2022年北京市朝阳区高考数学质检试卷（二）（二模）

这是一份2022年北京市朝阳区高考数学质检试卷（二）（二模），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市朝阳区高考数学质检试卷（二）（二模）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
2．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
4．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣，），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（　　）
A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0
6．（4分）“m＞n＞0”是“（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面正确的结论是（　　）
A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
C．若l⊥α，l⊥m，则m∥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
8．（4分）ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张的面积分别是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知，（i＝1，2，3，4，5，6），则的值为（　　）
A． B． C． D．2
9．（4分）已知M为△ABC所在平面内的一点，＝＝1，且，，则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．3
10．（4分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（　　）
A．40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程为　 　．
12．（5分）在（x+）5的展开式中，x3的系数是 　 　．（用数字作答）
13．（5分）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是 　 　．
14．（5分）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为 　 　；若am＝10，m∈N*，则m的最大值为 　 　．

15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论：
①若E，F，G分别是A1A，A1B1，A1D1的中点，则A1H＝；
②若E，F，G分别是A1A，A1B1，A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1，得到的截面图形一定是等边三角形；
③△EFG可能为直角三角形；
④．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知函数f（x）＝cos2ωx+sinωxcosωx+m（ω＞0，m∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f（x）的最小正周期为π；
条件②：函数f（x）的图象经过点（0，）；
条件③：函数f（x）的最大值为．
17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是CC1，B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1F∥平面AED1；
（Ⅱ）设H在棱BB1上，且BH＝BB1，N为CD的中点，求证：NH⊥平面AED1；并求直线AN与平面AED1所成角的正弦值．

18．（13分）为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400kg
500kg
频率
0.25
0.75
（注：各年的平均每亩纯收入＝各年的平均每亩产量×批发价格﹣各年的平均每亩种植成本）
（Ⅰ）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
（Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为P（0，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作斜率为k1的直线l1，交椭圆C于另一点A，过点P作斜率为k2（k2≠k1）的直线l2交椭圆C于另一点B．若k1k2＝1，求证：直线AB经过定点．
20．（15分）已知函数f（x）＝xsinx+cosx．
（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x2+2ax．若对任意x1∈[﹣π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．
21．（15分）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义T（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．

2022年北京市朝阳区高考数学质检试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
【分析】利用交集运算即可求得答案．
【解答】解：由A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，
则A∩B＝{1，2，3，4}∩{x|x＞2}＝{3，4}，
故选：B．
【点评】本题主要考查了交集运算，属于基础题．
2．（4分）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把给出的复数运用复数的除法运算整理成a+bi（a，b∈R）的形式，得到复数的实部和虚部，则答案可求．
【解答】解：由．
知复数的实部为，虚部为．
所以，复数对应的点位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．
3．（4分）已知双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程求解a，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，
可得双曲线方程为x2﹣y2＝1，
所以双曲线的离心率e＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
4．（4分）已知角α的终边经过点P（﹣，），则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知求出sinα，cosα，再根据正弦的倍角公式化简即可求解．
【解答】解：因为角α的终边经过点P（﹣，），
则sinα＝，cos，
所以sin2，
故选：A．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，涉及到倍角公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5．（4分）过点（1，2）作圆x2+y2＝5的切线，则切线方程为（　　）
A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0
【分析】由已知可得，点A（1，2）在圆C：x2+y2＝5上，求出CA所在直线的斜率，然后利用两直线垂直与斜率的关系求得切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：∵点A（1，2）在圆C：x2+y2＝5上，
∴圆心C与点A的连线与过A点的圆的切线垂直，
又，∴切线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的切线方程的其求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
6．（4分）“m＞n＞0”是“（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用对数的运算法则，再结合充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：①当m＞n＞0时，则m﹣n＞0，log2m﹣log2n＞0，∴（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0，∴充分性成立，
②当m＝，n＝时，则log2m＝﹣2，log2n＝﹣1，满足（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0，但0＜m＜n，∴必要性不成立，
∴m＞n＞0是（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算法则，充分必要条件的判断，属于基础题．
7．（4分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面正确的结论是（　　）
A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
C．若l⊥α，l⊥m，则m∥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
【分析】由直线与平面平行分析两直线的位置关系判定A；由线面平行、面面垂直分析线面关系判定B；由直线与平面垂直的判定与性质判断C与D．
【解答】解：若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故A错误；
若m∥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α或m与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故C错误；
若l⊥β，m⊥β，则l∥m，又m⊥α，则l⊥α，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8．（4分）ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A，B系列的纸张尺寸．设型号为A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的纸张的面积分别是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为B1，B2，B3，B4，B5，B6的纸张的面积分别是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知，（i＝1，2，3，4，5，6），则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】由题意可得a5＝a4×，＝a4•a5，即可得出结论．
【解答】解：∵a5＝a4×，＝a4•a5，
∴＝a4•a4×，a5＞0，b4＞0，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（4分）已知M为△ABC所在平面内的一点，＝＝1，且，，则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的线性运算求解即可．
【解答】解：由，
则，
即，
又＝＝1，，
则，
即BC＝，，
又AC＝2MC＝2，
则＝||||cosC＝2×，
故选：D．

