2021年上海市长宁区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市长宁区高考数学二模试卷，共18页。
2021年上海市长宁区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）设集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），则A∪B＝　 　．
2．（4分）复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝　 　．
3．（4分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是　 　．
4．（4分）若向量，，则向量与的夹角为　 　．
5．（4分）若实数x、y满足，则z＝2x﹣y的最小值为 　 　．
6．（4分）函数的最小正周期为　 　．
7．（5分）在公差不为零的等差数列{an}中，a3是a1与a9的等比中项，则＝　 　．
8．（5分）在二项式（1+x）5的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是　 　．
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝Sn，则＝　 　．
10．（5分）定义域为R的奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为　 　．
11．（5分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1的左、右焦点，点A、B在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点．若＝，且λ＞0，则实数λ的值为 　 　．
12．（5分）在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面积为2，则AB＝　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（1，﹣2）
15．（5分）设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（5分）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．
命题p：若y＝f（x）是增函数，则y＝f（x）﹣g（x）不是减函数；
命题q：若y＝f（x）有最大值和最小值，则y＝g（x）也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（　　）
A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图，AA1是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段A1C的中点．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：BC⊥AM．

18．（14分）设．
（1）若，求f（x）的值；
（2）设，若方程有两个解，求φ的取值范围．
19．（14分）某种生物身体的长度f（x）（单位：米）与其生长年限x（单位：年）大致关系如下：（其中t＝e﹣0.5（e为自然对数的底2.71828…），该生物出生时x＝0）．
（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；
（2）该生物出生x年后的一年里身长生长量g（x）可以表示为g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精确到0.01）．
20．（16分）设双曲线Γ：y2﹣＝1的上焦点为F，M、N是双曲线Γ上的两个不同的点．
（1）求双曲线Γ的渐近线方程；
（2）若|FM|＝2，求点M纵坐标的值；
（3）设直线MN与y轴交于点Q（0，q），M关于y轴的对称点为M′．若M′、F、N三点共线，求证：q为定值．
21．（18分）数列{an}满足：a1＝1，an∈N*，且对任意n∈N*，都有an＜an+1，a2n﹣1+a2n＝4an．
（1）求a2，a3，a4；
（2）设dn＝an+1﹣an，求证：对任意n∈N*，都有dn≠1；
（3）求数列{an}的通项公式an．

2021年上海市长宁区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）设集合A＝（﹣1，3），B＝[0，4），则A∪B＝　（﹣1，4）　．
【分析】进行并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝（﹣1，3），B＝[0，4），
∴A∪B＝（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】本题考查了集合的区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】利用复数与其共轭复数的模相等以及模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为，
所以＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数与共轭复数关系的运用，复数模的性质的运用，考查了运算能力，属于基础题．
3．（4分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是　　．
【分析】先求出数据的平均数，由方差的计算公式求出方差，进而求解标准差即可．
【解答】解：由题意可知，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝，
故该组数据的标准差是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数、方差、标准差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
4．（4分）若向量，，则向量与的夹角为　　．
【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，由、的坐标可得||、||以及•的值，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
向量，，
则向量||＝，||＝，•＝1×0+0×1+1×（﹣1）＝﹣1，
