2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）

这是一份2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）
A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1
C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1
4．（5分）已知，则tan2θ＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（　　）
A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜1
7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
8．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（　　）个簸箕

A．43 B．44 C．45 D．46
9．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为﹣2，则其一条边所在直线的斜率是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
10．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（　　）

A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5
11．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）设函数f（x）＝﹣ln|x|﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝　 　．
14．（5分）（x﹣）7的展开式中，x3的系数是 　 　．
15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　 　．
16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为　 　．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，如果存在，求出CP的长，如果不存在，请说明理由．

19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，斜率满足kOA＝2kOB，求此抛物线的方程．
20．（12分）温室效应对我们的生存环境提出了挑战，节能减排是全人类的共识．某地区从当地居民的户月均用电量中随机地抽取了一批数据，将其分成6组作出了频率分布直方图，如图1：
（Ⅰ）试估计该地区月均用电量的平均值和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，该地区居民的户月均用电量服从正态分布N（μ，σ2）其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差，这样得到正态分布的密度曲线φ（x），如图2，用随机模拟的方法向曲线φ（x）与x轴之间的区域投掷1000个点，ξ表示落入阴影部分的点的数目．
（ⅰ）求E（ξ）；
（ⅱ）正态分布的近似值为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.955，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．）
（i）可以用作为概率P（28＜X＜106）的估计值，试求这种估计的误差不超过0.001的概率．
附表：P（k）＝0.997i×0.0031000﹣i
k
995
996
997
998
P（k）
0.1885
0.3528
0.5771
0.8013
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[]时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）≤1+ax，求a．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．
（Ⅰ）求证：a+b≥2ab；
（Ⅱ）求a与b的值．

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（理科）（二模）（问卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}
【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，
B＝{x|﹣2＜x＜1}，
则集合A∪B＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．
2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【分析】利用复数的运算将所要求解的式子化简即可．
【解答】解：因为复数z＝1+i，
所以＝．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）
A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1
C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．（5分）已知，则tan2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．
【解答】解：∵＝，∴tanθ＝，则tan2θ＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】判断P所在的平面与平面ACD1平行，然后转化求解几何体的体积即可．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，
可知平面A1BC1∥平面ACD1，所以P到平面ACD1的距离与A1到平面ACD1的距离相等，
故，
所以三棱锥P﹣ACD1的体积：＝2×2×1＝．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，平行与平面平行的判断，是中档题．
6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（　　）
A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜1
【分析】根据条件即可得出a＜1，b＞1，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：∵a×2a＝1，∴a≥1时，a•2a＞1；a＜1时，a×2a＜2，∴a＜1；
∵b×log2b＝1，∴b≤1时，b×log2b≤0；b＞1时b×log2b＞0，∴b＞1，
∴a＜1＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】设出椭圆方程，通过四边形F1B1F2B2的面积是8，列出a的表达式，然后求解最小值即可．
【解答】解：不妨设椭圆方程，
F1，F2是椭圆的两个焦点（±c，0），B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，
因为a2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，当且仅当b＝c时取等号，
所以椭圆长轴长的最小值为4．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
8．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（　　）个簸箕

A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱和三棱锥组成的组合体；
如图所示：

利用分割法，
所以，
1098×0.01＝10.98元，
所以n＝，
故最多制造45个．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为﹣2，则其一条边所在直线的斜率是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【分析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，由正方形的性质可得tan45°＝＝1，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，
正方形的对角线与四边的夹角都为45°，则有tan45°＝＝1，
解可得：k＝﹣或3，
故选：B．
【点评】本题考查直线的夹角公式，注意两直线的夹角公式的形式，属于基础题．
10．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（　　）

A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到l的关系式，求解即可．
【解答】解：由题意可知，s＝2cost，
由函数的图象可知函数的周期为0.4，
故，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数模型在实际生活中的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，考查了识图能力与化简运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．
求出|OH|，|FH|．通过求解三角形推出直线MF的斜率．
【解答】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，
设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．

