2022年北京市东城区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市东城区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市东城区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1≤x＜3} D．{x|x≥﹣1}
2．（4分）下列函数中，定义域与值域均为R的是（　　）
A．y＝lnx B．y＝ex C．y＝x3 D．
3．（4分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
4．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（　　）
A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列
5．（4分）已知，则sin（π﹣2α）•tanα＝（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1﹣AC1E的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知a，b∈R，则“a2+b2≤2”是“﹣1≤ab≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+m（k≠0）与x轴和y轴分别交于A，B两点，，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点（1，1）的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A（t）＝A（0）ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（　　）（本题取lg2＝0.30）
A．31 B．32 C．33 D．34
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）在的展开式中，常数项为 　 　.（用数字作答）
12．（5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则＝　 　．

13．（5分）已知抛物线C：y2＝2px过点P（2，4），则p＝　 　；若点Q（4，y1），R（t，y2）在C上，F为C的焦点，且|PF|，|QF|，|RF|成等比数列，则t＝　 　．
14．（5分）已知函数若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为 　 　；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 　 　．
15．（5分）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段AB表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，CD与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 　 　.（只需写出一种方案）
①C，D两点间的距离；
②C，E两点间的距离；
③由点C观察点A的仰角α；
④由点D观察点A的仰角β；
⑤∠ACE和∠AEC；
⑥∠ADE和∠AED．


三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝asinωxcosωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cos2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．

18．（13分）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度
性别
未上学
小学
初中
高中
大学
专科
大学
本科
硕士
研究生
博士
研究生
男
0.00
0.03
0.14
0.11
0.07
0.11
0.03
0.01
女
0.01
0.04
0.11
0.11
0.08
0.12
0.03
0.00
合计
0.01
0.07
0.25
0.22
0.15
0.23
0.06
0.01
（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（Ⅱ）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系．（结论不要求证明）
19．（15分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（1，+∞）上有最大值，求a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆的离心率为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．是否存在常数t，使得直线x＝t与直线l的交点Q在A，B之间，且总有？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
21．（15分）设数列A：a1，a2，…，an（n≥2）．如果ai∈{1，2，…，n}（i＝1，2，…，n），且当i≠j时，ai≠aj（1≤i，j≤n），则称数列A具有性质P．对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）：t1，t2，…，tn﹣1，其中tk＝）．
（Ⅰ）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
（Ⅱ）对数列E：e1，e2，…，en﹣1（n≥2），其中ei∈{0，1}（i＝1，2，…，n﹣1），证明：存在具有性质P的数列A，使得T（A）与E为同一个数列；
（Ⅲ）对具有性质P的数列A，若|a1﹣an|＝1（n≥5）且数列T（A）满足ti＝（i＝1，2，⋯，n﹣1），证明：这样的数列A有偶数个．

2022年北京市东城区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1≤x＜3} D．{x|x≥﹣1}
【分析】求出集合B，利用并集定义求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）下列函数中，定义域与值域均为R的是（　　）
A．y＝lnx B．y＝ex C．y＝x3 D．
【分析】求出函数的定义域和值域即可判断．
【解答】解：A：∵y＝lnx的定义域为（0，+∞），值域为R，∴A错误，
B：∵y＝ex的定义域为R，值域为（0，+∞），∴B错误，
C：∵y＝x3的定义域与值域均为R，∴C正确，
D：∵y＝的定义域与值域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数定义域和值域的求法，属于基础题．
3．（4分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】由复数的运算结合复数虚部的概念求解即可．
【解答】解：复数z满足iz＝2+i，
则z＝，
即z的虚部为﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．
4．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则{an}是（　　）
A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列
【分析】利用an＝Sn﹣Sn﹣1可求得an＝2n﹣1，从而发现an+1﹣an＝2是一个常数，即{an}以2为公差的等差数列．
【解答】解：由Sn＝n2，得Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣2n+1（n≥2），
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1（n≥2），
又当n＝1时a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝2n﹣1（n∈N*），
所以an+1﹣an＝2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）＝2，
所以{an}以2为公差的等差数列，
故选：A．
【点评】本题考查数列前n项和作差法求数列的通项公式，涉及等差数列的定义，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5．（4分）已知，则sin（π﹣2α）•tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：sin（π﹣2α）•tanα＝sin2α•tanα＝2sinαcosα•＝2sin2α＝2×（）2＝2×＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
6．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1﹣AC1E的体积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】可画出图形，可看出三棱锥B1﹣AC1E的体积等于三棱锥A﹣B1C1E的体积，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：如图，