【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属基础题．
10．（4分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常数．如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（　　）
A．40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
【分析】根据给定的函数模型及已知可得 e﹣5k＝0.9，再计算5 h后污染物剩余量．
【解答】解：由题设，，可得 e﹣5k＝0.9，
再过5个小时，，
所以最后还剩余72.9%．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，指数型函数模型在实际生活中的应用等知识，属于基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.
11．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程为　x＝﹣1　．
【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
【解答】解：y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
12．（5分）在（x+）5的展开式中，x3的系数是 　5　．（用数字作答）
【分析】利用二项式定理求出展开式中含x3的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x3的项为C＝5x3，
所以x3的系数为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是 　　．
【分析】由已知结合正弦定理及二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：由正弦定理得＝，
故sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，且B
所以A＝B或A+B＝且B．
故满足条件的A＝B＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查 了正弦定理，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
14．（5分）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为 　52　；若am＝10，m∈N*，则m的最大值为 　45　．

【分析】利用二项式定理的系数性质、数列求和即可得出结论．
【解答】解：数列{an}的前10项和＝2+3+3+4+6+4+5+10+10+5＝22+23+24+25﹣8＝52；
若am＝10，m∈N*，杨辉三角形的第10行的第10个数是10，则m的最大值为45．
故答案为：52；45．
【点评】本题考查了二项式定理的系数性质、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1A，A1B1，A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论：
①若E，F，G分别是A1A，A1B1，A1D1的中点，则A1H＝；
②若E，F，G分别是A1A，A1B1，A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1，得到的截面图形一定是等边三角形；
③△EFG可能为直角三角形；
④．
其中所有正确结论的序号是 　①④　．

【分析】对于①，利用等体积法可求得A1H；
对于②，利用平面和平面平行可得截面不一定是三角形；
对于③，利用反证法求解；
对于④，利用等体积算法求解．
【解答】解：对于①，因为E，F，G分别是A1A，A1B1，A1D1的中点，所以A1E＝A1F＝A1G＝，
因为GA1⊥A1F，EA1⊥平面A1FG，所以VE﹣A1GF＝S△A1GF•A1E＝×＝，
又因为DF＝GE＝GF＝，
所以＝VE﹣A1GF＝S△EFG•A1H，
即×sin60°×A1H＝，
∴A1H＝，故①正确；
对于②，MNOPQR均为各棱中点，平面MNOPQR∥平面EFG，平面MNOPQR为正六边形，故②错误；
对于③，不妨设A1E＝x，A1F＝y，A1G＝z，
由于GA1⊥A1F，GA1⊥A1E，A1E⊥A1F，
根据勾股定理：EG2＝x2+z2，EF2＝x2+y2，FG2＝y2+z2，
若△EFG是直角三角形，若∠EFG是直角，则EF2+FG2＝EG2，即x2+y2+y2+z2＝x2+z2，则y＝0．
由于E，F，G不与定点重合，故y不可能为0，其他两角，同理可证．故③错误；
对于④，如右图，设A1G＝a，A1E＝b，A1F＝c，设，，，S△EFG＝S，
则EG＝，EF＝，GF＝，
∴，
＝
＝＝，
∴，
再根据三棱锥A1﹣EFG的等体积算法可得＝＝t，
∴，，，，
∴，
∴，
故④正确，
故答案为：①④．


