2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科）（二模）（问卷）

这是一份2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科）（二模）（问卷），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科）（二模）（问卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜﹣1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜1}
2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）
A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1
C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1
4．（5分）已知，则tan2θ＝（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（　　）
A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜1
7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
8．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（　　）个簸箕

A．43 B．44 C．45 D．46
9．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
10．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（　　）

A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5
11．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）设函数f（x）＝﹣lnx﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）不等式的解集是　 　．
14．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝　 　．
15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　 　．
16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为　 　．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）点P是棱AA1上一动点，过点P作平面α平行底面ABCD，AP为多长时，正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的两部分的体积比是1：3．

19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过抛物线y2＝2x上一点A（2，2）作曲线E的两条切线分别交抛物线于B，C两点，求直线BC的斜率．
20．（12分）为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）试估计该地区居民户月均用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；
（Ⅱ）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）
（ⅰ）试估计第一档与第二档的临界值α，第二档与第三档的临界值β；
（ⅱ）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值．
设用户的用电量是x千瓦时，电费是f（x），则f（x）＝

21．（12分）已知函数f（x）＝x2+sinx+cosx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥1+ax，求a．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．
（Ⅰ）求证：a+b≥2ab；
（Ⅱ）求a与b的值．

2021年新疆乌鲁木齐地区高考数学第二次质量监测试卷（文科）（二模）（问卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜﹣1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜1}
【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题．
2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【分析】把复数z代入化简，复数的分子化简即可．
【解答】解：将z＝1﹣i代入得，
故选：A．
【点评】复数的加减、乘除及乘方运算是需要掌握的内容，基础题目．
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（　　）
A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1
C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．（5分）已知，则tan2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．
【解答】解：∵＝，∴tanθ＝，则tan2θ＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
5．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P﹣ACD1的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】判断P所在的平面与平面ACD1平行，然后转化求解几何体的体积即可．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P在平面A1BC1上，
可知平面A1BC1∥平面ACD1，所以P到平面ACD1的距离与A1到平面ACD1的距离相等，
故，
所以三棱锥P﹣ACD1的体积：＝2×2×1＝．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，平行与平面平行的判断，是中档题．
6．（5分）已知a×2a＝1，b×log2b＝1，则（　　）
A．a＜1＜b B．b＜1＜a C．1＜a＜b D．b＜a＜1
【分析】根据条件即可得出a＜1，b＞1，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：∵a×2a＝1，∴a≥1时，a•2a＞1；a＜1时，a×2a＜2，∴a＜1；
∵b×log2b＝1，∴b≤1时，b×log2b≤0；b＞1时b×log2b＞0，∴b＞1，
∴a＜1＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】设出椭圆方程，通过四边形F1B1F2B2的面积是8，列出a的表达式，然后求解最小值即可．
【解答】解：不妨设椭圆方程，
F1，F2是椭圆的两个焦点（±c，0），B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，
因为a2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，当且仅当b＝c时取等号，
所以椭圆长轴长的最小值为4．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
8．（5分）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕．簸箕的三视图如图所示（单位cm），已知制造簸箕每cm2的成本是0.01元，试估计500元最多可以制造（　　）个簸箕

A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱和三棱锥组成的组合体；
如图所示：

利用分割法，
所以，
1098×0.01＝10.98元，
所以n＝，
故最多制造45个．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（5分）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
【分析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，由正方形的性质可得tan45°＝＝1，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，
正方形的对角线与四边的夹角都为45°，则有tan45°＝＝1，
解可得：k＝或﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查直线的夹角公式，注意两直线的夹角公式的形式，属于基础题．
10．（5分）我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s＝2cost，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（　　）

A．3.6 B．3.9 C．4.0 D．4.5
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到l的关系式，求解即可．
【解答】解：由题意可知，s＝2cost，
由函数的图象可知函数的周期为0.4，
故，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数模型在实际生活中的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，考查了识图能力与化简运算能力，属于基础题．
11．（5分）已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．
求出|OH|，|FH|．通过求解三角形推出直线MF的斜率．
【解答】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，
设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．

