2，如果S2＝2S1，求直线AP的方程；
（3）在x轴上是否存在定点N（n，0），使得当直线NP、NE的斜率kNP、kNE存在时，kNP•kNE为定值？若存在，求出kNP•kNE的值；若不存在，请说明理由．

21．（18分）对于有限集S＝{a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am}（m∈N*，m≥3），如果存在函数f（x）（f（x）＝x除外），其图象在区间D上是一段连续曲线，且满足f（S）＝S，其中f（S）＝{f（x）|x∈S，S⊆D}，那么称这个函数f（x）是P变换，集合S是P集合，数列a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am是P数列．
例如，S＝{1，2，3}是P集合，此时函数f（x）＝4﹣x是P变换，数列1，2，3或3，2，1等都是P数列．
（1）判断数列1，2，5，8，9是否是P数列？说明理由；
（2）若各项均为正数的递增数列{an}（1≤n≤2021，n∈N*）是P数列，若P变换，求a1•a2⋅⋯•a2021的值；
（3）元素都是正数的有限集S＝{a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am}（m∈N*，m≥3），若ai＜aj，总有，其中1≤i，j≤m．试判断集合S是否是P集合？请说明理由．

2021年上海市闵行区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝　（﹣1，2）　．
【分析】先解二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求交集．
【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|（x﹣4）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查的是二次不等式的解法以及交集的概念，属于基础题．
2．（4分）复数为虚数单位）的共轭复数为　2+i　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算可求得z，从而可得其共轭复数．
【解答】解：∵z＝＝﹣i+2，
∴＝2+i，
故答案为：2+i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
3．（4分）在无穷等比数列{an}中，a2＝1，a5＝，则＝　　．
【分析】由已知求得等比数列的公比与首项，再由无穷递缩等比数列所有项和公式求解．
【解答】解：在无穷等比数列{an}中，由a2＝1，a5＝，
得，即q＝，则．
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查数列极限的求法，是基础题．
4．（4分）已知函数，若f（a）＝2021，则f（﹣a）＝　﹣2021　．
【分析】利用行列式求解函数的解析式，利用函数的奇偶性，求解即可．
【解答】解：函数＝sinx﹣，函数是奇函数，
所以f（a）＝2021，则f（﹣a）＝﹣f（a）＝﹣2021．
故答案为：﹣2021．
【点评】本题考查行列式的应用，函数的奇偶性以及函数在的求法，是基础题．
5．（4分）已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点．则cos2α＝　﹣　．
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，
所以tanα＝＝﹣，
所以cos2α＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
6．（4分）若直线l的参数方程为（t∈R），则直线l的倾斜角为　　．
【分析】直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程，进一步求出直线的倾斜角．
【解答】解：直线l的参数方程为（t∈R），消去参数得到：y＝1+，整理得，
所以直线的斜率k＝tan，
由于θ∈[0，π），
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．（5分）在（1﹣）6的二项展开式中，中间一项的系数为　﹣160　．（用数字作答）
【分析】可得中间一项为第4项，由通项公式可得T3+1，可得系数．
【解答】解：∵（1﹣）6的二项展开式共7项，
∴中间一项为第4项，且T3+1＝（﹣）3＝﹣160x﹣3，
∴中间一项的系数为﹣160．
故答案为：﹣160．
【点评】本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8．（5分）如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为　　．