＝．
故选：D．
【点评】本题考查了棱锥的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．
7．（4分）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝2024，这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m＝＝253，由此能求出这3个节气中含有“立春”的概率．
【解答】解：墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，
基本事件总数n＝＝2024，
这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m＝＝253，
则这3个节气中含有“立春”的概率为P＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（4分）已知a，b∈R，则“a2+b2≤2”是“﹣1≤ab≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由2丨ab丨≤a2+b2≤2可得充分性，反过来取特值a＝3，否定必要性．
【解答】解：∵2丨ab丨≤a2+b2，∴由a2+b2≤2可推得，
2丨ab丨≤2，∴可得丨ab丨≤1，∴可推得﹣1≤ab≤1，
反过来当﹣1≤ab≤1时，取a＝3，，则不能推得a2+b2≤2，
∴a2+b2≤2是﹣1≤ab≤1的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分与必要条件以及重要不等式，属简单题．
9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+m（k≠0）与x轴和y轴分别交于A，B两点，，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点（1，1）的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合向量数量积性质，利用消元法求解出C的轨迹方程，然后结合圆的性质求解．
【解答】解：由题意，得A（﹣，0），B（0，m），
由|AB|＝2，得（﹣）2+m2＝8，
因为CA⊥CB，设C（x，y），
所以＝0，即x（x+）+y（y﹣m）＝0，
整理得（x+）2+（y﹣）2＝，即轨迹为动圆，
设圆心为（x′，y′），则x′＝，y′＝，
代入到（﹣）2+m2＝8中，可得x′2+y′2＝2，
所以C到点（1，1）的距离的最大值为＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了消元法求解曲线的轨迹方程，圆性质的应用，属于中档题．
10．（4分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A（t）＝A（0）ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（　　）（本题取lg2＝0.30）
A．31 B．32 C．33 D．34
【分析】根据已知条件，列出等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：经过t天后，用户人数A（t）＝A（0）ekt，
∵李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，
∴A（0）＝500，
∵小程序发布经过10天后有2000名用户，
∴2000＝500e10k，即4＝e10k，
∴lg4＝10k•lge①，
当用户达到50000名时，有50000＝500ekt，即100＝ekt，
∴lg100＝lgekt，即2＝kt•lge②，
联立①②可得，，即，
∴，
故用户超过50000名至少经过的天数为34天．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）在的展开式中，常数项为 　64　.（用数字作答）
【分析】求出展开式的通项公式，利用x的次数为0，求出k的值即可求出常数项．
【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C26﹣k（）k＝C26﹣kx，
由＝0得k＝0，
即常数项为＝64，
即常数项为64，
故答案为：64．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式是解决本题的关键，是基础题．
12．（5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则＝　5　．

【分析】通过建系，求出向量数量积的向量，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
所以＝（2，1），＝（1，3），
则＝2+3＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查计算能力，是基础题．
13．（5分）已知抛物线C：y2＝2px过点P（2，4），则p＝　4　；若点Q（4，y1），R（t，y2）在C上，F为C的焦点，且|PF|，|QF|，|RF|成等比数列，则t＝　7　．
【分析】根据点P（2，4）在抛物线C：y2＝2px上，代入可得p＝4，再由抛物线定义可得|PF|＝2+＝4，|QF|＝6，|RF|＝t+2，又|PF|，|QF|，|RF|成等比数列，代入|QF|2＝|PF||RF|，即可求解．
【解答】解：∴抛物线C：y2＝2px过点P（2，4），∴42＝4p，所以p＝4；
根据抛物线定义可得|PF|＝2+＝2+2＝4，|QF|＝4+＝6，|RF|＝t+＝t+2，
又|PF|，|QF|，|RF|成等比数列，∴|QF|2＝|PF||RF|，
∴62＝4×（t+2），解得t＝7，
故答案为：4；7．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
14．（5分）已知函数若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为 　（﹣1，ln2）　；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 　（e，+∞）　．
【分析】由分段函数的解析式，解不等式求并集可得所求解集；对k讨论，结合二次方程和函数的导数，判断单调性和最值，可得所求取值范围．
【解答】解：k＝0时，f（x）＝，
f（x）＜2等价为或，
解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，
所以﹣1＜x＜ln2；
由f（x）恰有两个零点等价为ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数的和为2．
当k＝0时，ex＝kx（x≥0）的解的个数为0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为0，不符题意；
当k＜0时，ex＝kx（x≥0）无解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为1，不符合题意；
当k＞0时，kx2﹣x+1＝0（x＜0）没有实数解，
则ex＝kx（x≥0）有两解，
设g（x）＝（x＞0），g′（x）＝，
可得g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，可得g（x）的最小值为g（1）＝e，
当k＞e时，y＝g（x）与y＝k有两个交点．
故答案为：（﹣1，ln2）；（e，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的运用：求不等式的解集和参数的范围，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
15．（5分）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动．如图所示，线段AB表示角楼的高，C，D，E为三个可供选择的测量点，点B，C在同一水平面内，CD与水平面垂直．现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为 　①③④或②③⑤　.（只需写出一种方案）
①C，D两点间的距离；
②C，E两点间的距离；
③由点C观察点A的仰角α；
④由点D观察点A的仰角β；
⑤∠ACE和∠AEC；
⑥∠ADE和∠AED．


