2022年北京市房山区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市房山区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市房山区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，2} D．{0，1}
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z•＝（　　）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
3．（4分）若ab＞0，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜b2 B． C． D．
4．（4分）若的展开式中的常数项为﹣20，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．（4分）已知M为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
6．（4分）在等差数列{an}中，a3＝5，，则a1•a5＝（　　）
A． B．9 C．10 D．25
7．（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（　　）
A．2600 B．2700 C．26 D．27
8．（4分）已知函数f（x）＝2cos2（x+θ）﹣1，则“”是“f（x）为奇函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知直线l被圆C：x2+y2＝2所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C． D．x2﹣y2＝1
10．（4分）已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆．
①A1∩A2＝∅；
②A1∪A2＝U；
③Ai（i＝1，2）的元素个数不是Ai中的元素．
则集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则a＝　 　．
12．（5分）已知，是单位向量，＝+2，且⊥，则•＝　 　；||＝　 　．
13．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　 　；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），则m的最大值为 　 　．
14．（5分）函数f（x）的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）•f（2）＜0”为假命题的一个函数f（x）的解析式可以为f（x）＝　 　．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．给出下列四个结论：
①D1O⊥AC；
②存在一点P，D1O∥B1P；
③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；
④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）若AB⊥BC，求：
①AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；
②直线AC与平面BA1C1的距离．

17．（14分）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
18．（14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉．北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破．下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
合计
空气质
量优良
天数
24
18
11
27
23
21
26
29
27
29
23
30
288
空气质
量污染
天数
7
10
20
3
8
9
5
2
3
2
7
1
77
（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；
（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为．试判断，的大小关系．（结论不要求证明）
19．（14分）已知函数f（x）＝（lnx﹣a）ex．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A（﹣2，0），B（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线x＝4交于点Q．求证：．
21．（14分）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3，⋯）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3，⋯），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．

2022年北京市房山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，2} D．{0，1}
【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z•＝（　　）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），∴z＝2﹣i，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）若ab＞0，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜b2 B． C． D．
【分析】直接利用赋值法和作差法和不等式的基本性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：当a＝﹣2，b＝﹣1时，选项A错误；
对于B：，故，故B错误；
对于C：由于ab＞0，所以，故C正确；
对于D：当a和b都为负值时，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，作差法的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（4分）若的展开式中的常数项为﹣20，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】求出展开式的常数项，其等于﹣20，化简即可求解．
【解答】解：展开式的常数项为C＝C＝﹣20，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5．（4分）已知M为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离代入到准线的距离，列出方程，可得p的值．
【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为：y＝﹣，
由题意可得＝4﹣3，可得p＝2，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
6．（4分）在等差数列{an}中，a3＝5，，则a1•a5＝（　　）
A． B．9 C．10 D．25
【分析】由已知利用等差数列的性质求得a1+a5，再把已知等式左边通分求解．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3＝5，得a1+a5＝2a3＝10，
又，∴，
则a1•a5＝9．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，是基础题．
7．（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（　　）
A．2600 B．2700 C．26 D．27
【分析】根据题中函数关系式，令v＝0和1.5，分别求出对应的Q，即可得出结果．
【解答】解：因为鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，v＝0，此时0＝log3，则＝1，耗氧量为Q1＝100；
当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，v＝1.5，此时1.5＝log3，
所以log3＝3，
则＝27，即耗氧量为Q＝2700，
因此鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为＝27．
故选：D．
【点评】本题考查了对数型函数的应用及对数的基本运算，属于基础题．
8．（4分）已知函数f（x）＝2cos2（x+θ）﹣1，则“”是“f（x）为奇函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由二倍角公式可得f（x）＝cos（2x+2θ），结合诱导公式呢分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2cos2（x+θ）﹣1＝cos（2x+2θ），
若，则f（x）＝cos（2x++2kπ）＝﹣sin2x，是奇函数，
反之，若f（x）为奇函数，必有2θ＝π+2kπ，变形可得θ＝+kπ，k∈Z，
故“”是“f（x）为奇函数”充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查余弦的二倍角公式，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
9．（4分）已知直线l被圆C：x2+y2＝2所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C． D．x2﹣y2＝1
【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，得到结果．
【解答】解：∵直线l被圆C：x2+y2＝2所截的弦长不小于2，
∴原点到直线的距离小于等于1，
∴直线上有一点到原点的距离小于等于1，
在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，
∴l与椭圆一定有公共点
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系问题，本题解题的关键是当有一个点在一个封闭图形内部，则过这个点的直线一定与封闭曲线有交点．
10．（4分）已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆．
①A1∩A2＝∅；
②A1∪A2＝U；
③Ai（i＝1，2）的元素个数不是Ai中的元素．
则集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
【分析】由真分拆的定义及规定即可求解．
【解答】解：由题意，集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆有：
A1＝{5}，A2＝{1，2，3，4，6}；
A1＝{1，4}，A2＝{2，3，5，6}；
A1＝{3，4}，A2＝{1，2，5，6}；
A1＝{4，5}，A2＝{1，2，3，6}；
A1＝{4，6}，A2＝{1，2，3，5}，共5种，
故选：A．
【点评】本题考查了真分拆的定义和规定，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则a＝　2　．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出关系式，求解a即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得＝，可得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
12．（5分）已知，是单位向量，＝+2，且⊥，则•＝　﹣　；||＝　　．
【分析】由⊥，知•＝0，代入，展开运算，可得•的值，再由||＝，结合数量积的运算法则，得解．
【解答】解：∵＝+2，且⊥，
∴•＝（+2）•＝2+2•＝0，即1+2•＝0，
∴•＝﹣，
∴||＝＝＝＝．
故答案为：﹣；．
【点评】本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则，以及模的处理方式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　sin（2x﹣）　；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），则m的最大值为 　　．
【分析】首先利用函数的关系式的平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象；
（2）由于函数g（0）＝，
该函数在[0，m]上的最小值为g（0），故，故x＝，
即m的最大值为．
故答案为：sin（2x﹣）；．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）•f（2）＜0”为假命题的一个函数f（x）的解析式可以为f（x）＝　（x﹣1）2，（答案不唯一）．　．
【分析】根据函数零点以及f（0）与f（2）的关系直接进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣1）2在[0，2]上连续不断，且函数f（x）存在零点x＝1，但f（0）•f（2）＜0不成立，
则满足条件的f（x）可以是f（x）＝（x﹣1）2，
故答案为：f（x）＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数零点和函数值的关系进行求解判断是解决本题的关键，是基础题．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．给出下列四个结论：
①D1O⊥AC；
②存在一点P，D1O∥B1P；
③若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为；
④若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．
其中所有正确结论的序号是 　①③　．