【分析】求得正六棱柱的18条棱中任取两条的种数，再考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，求得是互相垂直的异面直线的种数，由古典概率的计算公式，可得所求值．
【解答】解：由正六棱柱的18条棱中任取两条，共有C＝153种，
考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，
其中是互相垂直的异面直线共有2×6×4＝48种，
所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，以及异面直线的判定，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9．（5分）已知双曲线的两焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，PF2⊥x轴，且|PF2|是|PF1|与|F1F2|的等差中项，则双曲线的渐近线方程为　y＝±2x　．
【分析】令x＝c，求得|PF2|，运用双曲线的定义和等差数列的中项性质，可得a，b，c的关系，进而得到a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由x＝c，可得y＝±b＝±，
则|PF2|＝，
由P为双曲线的右支上一点，可得|PF1|＝2a+|PF2|＝2a+，
由|PF2|是|PF1|与|F1F2|的等差中项，可得＝2a++2c，
可得b2＝c2﹣a2＝2a（a+c），即为c＝3a，
则b＝＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及等差数列的和中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10．（5分）若四边形ABCD是边长为4的菱形，P为其所在平面上的任意点，则的取值范围是　[0，16）　．
【分析】建立直角坐标系，然后结合向量数量积的坐标表示及三角函数的性质可求．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设∠ABD＝α，OA＝a，OD＝b，A（0，a），C（0，﹣a），B（b，0），D（﹣b，0），P（x，y），
则OA＝4sinα，OD＝4cosα，α∈（0，），
则2α∈（0，π），
＝（﹣x，a﹣y），＝（﹣x，﹣a﹣y），＝（b﹣x，﹣y），＝（﹣b﹣x，﹣y），
所以＝x2+y2﹣a2，＝x2+y2﹣b2，
则＝|b2﹣a2|＝16|cos2α﹣sin2α|＝16|cos2α|∈[0，16）．
故答案为：[0，16）．

【点评】本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示，直角坐标系的建立可以简化基本运算，属于基础题．
11．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）在区间D上的最大值存在，记该最大值为K{D}，则满足等式K{[0，a）}＝3•K{[a，2a]}的实数a的取值集合是　　．
【分析】作出函数f（x）的图象，要使K{[0，a）}有意义，结合题意及图象可知，，则，可得或，然后分及讨论是否满足条件即可得解．
【解答】解：函数f（x）的大致图象如右图所示，
由K{[0，a）}＝f（x）max，x∈[0，a），结合图象可知，，
此时，则，
而时，或，
当时，，满足条件；
当，即时，，满足条件．
∴实数a的值可以为或．
故答案为：．

【点评】本题考查三角函数的综合运用，考查函数最值，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（5分）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+⋯+a24＝　23a+210　．（结果用含a的式子表示）
【分析】由数列递推式可求得an＝，从而计算可得答案．
【解答】解：因为an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an﹣an﹣1|，
所以an＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an﹣1﹣an﹣2|（n≥3），
所以an+1﹣an＝|an﹣an﹣1|，所以an+1＝an+|an﹣an﹣1|，
因为a1＝1，a2＝a（a＞1），
所以a3＝a2﹣a1＝a﹣1，
a4＝a3+|a3﹣a2|＝a，
a5＝a4+|a4﹣a3|＝a+1，
a6＝a5+|a5﹣a4|＝a+2，
……
所以an﹣an﹣1＝1，n≥3，
所以an＝，
所以a1+a2+a3+⋯+a24＝1+a+（a﹣1）+a+（a+1）+…+（a+20）
＝23a+1+2+3+…+20
＝23a+210，
即a1+a2+a3+⋯+a24＝23a+210．
故答案为：23a+210．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查通项公式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设p：log2x＜0，q：x＜1，则p是q成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分亦非必要条件
【分析】由于命题p⇔log2x＜0＝log21⇔0＜x＜1；根据充分必要条件的定义即可得出结论．
【解答】解：由于命题p⇔log2x＜0＝log21⇔0＜x＜1；
∴P：0＜x＜1⇒q：x＜1，q推不出p；
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了对数不等式的解法，充分必要条件的定义，属于基础题．
14．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，该图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴上的基本单位向量，则＝（　　）