【分析】若要求角楼的高即AB长，必要知道一边长，若知C，D两点间的距离CD长，在梯形ABCD中解△ACD和△ABC即可，此时可选①③④；若知C，E两点间的距离即CE长，则解△ACE和△ABC即可得解，此时可选②③⑤．
【解答】解：经分析可知，若选①③④，
在△ACD中，，
所以，
所以，
所以，其中各个量均已知；
若选②③⑤，
已知∠ACE和∠AEC，则∠CAE＝π﹣∠ACE﹣∠AEC，
由，
所以，
所以，其中各个量均已知；
其他选择方案均不可求得AB长．
故答案为：①③④或②③⑤．
【点评】本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝asinωxcosωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cos2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
【分析】（Ⅰ）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分选择①③、①④、③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出a，ω，即可求出函数解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）＝sin2x﹣2cos2x+1，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝asinωxcosωx（a＞0，ω＞0），
所以f（x）＝asin2ωx，
显然当a≠0时f（x）为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即f（x）＝asin2ωx最大值为1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2ωx，
又f（）＝1，
所以f（）＝sin（2ω×）＝1，即ω＝+2kπ，k∈Z，解得ω＝1+4k，k∈Z，故f（x）不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝asin2x，
又f（）＝asin（2×）＝1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2x；
若选择③④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝asin2x，
又f（x）的最大值为1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）＝f（x）﹣2cos2ωx+1＝sin2x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
又x∈（0，π），
所以g（x）在（0，π）上的单调递增区间有[，π）和（0，]．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．

【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM⊥AB1；
（Ⅱ）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式能求出点A1到平面BCM的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，