【分析】对于①，连接AD1，CD1，由三角形ACD1为等边三角形判断；
对于②，将D1O进行平移到过B1点，使之具有公共顶点，根据立体图形判断，无论如何也不可能满足D1O∥B1P；
对于③，连接OE，EC，BD，D1E，证明D1O⊥平面OEC，所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，C1P最大，此时△D1C1P面积最大为：．
对于④，P到直线D1C1的距离为线段PC1的长度，所以|PC1|＝|PB|，判定出P点位置即可．
【解答】解：对于①，连接AD1，CD1，由正方体的性质知三角形ACD1为等边三角形，由于O为底面ABCD的中心，故为AC中点，故AC⊥D1O，①正确；
对于②，将 D1O 进行平移到过B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图形判断，无论如何也不可能满足B1H平行或重合于B1P，所以D1O不可能平行于B1H，②错误；
对于③取B1B的中点E，连接OE，EC，BD，D1E，证明DlO⊥平面OEC，所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置
时，C1P最大，此时ΔD1C1P面积最大为：．所以③正确．
对于④，P到直线D1C1的距离为线段PC1的长度，所以|PC1|＝|PB|，判定出P点位置为直线BC1的垂直平分线，故④错误．
故正确的序号是：①③．
故答案为：①③．

【点评】本题考查线面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）若AB⊥BC，求：
①AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；
②直线AC与平面BA1C1的距离．

【分析】（Ⅰ）推导出四边形AA1C1C是平行四边形，AC∥A1C1，由此能证明AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所成直线为y轴，以BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
①利用向量法能求出AA1与平面BA1C1所成角的正弦值；
②利用向量法能求出直线AC与平面BA1C1的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，∴AC∥A1C1，
∵AC⊄平面BA1C1，A1C1⊂平面BA1C1，
∴AC∥平面BA1C1；
（Ⅱ）∵AB⊥BC，BB1⊥平面ABC，AB＝BC＝BB1＝1，
∴以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所成直线为y轴，以BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