【点评】本题考查正方体中各棱长、对角线长、点到平面的距离等关系，等体积法求点面距离，等体积算法，属中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知函数f（x）＝cos2ωx+sinωxcosωx+m（ω＞0，m∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f（x）的最小正周期为π；
条件②：函数f（x）的图象经过点（0，）；
条件③：函数f（x）的最大值为．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简f（x），然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m的取值有两个，舍去；
（Ⅱ）根据零点即是函数图像与x轴的交点横坐标，令f（x）＝0求出横坐标，即可判断t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，

＝
＝，
选择①②：
因为，所以ω＝1，
又因为，所以，
所以，
当，
即时，f（x）＝﹣1，
所以函数f（x）的最小值为﹣1；
选择①③：
因为，所以ω＝1，
又因为函数f（x）的最大值为，
所以m＝0，
所以，
当，即时，
，
所以函数f（x）的最小值为；
选择②③：
因为，所以，
因为函数f（x）的最大值为，所以m＝0，
∵m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去；
（Ⅱ）选择①②：
令，
则，
所以，
当k＝1，2时，函数f（x）的零点为，
由于函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，
所以，
所以t的取值范围是；
选择①③：
令，
则，或，
所以，或，
当k＝0时，函数f（x）的零点分别为，
由于函数f（x）在区间[0，t]上有且仅有1个零点，
所以，
所以t的取值范围是．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换公式和辅助角公式，属于中档题．
17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是CC1，B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1F∥平面AED1；
（Ⅱ）设H在棱BB1上，且BH＝BB1，N为CD的中点，求证：NH⊥平面AED1；并求直线AN与平面AED1所成角的正弦值．

【分析】（I）通过证明线线平行证明线面平行即可；
（II）通过建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法求直线AN与平面AED1所成角的正弦值．
【解答】解：（I）连接A1D，设∩AD1＝O，连接OE，EF，B1C，
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为A1B1∥CD，且A1B1＝CD，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D∥B1C，且A1D＝B1C，
因为E，F分别是CC1，B1C1的中点．
所以EF∥B1C，且EF＝B1C，
在矩形A1ADD1中，O是A1D的中点，所以A1O∥FE，A1O＝FE，
所以四边形A1OEF是平行四边形，所以A1F∥OE，因为A1F⊄平面AED1，OE⊂平面AED1，
∴A1F∥平面AED1；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），D1（0，0，4），E（0，2，2），H（2，2，1），N（0，1，0），
所以＝（﹣2，0，4），＝（0，2，﹣2），
设平面AED1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，令z＝1，则x＝2，y＝1，
所以平面AED1的一个法向量为＝（2，1，1），
因为＝，所以NH⊥平面AED1，
因为＝（2，1，1），＝（2，﹣1，0），
设直线AN与平面AED1所成角为θ，
所以sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．
直线AN与平面AED1所成角的正弦值为．


【点评】本题考查线面平行的证明、考查线面角的正弦值的求法，数形结合思想，是中档题．
18．（13分）为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况
各年的平均每亩产量
400kg
500kg
频率
0.25
0.75
（注：各年的平均每亩纯收入＝各年的平均每亩产量×批发价格﹣各年的平均每亩种植成本）
（Ⅰ）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
（Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