A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1），（a∈[0，1]），
＝（﹣1，a，1），＝（1，0，1），
∵＝0，∴BM⊥AB1；
（Ⅱ）设平面BCM的法向量＝（x，y，z），
＝（﹣1，a，1），＝（﹣1，1，0），
∴，取x＝1，得＝（1，1，1﹣a），
∵直线AB1与平面BCM所成角为，
∴sin＝＝＝，
解得a＝，∴＝（1，1，），
∵＝（1，0，﹣1），
∴点A1到平面BCM的距离为：
d＝＝＝．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（13分）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度
性别
未上学
小学
初中
高中
大学
专科
大学
本科
硕士
研究生
博士
研究生
男
0.00
0.03
0.14
0.11
0.07
0.11
0.03
0.01
女
0.01
0.04
0.11
0.11
0.08
0.12
0.03
0.00
合计
0.01
0.07
0.25
0.22
0.15
0.23
0.06
0.01
（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（Ⅱ）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）结合概率乘法的计算公式即可求出结果；
（Ⅱ）求出X的可能取值，进而求出对应的概率，即可求出结果；
（Ⅲ）根据平均数的概念即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，
则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85%×0.06＝0.051；
（Ⅱ）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01＝0.3，
x的可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
E（X）＝0×0.49+1×0.42+2×0.09＝0.6；
（Ⅲ）a＞b．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（1，+∞）上有最大值，求a的取值范围．
【分析】（I）f′（x）＝，由已知可得f′（2）＝﹣1，解得a．
（II）f′（x）＝，x∈（1，+∞），令u（x）＝x2﹣2ax+1，Δ＝4（a2﹣1），对a分类讨论，a≤0或△≤0时，不符合题意舍去．Δ＞0时，a＞1，方程x2﹣2ax+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，x1+x2＝2a，x1x2＝1，不妨设0＜x1＜1＜x2，研究函数f（x）的单调性即可得出结论．
【解答】解：（I）f′（x）＝＝，
∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1，
∴f′（2）＝＝﹣1，解得a＝﹣1．
（II）f′（x）＝，x∈（1，+∞），
令u（x）＝x2﹣2ax+1，
Δ＝4a2﹣4＝4（a2﹣1），
对a分类讨论，a≤0或△≤0时，a≤1，f′（x）≤0，此时函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，无最大值，舍去．
Δ＞0时，a＞1，方程x2﹣2ax+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
则x1+x2＝2a，x1x2＝1，
不妨设0＜x1＜1＜x2，
则x∈（1，x2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴此时函数f（x）取得极大值即最大值．
∴a∈（1，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆的离心率为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．是否存在常数t，使得直线x＝t与直线l的交点Q在A，B之间，且总有？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由求出a，c，再根据b2＝a2﹣c2求出b2，可得结果；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆方程，由韦达定理得到x1+x2与x1x2，将化为，即2x1x2﹣（t+4）（x1+x2）+8t＝0，再结合韦达定理可得8t﹣8＝0对恒成立，从而可得t＝1．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，
所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）直线l的方程为y＝k（x﹣4），
联立，消去y并整理得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4＝0，
则Δ＝（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
依题意可得Q（t，k（t﹣4）），
因为Q在A，B之间，所以（t﹣x1）（t﹣x2）＜0，所以＝，
因为，
所以 得，
得（4﹣x1）（t﹣x2）＝﹣（4﹣x2）（t﹣x1），
得2x1x2﹣（t+4）（x1+x2）+8t＝0，
将，代入上式并整理得8t﹣8＝0，对恒成立，
所以1﹣t＝0，即t＝1，
故存在常数t＝1，使得直线x＝t与直线l的交点Q在A，B之间，且总有．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（15分）设数列A：a1，a2，…，an（n≥2）．如果ai∈{1，2，…，n}（i＝1，2，…，n），且当i≠j时，ai≠aj（1≤i，j≤n），则称数列A具有性质P．对于具有性质P的数列A，定义数列T（A）：t1，t2，…，tn﹣1，其中tk＝）．
（Ⅰ）对T（A）：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
（Ⅱ）对数列E：e1，e2，…，en﹣1（n≥2），其中ei∈{0，1}（i＝1，2，…，n﹣1），证明：存在具有性质P的数列A，使得T（A）与E为同一个数列；
（Ⅲ）对具有性质P的数列A，若|a1﹣an|＝1（n≥5）且数列T（A）满足ti＝（i＝1，2，⋯，n﹣1），证明：这样的数列A有偶数个．
【分析】（Ⅰ）根据数列T（A）的定义得到n＝4且a1＞a2，a2＜a3，a3＜a4，确定a2＝1，按照a1＝4或a4＝4分类讨论即可得出答案；
（Ⅱ）设数列E：e1，e2，…，en﹣1（n≥2）中恰有s项为1，再按照s＝0，s＝n﹣1，0＜s＜n﹣1，三种情况分类讨论可证得结论；
（Ⅲ）按照n的奇偶性分类讨论，结合数列T（A）的定义可证结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为T（A）：0，1，1，所以n﹣1＝3，即n＝4．
因为t1＝0，t2＝1，t3＝1，所以a1＞a2，a2＜a3，a3＜a4，
又因为ai∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4），
所以a2＝1，a1＝4，或a4＝4，
当a1＝4时，a3＝2，a4＝3，
当a4＝4时，a1＝3，a3＝2，或a1＝2，a3＝3，
综上所述，所有具有性质P的数列A为：4，1，2，3、3，1，2，4、2，1，3、4．
证明：（Ⅱ）由于数列E：e1，e2，…，en﹣1（n≥2），其中ei∈{0，1}（i＝1，2，…，n﹣1），
不妨设数列E：e1，e2，…，en﹣1（n≥2）中恰有s项为1，
若s＝0，则A：n，n﹣1，…，1符合题意；
若s＝n﹣1，则A：1，2，…，n符合题意；
若0＜s＜n﹣1，则设这s项分别为，，…，（k1＜k2＜…＜ks），
构造数列A：a1，a2，…，an，令，，…，分别为n﹣s+1，n﹣s+2，…，n，
数列A的其余各项，，…，（m1＜m2＜…＜mn﹣s）分别为n﹣s，n﹣s﹣1，…，1，
经检验数列A符合题意．
证明：（Ⅲ）对于符合题意的数列A：a1，a2，…，an（n≥5），
①当n为奇数时，存在数列A'：an，an﹣1，…，a1符合题意，且数列A与A'不同，T（A）与T（A'）相同，
按这样的方式可由数列A'构造出数列A，所以当n为奇数时，这样的数列A有偶数个，
当n＝3时，这样的数列A也有偶数个．
②当n为偶数时，如果n，n﹣1是数列A中不相邻的两项，交换n与n﹣1得到数列A'符合题意，且数列A与A'不同，T（A）与T（A'）相同，
按这样的方式可由数列A'构造出数列A，所以这样的数列A有偶数个；
如果n，n﹣1是数列A中相邻的两项，由题设可知：必有an﹣1＝n，an＝n﹣1，a1＝n﹣2，
除这三项外，a2，a3，…，an﹣2是一个n﹣3项的符合题意的数列A，
由①知这样的数列A有偶数个；
综上所述，这样的数列A有偶数个．
【点评】本题考查数列的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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