A（1，0，0），A1（1，1，0），B（0，0，0），C1（0，1，1），
＝（0，1，0），＝（1，1，0），＝（0，1，1），
设平面BA1C1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
①设AA1与平面BA1C1所成角为θ，
则AA1与平面BA1C1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
②∵AC∥平面BA1C1，平面BA1C1的法向量＝（1，﹣1，1），
∴直线AC与平面BA1C1的距离d＝＝．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、直线到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（14分）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得 sinAsinB＝sinAcosB，从而得到tanB＝1，即可求解出答案．
（Ⅱ）选择条件①②，△ABC存在且唯一，由cosA＝﹣可求∠A，由正弦定及b解出a的值，由两角差的余弦公式求出sinC，最后由面积公式计算即可．
选择①③，△ABC存在且唯一，由cosA，可求出∠A，由于AB边上的高，可求出b，再由正弦定理求出解出a的值，以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，由题意可求sinA＝＝，结合范围A∈（0，π），可得A＝或，不满足题意．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，及bsinA＝acosB，
得sinAsinB＝sinAcosB，因为sinA≠0，
所以tanB＝1，
因为0°＜B＜180，所以B＝45°．
（Ⅱ）若选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cos∠A＝﹣，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
由正弦定理及b＝，
得＝，解得a＝，
由A+B+C＝180°，得∠C＝15°，
可得sinC＝sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°＝﹣＝，
所以S△ABC＝absinC＝＝．
若选择条件①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cosA＝﹣，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
因为AB边上的高为，所以b＝＝＝，
由正弦定理及b＝，
得＝，解得a＝．
以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，△ABC不唯一，解答如下：
b＝，因为AB边上的高为，所以sinA＝＝＝，因为A∈（0，π），可得A＝或，故△ABC不唯一．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，属于中档题．
18．（14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉．北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破．下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
合计
空气质
量优良
天数
24
18
11
27
23
21
26
29
27
29
23
30
288
空气质
量污染
天数
7
10
20
3
8
9
5
2
3
2
7
1
77
（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；
（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为．试判断，的大小关系．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）根据统计数据可直接求解；
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立求出每一种情况下的概率，从而可得分布列；
（Ⅲ）这些月份的和为定值31，这两个量的方差相等．
【解答】解：（Ⅰ）记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，
由统计数据可知；
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，
方法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，
事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”，
事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”，
由题意知，事件B，C，D相互独立，
且，
所以，

＝，

＝，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




方法2：，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




（Ⅲ）．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，方差的计算，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝（lnx﹣a）ex．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为y＝a和g（x）＝lnx+在（0，e]的交点个数问题，从而求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝exlnx，
则f′（x）＝ex（lnx+），
则f（1）＝0，f′（1）＝e，
故切线方程是：y＝ex﹣e；
（Ⅱ）f′（x）＝ex（lnx+﹣a），
令f′（x）＝0，得a＝lnx+，
令g（x）＝lnx+，x∈（0，e]，
则g′（x）＝﹣＝，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，e]递增，
而g（1）＝1，g（e）＝1+，
故a∈（1，1+]时，方程a＝lnx+有2个根，
此时f（x）在区间（0，e]存在极小值，
故a的取值范围是（1，1+）．
【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．
20．（15分）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A（﹣2，0），B（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线x＝4交于点Q．求证：．
【分析】（1）依题意可得a＝2，再根据离心率求出c，最后根据a2＝b2+c2，求出b，即可求出椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，在表示出直线AM的方程，即可求出Q点坐标，再表示出kNB、kBQ，即可得到kNB＝kBQ，即N、B、Q三点共线，即可得证．
【解答】解：（1）由长轴的两个端点分别为A（﹣2，0），B（2，0），可得a＝2，
由离心率为，可得，所以，
又a2＝b2+c2，解得b＝1，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x＝my+1，
由得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
所以，直线AM的方程为，所以，
所以，，
所以
＝，即kNB＝kBQ，
所以N、B、Q三点共线，所以．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（14分）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3，⋯）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3，⋯），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．
【分析】（1）对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不符合无界数列的定义．
（2）讨论n＝1，n＝2，n＝3都不成立，当n≥4时，将变形为：，从而求得k的范围．
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{an}是单调递增的无界正数列证明．
【解答】解：（1）{an}是无界数列，理由如下：
对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，所以{an}是无界数列．
{bn}不是无界数列，理由如下：
取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不存在正整数N，满足bN＞3，所以{bn}不是无界数列．
（2）当n＝1时，，不成立．
当n＝2时，，不成立，
当n＝3时，，不成立，
当n≥4时，将，变形为：＝．
即取k＝4，对于一切n≥k，有成立．
（3）因为数列{an}是单调递增的无界数列，所以an＞0，a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…
所以
．
即，
因为{an}是无界数列，取δ＝2a1，由定义知存在正整数N1，
使所以．
由定义可知{an}是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，
同上理由可知存在正整数N2，使得
，
故存在正整数N2，使得，
故存在正整数m＝N2，使得成立．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
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