则cosθ＝＝﹣，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的夹角，涉及空间向量数量积的应用，属于基础题．
5．（4分）若实数x、y满足，则z＝2x﹣y的最小值为 　﹣2　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（0，2），
由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．（4分）函数的最小正周期为　π　．
【分析】利用行列式化简函数的解析式，然后求解函数的正确即可．
【解答】解：函数＝sin2x﹣1，
所以函数的周期为：π．
故选：π．
【点评】本题考查行列式的解法，三角函数的周期，考查计算能力，是基础题．
7．（5分）在公差不为零的等差数列{an}中，a3是a1与a9的等比中项，则＝　5　．
【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由已知可得d＝4a1，再由等差数列的通项公式与前n项和即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由a3是a1与a9的等比中项，得，
即，化简得d＝a1，
∴＝45a1，
a9＝a1+8d＝9a1，
∴＝．
故答案为：5．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．
8．（5分）在二项式（1+x）5的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是　　．
【分析】由题意判断展开式的系数共有6项，2个偶数，4个奇数，再根据古典概率及其计算公式，求得结果．
【解答】解：∵二项式（1+x）5的展开式中共有6项，它们的系数分别为，，，，，，
共计2个偶数，4个奇数，从中任取两项，
∴所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，古典概率及其计算公式，属于中档题．
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝Sn，则＝　3　．
【分析】由已知数列递推式可得，再由等比数列的求和公式可得，进一步求极限得答案．
【解答】解：由an+1＝Sn，得an＝Sn﹣1（n≥2），
∴an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，得an+1＝2an，
即（n≥2），
由a1＝1，an+1＝Sn，得a2＝1，
∴，
∴＝1+1+＝1+＝．
∴＝．
故答案为：3．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的前n项和与数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．
10．（5分）定义域为R的奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为　[﹣2，2]　．
【分析】先判断函数g（x）的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可直接求解．
【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），
所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，
因为奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减且f（x）＞0，
根据奇函数对称性可知，f′（x）≤0恒成立，
当x＜0时，g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
根据偶函数对称性可知，g（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），
所以|2+x|≥|ax|在[1，2]上恒成立，
所以﹣（x+2）≤ax≤2+x，
所以﹣1﹣在[1，2]上恒成立，
所以﹣2≤a≤2．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，还考查了不等的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．
11．（5分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1的左、右焦点，点A、B在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点．若＝，且λ＞0，则实数λ的值为 　1　．
【分析】由已知推出F1A∥BF2，根据椭圆的对称性可知，四边形F1AF2B一定为平行四边形，进而可以求解．
【解答】解：因为＝0，所以，
所以F1A∥BF2，
根据椭圆的对称性可知，四边形F1AF2B一定为平行四边形，如图：
所以F1A＝BF2，
所以，即λ＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了椭圆的对称性，考查了学生的数形结合思想以及运算能力，属于中档题．
12．（5分）在△ABC中，AC＝2，，若△ABC的面积为2，则AB＝　2　．
【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得c＝2（sinA﹣cosA），进而根据三角形的面积公式可求sin（2A+）＝﹣，进而可求A的值，利用三角形的面积公式即可求解AB的值．
【解答】解：因为，
所以+＝1，可得2cosAsinB+sinAcosB＝sinAsinB，
所以cosAsinB+cosAsinB+sinAcosB＝sinAsinB，
所以cosAsinB+sin（A+B）＝sinAsinB，
可得cosAsinB+sinC＝sinAsinB，
由正弦定理可得bcosA+c＝bsinA，可得c＝b（sinA﹣cosA），
又因为b＝AC＝2，
所以c＝2（sinA﹣cosA），
又因为S＝bcsinA＝2（sinA﹣cosA）sinA＝1﹣sin2A﹣cos2A＝1﹣sin（2A+）＝2，
所以sin（2A+）＝﹣，
又A∈（0，π），2A+∈（，），
可得A＝（舍去），或，
所以S＝bcsinA＝2，解得c＝AB＝2（舍去），或2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断．
【解答】解：若函数y＝f（x） 图象经过点（﹣1，1）时，