又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．
设∠HFO＝α，
在△OHF中，tanα＝＝，
∴直线MF的斜率是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角函数求值、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）＝﹣ln|x|﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】令g（x）＝﹣ln|x|，h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），由题意可得仅存在一个整数使得g（x）≤h（x），由奇偶性的定义判断g（x）的奇偶性，利用函数的导数求解函数g（x）的最小值，结合图象，列出不等式组，转化求解即可．
【解答】解：令g（x）＝﹣ln|x|（x≠0），h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），
因为仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，
所以仅有一个整数，使得g（x）≤h（x），
因为g（﹣x）＝﹣ln|x|＝g（x），所以g（x）为偶函数，
当x＞0时，g′（x）＝x﹣＝，
令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以 g（x）min＝g（1）＝，当x→0，g（x）+∞，当x→+∞，g（x）→+∞，
由偶函数的性质可得当x＜0时，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，
g（x）min＝g（﹣1）＝，当x→0，g（x）+∞，当x→﹣∞，g（x）→+∞，
h（x）＝a（x﹣4），恒过定点（4，0），且a＜0，
作出图象，由图象可得满足条件的整数为﹣1，
所以，即，解得﹣＜a≤﹣，
即实数a的取值范围是（﹣，﹣]．
故选：C．

【点评】本题考查导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝　3　．
【分析】可求出，然后根据∥即可得出﹣2（2﹣m）﹣2＝0，从而解出m的值即可．
【解答】解：∵，，且，
∴﹣2（2﹣m）﹣2＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）（x﹣）7的展开式中，x3的系数是 　21　．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，即得系数．
【解答】解：（x﹣）7的展开式中，通项公式为：
Tr+1＝•x7﹣r•＝C7r（x）7﹣2r（﹣1）r，
令7﹣2r＝3，
解得r＝2，
∴x3的系数为：
T4′＝C72（﹣1）2＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　　．
【分析】投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，由此能求出投掷一次得到质数的概率．
【解答】解：一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，
这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，
∴投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，
∴投掷一次得到质数的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为　（1，2）　．
【分析】在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），利用三角函数的定义可得＝，令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），求导，根据函数的单调性即可求解其取值范围．
【解答】解：如图，在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），
可得＝＝，
令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），
因为f′（x）＝＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）∈（1，4），
则∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

【点评】本题主要考查了三角函数计算，考查了函数求导及函数的单调性的应用，属于中档题．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式，再根据等差数列的求和公式即可计算出Sn；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
Sn＝2n+•2＝n（n+1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn＝an＝2n•22n＝2n•4n，
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝2•41+4•42+6•43+…+2n•4n，
4Tn＝2•42+4•43+…+2（n﹣1）•4n+2n•4n+1，
两式相减，可得﹣3Tn＝2•41+2•42+2•43+…+2•4n﹣2n•4n+1
＝2•（41+42+43+…+4n）﹣2n•4n+1
＝2•﹣2n•4n+1
＝﹣•4n+1﹣，
∴Tn＝•4n+1+．
【点评】本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，如果存在，求出CP的长，如果不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）先证明AA1⊥BD，再利用正方形的性质证明AC⊥BD，从而可证BD⊥平面A1ACC1，由面面垂直的判定定理证明即可；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，设CP＝a，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出三个平面的法向量，利用向量的夹角公式列出等式关系，求出a的值判断即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又因为底面ABCD是正方形，所以对角线AC⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1，
又BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为正方体的棱长为1，设CP＝a，
则P（0，1，a），A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
所以，
设平面A1BD的法向量为，
则有，令x＝﹣1，则y＝z＝1，故，
设平面PBD的法向量为，
则有，令p＝﹣1，则q＝1，，故，
因为AA1⊥平面ABCD，不妨取平面CBD的一个法向量为，
因为二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等，
所以，
即，所以，解得，
所以，
故在棱CC1上不存在点P，使得二面角A1﹣BD﹣P的平面角与二面角P﹣BD﹣C的平面角相等．