又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．
设∠HFO＝α，
在△OHF中，tanα＝＝，
∴直线MF的斜率是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角函数求值、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）＝﹣lnx﹣ax+4a，其中a＜0，若仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】令g（x）＝﹣lnx，h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），由题意可得仅存在一个整数使得g（x）≤h（x），利用函数的导数求解函数g（x）的最小值，列出不等式组，转化求解即可．
【解答】解：令g（x）＝﹣lnx，h（x）＝ax﹣4a＝a（x﹣4），
因为仅存在一个整数x0，使得f（x0）≤0，
所以仅有一个整数，使得g（x）≤h（x），
g′（x）＝x﹣＝，
令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以 g（x）min＝g（1）＝，
所以满足条件的整数为1，
由a＜0，可得h（x）为减函数，
所以，即，解得ln2﹣1＜a≤﹣，
即实数a的取值范围是（ln2﹣1，﹣]．
故选：B．
【点评】本题考查导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）不等式的解集是　（1，2）　．
【分析】确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于x的不等式，得到结果、
【解答】解：因为y＝2x为单调递增函数，
故不等式⇒x2﹣3x+1＜﹣1⇒x2﹣3x+2＜0⇒1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
14．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），＝（1，﹣2），若（﹣）∥，则m＝　3　．
【分析】可求出，然后根据∥即可得出﹣2（2﹣m）﹣2＝0，从而解出m的值即可．
【解答】解：∵，，且，
∴﹣2（2﹣m）﹣2＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，已知这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，则投掷一次得到质数的概率为　　．
【分析】投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，由此能求出投掷一次得到质数的概率．
【解答】解：一种骰子，可以投得1，2，3，4，5，6，
这个骰子投得每个偶数点的可能性是每个奇数点的可能性的2倍，
∴投掷一次得到1，3，5的概率都是，得到2，4，6的概率都是，
∴投掷一次得到质数的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
16．（5分）在△ABC中，tanB＝2tanC，则的取值范围为　（1，2）　．
【分析】在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），利用三角函数的定义可得＝，令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），求导，根据函数的单调性即可求解其取值范围．
【解答】解：如图，在△ABC中，设tanC＝，则tanB＝，x∈（0，+∞），
可得＝＝，
令f（x）＝4﹣，x∈（0，+∞），
因为f′（x）＝＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）∈（1，4），
则∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

【点评】本题主要考查了三角函数计算，考查了函数求导及函数的单调性的应用，属于中档题．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知等差数列{an}满足a3＝6，a4+a6＝20，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）先设等差数列{an}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式，再根据等差数列的求和公式即可计算出Sn；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
Sn＝2n+•2＝n（n+1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn＝＝＝﹣，
故Tn＝b1+b2+…+bn
＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
【点评】本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．
（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）点P是棱AA1上一动点，过点P作平面α平行底面ABCD，AP为多长时，正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的两部分的体积比是1：3．

【分析】（Ⅰ）由已知可得AA1⊥BD，AC⊥BD，再由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面A1ACC1，进一步得到平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）设平面α与A1B，A1D，B1B，D1D，C1C分别交于E，F，M，N，Q，设A1P＝x，则AP＝1﹣x，PE＝PF＝x，由题意可得VPEF﹣ABD：VPMQN﹣ABCD＝1：4，得，求解x值，即可求得AP．
【解答】（Ⅰ）证明：AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥BD，
又∵底面ABCD是正方形，∴对角线AC⊥BD，
又AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，
而BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）设平面α与A1B，A1D，B1B，D1D，C1C分别交于E，F，M，N，Q，
设A1P＝x，则AP＝1﹣x，PE＝PF＝x，
由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的两部分的体积比是1：3，
∴VPEF﹣ABD：VPMQN﹣ABCD＝1：4，得，
解得：或（舍）．
∴AP＝1﹣x＝1﹣．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过抛物线y2＝2x上一点A（2，2）作曲线E的两条切线分别交抛物线于B，C两点，求直线BC的斜率．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由|PM|＝|PN|，得＝，化简即可得出答案．
（Ⅱ）设切线的斜率为k，则切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），联立圆的方程，由Δ＝0，解得k，写出切线的方程，联立抛物线的方程，解得B，C点的纵坐标，进而kBC＝，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），
由已知点M（﹣1，0），N（1，0），|PM|＝|PN|，
得＝，
所以动点P的轨迹E的方程为（x﹣2）2+y2＝3．
（Ⅱ）由题意知切线斜率存在且不为0，
设切线的斜率为k，则切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），
联立，得+y2＝3，
化简得（1+k2）y2﹣4y﹣3k2+4＝0，
所以Δ＝16﹣4（1+k2）（4﹣3k2）＝0，解得k＝±，
所以切线的方程为y﹣2＝（x﹣2）和y﹣2＝﹣（x﹣2），
联立，得yB＝2﹣2，
联立，得yC＝﹣2﹣2，
所以kBC＝＝＝＝＝﹣．
【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．（12分）为实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的办法，为此相关部门在该市随机调查了200位居民的户月均用电量（单位：千瓦时）得到了频率分布直方图，如图：
（Ⅰ）试估计该地区居民户月均用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到个位）；
（Ⅱ）如果该市计划实施3阶的阶梯电价，使75%用户在第一档（最低一档），20%用户在第二档，5%用户在第三档（最高一档）
（ⅰ）试估计第一档与第二档的临界值α，第二档与第三档的临界值β；
（ⅱ）市政府给出的阶梯电价标准是：第一档0.4元/千瓦时，第二档0.55元/千瓦时，第三档0.8元/千瓦时，试估计该地区居民户月均电费的平均值．
设用户的用电量是x千瓦时，电费是f（x），则f（x）＝