【分析】（Ⅰ）根据独立事件的概率乘法公式求解．
（Ⅱ）根据题意求出X的所有可能取值，进而求出相应的概率，列出分布列，再根据期望公式求出EX即可．
（Ⅲ）根据10EX的值与45000的大小关系判断．
【解答】解：（Ⅰ）该地区此品种中药材各年的平均每亩产量500kg的概率为0.75，此品种中药材的国内市场批发价格为25元/kg的概率为0.6，
∴该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率0.75×0.6＝0.45．
（Ⅱ）400×20﹣5000＝3000，400×25﹣5000＝5000，500×20﹣5000＝5000，500×25﹣5000＝7500，
则X的所有可能取值为3000，5000，7500，
∴P（X＝3000）＝0.25×0.4＝0.1，P（X＝5000）＝0.25×0.6+0.75×0.4＝0.45，P（X＝7500）＝0.75×0.6＝0.45，
∴X的分布列为：
X
3000
5000
7500
P
0.1
0.45
0.45
∴EX＝3000×0.1+5000×0.45+7500×0.45＝5925．
（Ⅲ）10E（X）＝59250＞45000，
∴该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法计算公式，考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为P（0，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作斜率为k1的直线l1，交椭圆C于另一点A，过点P作斜率为k2（k2≠k1）的直线l2交椭圆C于另一点B．若k1k2＝1，求证：直线AB经过定点．
【分析】（Ⅰ）由椭圆过的一个顶点的坐标可得b的值，再由离心率和a，b，c之间的关系可得a的值，进而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之积，将两根之和及两根之积代入，再由斜率之积为1，可得直线AB恒过的点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝．a2＝b2+c2，
可得a2＝2，
所以椭圆C的方程为：+y2＝1；
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+t，t≠1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
Δ＞0，x1+x2＝，x1x2＝，
则k1•k2＝•＝＝＝＝＝，
由题意可得1＝可得t＝﹣3，
即直线恒过定点（0，﹣3）；
当直线的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝t，代入椭圆的方程可得y2＝1﹣，所以y＝，
所以A（t，），B（t，﹣），
则k1•k2＝•＝＝≠1，
所以直线AB的斜率存在，且可证得直线AB恒过定点（0，﹣3）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝xsinx+cosx．
（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x2+2ax．若对任意x1∈[﹣π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，令导函数大于0，找出单调增区间即可；
（2）利用已知得到，从而转化为求解两个函数的最大值即可．
【解答】解：（1）由已知有：f′（x）＝xcosx，令f′（x）＞0，解得，
故f（x）的单调递增区间为：，单调递减区间为：；
（2）由已知有：，
对于f（x）：f′（x）＝xcosx，∵x∈[﹣π，π]，
当或者时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当或者时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
，故f（x）在[﹣π，π]的最大值为，
故，即g（x）在[0，1]的最大值大于等于，
对于g（x）：g（x）为关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x＝a，
①当a＜0时，g（x）在[0，1]的最大值为g（0）＝0≥不满足题意；
②当0≤a≤1时，g（x）在[0，1]的最大值为g（a）＝，解得，
③当a＞1时，g（x）在[0，1]的最大值为g（1）＝2a﹣1，解得：a＞1
综上所述：a的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用导函数研究函数单调性及函数最值，属于基中档题．
21．（15分）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义T（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据定义依次写出Tn（α），n∈{1，2，3，4}、Tn（β），n∈{1，2，3，4\}即可得结果．
（II）由题设T（α）有（1，0，1，0）或（0，1，0，1），再依据定义确定α的所有可能结果；
（III）由定义得T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），依次写出Tn（α）直到Tn（α）＝（0，0，0，0）即可判断存在性，并确定n的所有取值．
【解答】解：（I）由题意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（II）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1时，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1时，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1时，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等价于，则x1≠x3，x2≠x4，
当x1＝0，x2＝0，则α为（0，0，1，1）满足；
当x1＝0，x2＝1，则α为（0，1，1，0）满足，
当x1＝1，x2＝0，则α为（1，0，0，1）满足，
当x1＝1，x2＝1，则α为（1，1，0，0）满足，
综上，α的所有可能结果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（III）存在正整数n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），则T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，则T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，对α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
当n≥7时，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
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