则（﹣1）α＝1，∴α＝﹣2或α＝2，∴y＝f（x） 为偶函数．
若y＝f（x） 为偶函数，
①α＝﹣1，，1时为奇函数，
②α＝时为非奇非偶函数，
③α＝﹣2，2时为偶函数，
∴若y＝f（x） 为偶函数时，α＝﹣2，2
∴函数y＝f（x） 图象经过点（﹣1，1）是y＝f（x） 为偶函数的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，同时考查了充分条件和必要条件，属于基础题．
14．（5分）直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（1，﹣2）
【分析】根据题意，将直线的方程变为普通方程，即可得直线l的斜率为﹣，分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l的参数方程是，
则其普通方程为x﹣1＝﹣2（y﹣2），即y﹣2＝﹣（x﹣1）
其斜率k＝﹣，直线l的一个方向向量为（1，﹣），
分析可得：直线l的方向向量可能是（﹣2，1），
故选：B．
【点评】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程．
15．（5分）设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】按照三个点A1，B，D与平面α的位置关系进行分类讨论，即可得到答案．
【解答】解：第一类：
①A1在平面的一边，B，D在另一边，有一个平面α符合条件；
②B在平面的一边，A1，D在另一边，有一个平面α符合条件；
③D在平面的一边，A1，B在另一边，有一个平面α符合条件；
第二类：
A1，B，D都在平面的同侧，有一个平面α符合条件．
综上所述，满足条件的平面α共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了线面角的理解和应用，考查了空间中点、线、面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
16．（5分）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|．
命题p：若y＝f（x）是增函数，则y＝f（x）﹣g（x）不是减函数；
命题q：若y＝f（x）有最大值和最小值，则y＝g（x）也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（　　）
A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题
【分析】利用函数单调性的定义结合已知的条件判断命题p的真假，利用函数的有界性判断命题q的真假，即可得到答案．
【解答】解：对于命题p：设x1＜x2，因为y＝f（x）是R上的增函数，所以f（x1）＜f（x2），
所以|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2），
因为|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，
所以﹣f（x2）+f（x1）≤g（x1）﹣g（x2）≤f（x2）﹣f（x1），
所以f（x1）﹣g（x1）≤f（x2）﹣g（x2），
故函数y＝f（x）﹣g（x）不是减函数，
故命题p为真命题；
对于命题q：y＝f（x）有最大值和最小值，
因为|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，
则|f（x1）﹣f（x2）|最小值≥|g（x1）﹣g（x2）|最大值，
所以y＝g（x）不一定有最大值或最小值，
故命题q为假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义问题，解题的关键是弄懂题意，将不熟悉的问题转化为熟悉的知识进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图，AA1是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段A1C的中点．已知AA1＝AC＝4，BC＝3．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：BC⊥AM．

【分析】（1）由题意在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，求得底面半径即可得解圆柱的侧面积S．
（2）由题意利用线面垂直的性质可知BC⊥AA1，利用线面垂直的判定可证BC⊥平面ACA1，进而根据线面垂直的性质即可证明BC⊥AM．
【解答】解：（1）由题意可得AC＝4，BC＝3，L＝AA1＝4，
所以在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
所以底面半径r＝AB＝，
所以圆柱的侧面积S＝2πrL＝2π××4＝20π．
（2）证明：由题意可得BC⊥AC，
又因为图为圆柱，可得AA1⊥底面ABC，
因为BC⊂底面ABC，
所以BC⊥AA1，
因为BC⊥AC，且AC∩AA1＝A，
所以BC⊥平面ACA1，
又AM⊂平面ACA1，
所以BC⊥AM．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面积公式以及线面垂直的判定和性质，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．
18．（14分）设．
（1）若，求f（x）的值；
（2）设，若方程有两个解，求φ的取值范围．
【分析】（1）先由二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，再结合两角和的余弦公式化简函数f（x）后，代入数据，进行运算即可；
（2）由（1）知，f（x﹣φ）＝sin（2x+﹣2φ），根据x和φ的范围，可推出2x+﹣2φ∈[﹣2φ，﹣2φ]⊆[，]，再由特殊角的三角函数值，列得关于φ的不等式组，解之即可．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），
∵，且x∈[0，]，
∴cosx＝，
∴sin2x＝2sinxcosx＝2××＝，
cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×＝，
∴f（x）＝sin2x+cos2x＝×+×＝．
（2）f（x﹣φ）＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x+﹣2φ），