A．﹣1 B． C． D．
【分析】根据题意先求出A，B的坐标，结合题意得A为CD的中点，＝2，然后结合向量数量积的坐标表示可求．
【解答】解：由题意得A（），B（0，），A为CD的中点，
＝（，﹣），＝（1，0），＝2＝（，﹣1），
所以＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数图像的对称性，向量数量积的坐标表示，属于基础题．
15．（5分）已知函数（a＞0），0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），给出以下结论：
①恒成立；②恒成立．则（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【分析】根据函数（a＞0）的性质判断即可．
【解答】解：对于①，因为0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），所以＝（a＞0），于是（x1﹣x2）（x1x2﹣a）＝0，
因为x1＜x2，所以x1x2＝a，所以，于是，所以①对；
对于②，因为0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），由函数（a＞0）的性质得，0＜x1＜＜x2，
由①知，因为f（x）在（，+∞）上单调递增，所以，所以②对．
故选：A．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了函数（a＞0）的性质，属于中档题．
16．（5分）在直角坐标平面上，到两条直线y＝0与y＝x的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是（　　）
A．18 B． C．36 D．
【分析】设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由点P满足平面内到两条定直线y＝0，y＝x距离之和为3，可得|x|+＝3，再分情况讨论得到四条直线，分别画出得到矩形ABCD，再利用两平行线的距离公式即可．
【解答】解：设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由点P满足平面内到两条定直线y＝0，y＝x距离之和为3，
∴|y|+＝3，
当0≤y≤3时
①x≥y时，∴x+（﹣1）y﹣3＝0，
②x≤y时，x﹣（+1）y+3＝0，
当﹣3≤y≤0时
①x≥y时，∴x﹣（+1）y﹣3＝0，
②x≤y时，x+（﹣1）y+3＝0，
分别画出四条直线如下图，易知四边形ABCD为矩形，

∵直线x+（﹣1）y﹣3＝0与直线x+（﹣1）y+3＝0的距离为
∴h1＝＝，
∵直线x﹣（+1）y+3＝0与直线x﹣（+1）y﹣3＝0的距离为
∴h2＝＝，
∴h1•h2＝•＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了点的轨迹方程图象及其性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知函数．
（1）证明：f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数F（x）＝m+f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）用单调性的定义证明即可．
（2）把F（x）＝m+f（x）在区间[0，2]上存在零点，转化为m＝﹣log2（2x+1）在[0，2]上有解，再求值域即可．
【解答】证明：（1）在R上任取x1，x2，且x1＜x2，
则 f（x1）﹣f（x2）＝log2（+1）﹣log2（+1）＝log2，
∵x1＜x2，∴0＜+1＜+1，
∴0＜＜1，∴log2＜0，
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．
（2）∵F（x）＝m+f（x）在区间[0，2]上存在零点，
∴m＝﹣log2（2x+1）在[0，2]上有解，
由（1）知m＝﹣log2（2x+1）在[0，2]上为减函数，
∴当x＝0时，m取得最大值为﹣1，
当x＝2时，m取得最小值为﹣log25，
∴﹣log25≤m≤﹣1，
∴m的取值范围为[﹣log25，﹣1]．
【点评】本题考查用定义证明函数的单调性，函数零点的存在问题，考查计算能力，属于中档题．
18．（14分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，已知AM⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2CD，且AB＝AM＝AD＝2．
（1）求四棱锥M﹣ABCD的体积；
（2）求直线MC与平面ADM所成的角．

【分析】（1）利用锥体的体积公式求解即可；
（2）利用线面垂直的判定定理证明CD⊥面ADM，从而得到∠CMD为直线MC与平面ADM所成的角，在三角形中，由边角关系求解即可．
【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AB＝2，2CD＝AB，则CD＝1
所以，
又四棱锥M﹣ABCD的高h＝AM＝2，
所以棱锥M﹣ABCD的体积；
（2）因为AM⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以AM⊥CD，
又因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD，
又AM∩AD＝A，AM，AD⊂面ADM，所以CD⊥面ADM，
所以∠CMD为直线MC与平面ADM所成的角，
在Rt△CDM中，CD＝1，，
所以，
故直线MC与平面ADM所成的角为．

【点评】本题考查了锥体体积公式的应用以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．
19．（14分）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30°，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE表示（D、E两点分别在腰AB、AC上，以下结果精确到0.01）．
（1）如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1），求AD的长；
（2）如果曲线DE是直道（如图2），求AD+AE的最小值，并求此时直道DE的长度．