【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中平均数的求解公式计算即可；
（Ⅱ）（ⅰ）利用频率分布直方图中的频率分别列式求解即可；
（ⅱ）利用平均数的计算方法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）估计该地区居民户月均用电量的平均值为：
45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05＝67千瓦时；
（Ⅱ）（ⅰ）因为前三组的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6，第四组的频率为0.025×10＝0.25，
所以α在[70，80），则有0.025×（α﹣70）＝0.75﹣0.6，解得α＝76，
区间[40，80）的频率为0.6+0.25＝0.85，区间[80，90）的频率为0.1，
所以β＝90；
（ⅱ）该地区居民户月均电费的平均值为：
0.4×（45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25）+0.4×76×0.1+0.55×9×0.1+0.4×76×0.05+0.55×14×0.05+0.8×5×0.05＝27.14元．
【点评】本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了平均数的求解以及频率的求解，考查了运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+sinx+cosx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥1+ax，求a．
【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝2x+cosx﹣sinx，由导数的几何意义可得k切＝f′（0），进而可得切线的方程为y﹣f（0）＝k切（x﹣0），即可得出答案．
（Ⅱ）令g（x）＝x2+sinx+cosx﹣1﹣ax，得g（0）＝0，求导得g′（x），g″（x），推出g′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又因为g′（0）＝1﹣a，分两种情况①当a＞1时，②当a＜1时，③当a＝1时，讨论g（x）≥0，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的定义域为R，
f′（x）＝2x+cosx﹣sinx，
所以f（0）＝1，f′（0）＝1，
所以y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝x+1．
（Ⅱ）令g（x）＝x2+sinx+cosx﹣1﹣ax，
则g（0）＝0，
g′（x）＝2x+cosx﹣sinx﹣a，
g″（x）＝2﹣sinx﹣cosx≥0，
所以g′（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又因为g′（0）＝1﹣a，
①当a＞1时，g′（0）＜0，4a＞0，
g′（4a）＝7a+cos4a﹣sin4a＞0，
所以∃x0∈（0，4a），使得g′（x0）＝0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，则g（x0）＜g（0）＝0，与题不符．
②当a＜1时，g′（0）＞0，a﹣π＜0，
g′（a﹣π）＝﹣2π﹣cosa+sina+a＜0，
所以∃x1∈（a﹣π，0），使得g′（x1）＝0，
所以g（x）在（x1，0）上单调递增，则g（x1）＜g（0）＝0，与题不符，
③当a＝1时，g′（0）＝0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）＝0，
综上所述，当a＝1时，f（x）≥1+ax．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知点M是曲线C1：x2+y2﹣2y＝0上的动点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝2，射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2、直线l分别交于A、B两点，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用极径和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将点M绕O点顺时针旋转90°到点N，设点N的轨迹为曲线C2，
设曲线C2上的点的极坐标为N（ρ，θ），所以M（），满足ρ＝2sinθ，
故，即曲线C2的极坐标方程．
（Ⅱ）直线l：y＝2，根据，转换为极坐标方程为，
射线m：θ＝α，α∈（0，），若m与曲线C2交于点B，
建立方程组，整理得，
直线l与曲线C2交于A点，
故，整理得ρA＝2cosα，
所以，
由于α∈（0，），
所以2α∈（0，π）．
故．
故最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．
（Ⅰ）求证：a+b≥2ab；
（Ⅱ）求a与b的值．
【分析】（Ⅰ）把（a+b）2展开变形，结合（a﹣b）2＝（ab）3与基本不等式即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得a+b＝2ab，结合（Ⅰ）中不等式成立的条件即可求解a与b的值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（ab）3+4ab，
则a+b≥2ab；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b≥2ab，又a+b≤2ab，
∴a+b＝2ab，又取等号时，（ab）3＝4ab，即ab＝2，
联立，解得或．
【点评】本题考查不等式的证明，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
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