∵x∈[0，]，且，
∴2x+﹣2φ∈[﹣2φ，﹣2φ]⊆[，]，
∵sinx＝在[，]内的解为和，
∴，解得≤φ≤，
故φ的取值范围为[，]．
【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（14分）某种生物身体的长度f（x）（单位：米）与其生长年限x（单位：年）大致关系如下：（其中t＝e﹣0.5（e为自然对数的底2.71828…），该生物出生时x＝0）．
（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；
（2）该生物出生x年后的一年里身长生长量g（x）可以表示为g（x）＝f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最大值（精确到0.01）．
【分析】（1）由f（x）＞8可得，又t∈（0，1），结合指数函数的性质即可求出x的取值范围．
（2）由题意可知g（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝，再利用换元法令u＝tx﹣4，u∈（0，e2），则g（u）＝10（1﹣t），再结合基本不等式即可求出结果．
【解答】解：（1）由＞8得：，
解得：，
∵t＝e﹣0.5∈（0，1），
∴x﹣4＞，
∵＝＝﹣＝2ln4，
∴x＞2ln4+4，
又∵ln4≈1.386，
∴x＞6.772，
即约需要6.8年．
（2）g（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣＝，
令u＝tx﹣4，x﹣4≥﹣4，u∈（0，e2），
则g（u）＝＝10（1﹣t），
∵tu+＝2，当且仅当tu＝即u＝时，等号成立，
∴g（u）≤10（1﹣t）≈1.24，
∴g（x）的最大值为1.24．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，考查了对数的运算性质，是中档题．
20．（16分）设双曲线Γ：y2﹣＝1的上焦点为F，M、N是双曲线Γ上的两个不同的点．
（1）求双曲线Γ的渐近线方程；
（2）若|FM|＝2，求点M纵坐标的值；
（3）设直线MN与y轴交于点Q（0，q），M关于y轴的对称点为M′．若M′、F、N三点共线，求证：q为定值．
【分析】（1）令y2﹣＝0，化简后即可；
（2）设M为（x，y），y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），代入双曲线的方程，并结合两点间距离公式，可得解；
（3）分两类：①直线MN的斜率不存在；②直线MN的斜率存在，设为k（k≠0，且k≠±），将直线MN的方程与双曲线的方程联立，并结合韦达定理和直线的斜率公式，可得证．
【解答】（1）解：令y2﹣＝0，则x＝±y，
∴双曲线Γ的渐近线方程为x±y＝0．
（2）解：由题意知，F（0，2），
设M为（x，y），则y2﹣＝1，且y∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
又|FM|＝2＝，
解得y＝或（舍），
∴点M纵坐标的值为．
（3）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝0，与y轴有无数个交点，不符合题意；
②当直线MN的斜率存在时，设为k（k≠0，且k≠±），则其方程为y＝kx+q，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则M'（﹣x1，y1），
联立，得（3k2﹣1）x2+6kqx+3q2﹣3＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵M′、F、N三点共线，
∴kM′F＝kFN，即，也即x1y2+x2y1＝2（x1+x2），
∴x1（kx2+q）+x2（kx1+q）＝2（x1+x2），即2kx1x2＝（2﹣q）（x1+x2），
∴2k•＝（2﹣q）•（﹣），
化简得，q＝，为定值，
故命题得证．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系中的定值问题，双曲线的几何性质，考查分类讨论、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（18分）数列{an}满足：a1＝1，an∈N*，且对任意n∈N*，都有an＜an+1，a2n﹣1+a2n＝4an．
（1）求a2，a3，a4；
（2）设dn＝an+1﹣an，求证：对任意n∈N*，都有dn≠1；
（3）求数列{an}的通项公式an．
【分析】（1）根据题意，结合逻辑推理可得，三项的值；（2）用反证法，及数学归纳法进行求证；（3）利用（2）中的结论，使用数学归纳法进行求解即可．
【解答】（1）解：根据题意，可知数列{an}为递增数列，
∵a2n﹣1+a2n＝4an，a1＝1，
∴当n＝1时，a1+a2＝4a1，解得a2＝3a1＝3，
当n＝2时，a3+a4＝4a2＝12⇒a4＝12﹣a3，
∵a3＜a4⇔a3＜12﹣a3⇒a3＜6⇒3＜a3＜6，
当a3＝4时，a4＝8，
又因为当n＝3时，a5+a6＝4a3＝16，
又由a5＜a6可得，a5＜8，即a5＜a4，该结果与题意相反，故a3≠4；
由上可得，a3＝5，a4＝7．
（2）证明：假设存在K∈N*，使得dk＝1，即ak+1＝ak+1，
则由a2k﹣1+a2k＝4ak，及a2k﹣1＜a2k，得a2k＞2ak，
由a2k+1+a2k+2＝4ak+1＝4ak+4，及a2k+1＜a2k+2，得a2k+1＜2ak+2，
由此可得，a2k＝a2k+1＝2ak+1，该结论与a2k＜a2k+1相反，
∴假设不成立，即dK≠1，
即对任意n∈N*，都有dn≠1．
（3）解：由（2）可知，dn＝an+1﹣an≥2，
∴4（an+1﹣an）＝a2n+1+a2n﹣a2n﹣1﹣a2n＝（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1），
∴对任意的n∈N*，都有4dn＝d2n+1+2d2n+d2n﹣1，
当n＝1时，得d3+2d2+d1＝4d1＝8，
又由d2≥2，d3≥2，得d2＝d3＝2，
设dk＝2，由d2k+1+2dk+d2k﹣1＝4dk＝8，及，得a2k+1＝a2k＝a2k﹣1＝2，
∴对任意的n∈N*，dn＝2，进而an＝2n﹣1．
【点评】本题考查数列的综合应用，及数学归纳法的使用，难度较大．
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