【点评】本题考查了面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B，C，D四点，O为坐标原点，斜率满足kOA＝2kOB，求此抛物线的方程．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由|PM|＝|PN|，得＝，化简即可得出答案．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由kOA＝2kOB，得x2＝4x1，联立，得x2+（2p﹣4）x+1＝0，联立圆与抛物线的方程，由Δ＝（2p﹣4）2﹣4＞0，解得p范围，结合韦达定理可得x1x2，x1+x2，联立，解得p即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知点M（﹣1，0），N（1，0），|PM|＝|PN|，
所以＝，
所以动点P的轨迹E的方程为（x﹣2）2+y2＝3．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为kOA＝2kOB，
所以＝2•，又y12＝2px1，y22＝2px2，
整理得x2＝4x1，
联立，得x2+（2p﹣4）x+1＝0，
所以Δ＝（2p﹣4）2﹣4＞0，
解得p＞3或p＜1，
x1x2＝1，x1+x2＝4﹣2p＞0，得p＜2，
联立，解得p1＝，p2＝＞2（舍去），
所以抛物线的方程为y2＝x．
【点评】本题考查椭圆的与圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．（12分）温室效应对我们的生存环境提出了挑战，节能减排是全人类的共识．某地区从当地居民的户月均用电量中随机地抽取了一批数据，将其分成6组作出了频率分布直方图，如图1：
（Ⅰ）试估计该地区月均用电量的平均值和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，该地区居民的户月均用电量服从正态分布N（μ，σ2）其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差，这样得到正态分布的密度曲线φ（x），如图2，用随机模拟的方法向曲线φ（x）与x轴之间的区域投掷1000个点，ξ表示落入阴影部分的点的数目．
（ⅰ）求E（ξ）；
（ⅱ）正态分布的近似值为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.955，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．）
（i）可以用作为概率P（28＜X＜106）的估计值，试求这种估计的误差不超过0.001的概率．
附表：P（k）＝0.997i×0.0031000﹣i
k
995
996
997
998
P（k）
0.1885
0.3528
0.5771
0.8013
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中平均数以及方差的求解公式求解即可；
（Ⅱ）（i）可得μ＝67，σ＝13，设事件A是点落入阴影部分，则P（A）＝0.997，利用ξ～B（1000，0.997）以及数学期望的计算公式求解即可；
（ii）根据题意，所求概率为，由题中给出的数据信息求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设户月均用电量的平均值为，则＝45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05＝67；
设户月均用电量的标准差为s，则s2＝（45﹣67）2×0.1+（55﹣67）2×0.2+（65﹣67）2×0.3+（75﹣67）2×0.25+（85﹣67）2×0.1+（95﹣67）2×0.05＝166，
随意≈13；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知，μ＝67，σ＝13，
落入阴影部分可看作28＜X＜106，即μ﹣3σ＜X＜μ+3σ
设事件A是点落入阴影部分，则P（A）＝0.997，
由题意可知，ξ～B（1000，0.997），
所以E（ξ）＝1000×0.997＝997；
（ii）由题意可知所求概率为＝P（998）﹣P（995）＝0.8013﹣0.1885＝0.6128．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，平均数以及标准差公式的应用，正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[]时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）≤1+ax，求a．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（Ⅱ）结合三角函数的性质判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，结合函数恒成立，求出a的值，再代入a的值证明函数恒成立即可确定a的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+cosx﹣sinx，
故f′（0）＝2，又f（0）＝1，
故切线方程为：y＝2x+1；
（Ⅱ）x∈[]时，＞0，cosx﹣sinx＝cos（x+）≥0，
故f′（x）＞0，f（x）在[]单调递增，无递减区间；
（Ⅲ）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝ln（x+1）+sinx+cosx﹣ax﹣1，则g（x）≤0恒成立，
又g（0）＝0，故0为函数的极大值点，
而g′（x）＝+cosx﹣sinx﹣a，故g′（0）＝0，解得：a＝2，
a＝2时，g（x）＝ln（x+1）+sinx+cosx﹣2x﹣1≤ln（x+1）+sinx﹣2x，
令h（x）＝ln（x+1）+sinx﹣2x，下面证明h（x）≤0，
h′（x）＝+cosx﹣2，x∈[0，+∞）时，h′（x）≤1+1﹣2＝0，h（x）递减，
x∈（﹣1，0）时，h″（x）＝﹣﹣sinx＜﹣1﹣sinx≤0，故h′（x）递减，
故h′（x）＞h′（0）＝0，h（x）在（﹣1，0）递增，故h（x）≤h（0）＝0，
故g（x）≤h（x）≤0，即f（x）≤2x+1，故a＝2符合题意，
综上：若f（x）≤1+ax，则a＝2．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是中档题．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用极径和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2，
设曲线C2上的点的极坐标为N（ρ，θ），所以M（），满足ρ＝2sinθ，
故，即曲线C2的极坐标方程．
（Ⅱ）直线l：y＝2，根据，转换为极坐标方程为，
射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2交于点B，
建立方程组，整理得，
直线l与曲线C2交于A点，
故，整理得ρA＝2cosα，
所以，
由于α∈（0，），
所以2α∈（0，π）．
故．
故最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．
（Ⅰ）求证：a+b≥2ab；
（Ⅱ）求a与b的值．
【分析】（Ⅰ）把（a+b）2展开变形，结合（a﹣b）2＝（ab）3与基本不等式即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得a+b＝2ab，结合（Ⅰ）中不等式成立的条件即可求解a与b的值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（ab）3+4ab，
则a+b≥2ab；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b≥2ab，又a+b≤2ab，
∴a+b＝2ab，又取等号时，（ab）3＝4ab，即ab＝2，
联立，解得或．
【点评】本题考查不等式的证明，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
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