【分析】（1）先求出△ABC的面积，再结合题目条件利用扇形面积公式即可求出x的值．
（2）设AD＝x，AE＝y，由题意可得xy＝200，再利用基本不等式求出AD+AE＝x+y的最小值，以及此时x的值，进而求出DE的值即可．
【解答】解：（1）设AD＝x，依题知，扇形DAE的面积为，
又△ABC的面积为，
由得：，
解得：，
∴x≈13.82（米）
故AD的长约为13.82米．
（2）如图2，线段DE平分△ABC的面积，设AD＝x，AE＝y，
∴，
∴xy＝200，
又（当且仅当时取等号），
此时（米），（米）
综上，AD+AE的最小值约为28.28米，此时直道DE的长度约为7.32米．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，考查了三角形和扇形面积公式，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
20．（16分）如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆Γ上异于A、B的一点，直线l：x＝4，直线AP、BP分别交直线l于两点C、D，线段CD的中点为E．
（1）设直线AP、BP的斜率分别为kAP、kBP，求kAP•kBP的值；
（2）设△ABP、△ABC的面积分别为S1、S2，如果S2＝2S1，求直线AP的方程；
（3）在x轴上是否存在定点N（n，0），使得当直线NP、NE的斜率kNP、kNE存在时，kNP•kNE为定值？若存在，求出kNP•kNE的值；若不存在，请说明理由．

【分析】[（1）求点A、B的坐标，设P（x，y），然后转化求解斜率乘积即可．
（2）设点P（2cosθ，sinθ）（sinθ≠0），求出AP的方程，求出C的坐标，通过S2＝2S1，求解直线方程即可．（3）设点P（2cosθ，sinθ）（sinθ≠0），求出直线AP的方程，直线BP的方程，求出D的坐标，CD的中点坐标，然后推出，通过kNP⋅kNE为定值，求出n，得到结果．
【解答】解：（1）可求点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），（2分）
设P（x，y），则，
所以；…（4分）
（2）设点P（2cosθ，sinθ）（sinθ≠0），
则直线AP的方程为………………………（6分）
令x＝4得，所以点C的坐标为………（8分）
由S2＝2S1得，所以，
所以直线AP的方程为．………………………（10分）
（3）同（2），设点P（2cosθ，sinθ）（sinθ≠0），
直线AP的方程为
同理可求直线BP的方程为：，
令x＝4得，所以点D的坐标为，CD中点…………（12分）
＝…………（14分）
要使kNP⋅kNE为定值，只需，
解得n＝1，此时，
所以在x轴上存在定点N（1，0），使得kNP⋅kNE为定值．………（16分）

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线的斜率的乘积的求法，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是难题．
21．（18分）对于有限集S＝{a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am}（m∈N*，m≥3），如果存在函数f（x）（f（x）＝x除外），其图象在区间D上是一段连续曲线，且满足f（S）＝S，其中f（S）＝{f（x）|x∈S，S⊆D}，那么称这个函数f（x）是P变换，集合S是P集合，数列a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am是P数列．
例如，S＝{1，2，3}是P集合，此时函数f（x）＝4﹣x是P变换，数列1，2，3或3，2，1等都是P数列．
（1）判断数列1，2，5，8，9是否是P数列？说明理由；
（2）若各项均为正数的递增数列{an}（1≤n≤2021，n∈N*）是P数列，若P变换，求a1•a2⋅⋯•a2021的值；
（3）元素都是正数的有限集S＝{a1，a2，a3，⋯，am﹣1，am}（m∈N*，m≥3），若ai＜aj，总有，其中1≤i，j≤m．试判断集合S是否是P集合？请说明理由．
【分析】根据题中所给P集合的定义，借助数列的性质求解即可．
【解答】解：（1）记S＝{1，2，5，8，9}，存在函数f（x）＝10﹣x，
使得f（S）＝S，所以数列1，2，5，8，9是P数列．
（2）因为函数在区间（0，+∞）上是减函数，
所以，
因为递增数列{an}（1≤n≤2021，n∈N*）是P数列，
所以．
记A＝a1⋅a2⋅⋯⋅a2021，则
所以．
（3）不妨设a1＜a2＜a3＜⋯＜am﹣1＜am
①当a1≠1时，考察
因为，故a1＞1，
且，
即所以{an}（1≤n≤m）是等比数列，，
此时存在P变换，使得f（S）＝S，故集合S是P集合．
②当a1＝1时，考察a1＝1＜a2，＜＜……＜＜，
因为，
故，
即，所以{an}（1≤n≤m）是等比数列，，此时存在P变换，使得f（S）＝S，故集合S是一个P集合．
综合①，②可知，集合S是一个P集合．
【点评】本题主要考查数列的性质，同时考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
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