2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）已知集合A＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．（﹣3，3）
2．（4分）复数z＝（﹣1+i）（2+i）对应的点在复平面内的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）函数f（x）的图像与函数y＝log2x的图像关于y轴对称，则f（﹣2）＝（　　）
A．2 B． C．4 D．1
4．（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y2﹣4x＝0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）
A．x﹣y﹣2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x+y＝0
5．（4分）已知抛物线y2＝8x，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝10，则AB中点M到y轴的距离为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
6．（4分）已知a＝log32，b＝20.1，，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
7．（4分）“角α，β的终边关于原点O对称”是“cos（α﹣β）＝﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知D是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．[0，2] D．[2，4]
9．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
10．（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天）时刻累计感染人数，i（t）的导数i'（t）表示t时刻的新增病例数，ln9≈2.1972），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（　　）
A．4月30日～5月2日 B．5月3日～5月5日
C．5月6日～5月8日 D．5月9日～5月11日
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）
11．（5分）在（2x2﹣1）5的展开式中，x4的系数为 　 　．（用数字作答）
12．（5分）下表记录了某地区一年之内的月降水量．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月降水量/mm
58
48
53
46
56
56
51
71
56
53
64
66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 　 　；80%分位数是 　 　．
13．（5分）在△ABC中，AC＝2，，，则∠B＝　 　；D为BC的中点，则AD的长为 　 　．
14．（5分）请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列{an}，使得它的前n项和Sn满足：数列也是等差数列，则an＝　 　．
15．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，且，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；
②FC＝PO；
③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；
④△AEC面积的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）
16．（12分）已知函数，是函数f（x）的对称轴，且f（x）在区间上单调．
（Ⅰ）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f（x）的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数f（x）的图像经过点；
条件②：是f（x）的对称中心；
条件③：是f（x）的对称中心．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的f（x），求函数的值域．
17．（13分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．
（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
（Ⅲ）2.7万名志愿者中，18﹣35岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：

18﹣35岁人群
其它人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
90人
5人
1人
4人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．
将志愿者支持方案的概率估计值记为p0，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）
18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D，P分别是BC，CC1的中点．
（Ⅰ）在侧棱BB1上作出点F，满足DF∥平面AB1P，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角B1﹣AP﹣C1的余弦值及点B到平面AB1P的距离．

19．（15分）已知f（x）＝ksinx+2x．
（Ⅰ）当k＝2时，判断函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若f（x）＞ln（x+1）在恒成立，求k的最小值．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，长轴的右端点为A（2，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx+m与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM⊥AN，点A不在直线l上，
（ⅰ）试证明直线l过一定点，并求出此定点；
（ⅱ）从点A作AD⊥MN垂足为D，点，写出|BD|的最小值（结论不要求证明）．
21．（15分）素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A，具体构造的方法如下：
A中位于第i行第j列的数记为aij，首项为3i+1且公差为2i+1的等差数列的第j项恰好为aij，其中i＝1，2，⋯⋯；j＝1，2，⋯⋯．
请同学们阅读以上材料，回答下列问题：
（Ⅰ）求a53；
（Ⅱ）证明：aij＝aji；
（Ⅲ）证明：①若s在A中，则2s+1不是素数；
②若s不在A中，则2s+1是素数．

2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）已知集合A＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．（﹣3，3）
【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵B＝{x|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）复数z＝（﹣1+i）（2+i）对应的点在复平面内的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z＝（﹣1+i）（2+i）＝﹣2﹣i+2i﹣1＝﹣3+i，
∴复数z对应的点（﹣3，1），位于平面内的第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）函数f（x）的图像与函数y＝log2x的图像关于y轴对称，则f（﹣2）＝（　　）
A．2 B． C．4 D．1
【分析】由图像关于y轴对称的特点，可得f（x）的解析式，再由对数的运算性质可得所求值．
【解答】解：由函数f（x）的图像与函数y＝log2x的图像关于y轴对称，
可得f（x）＝log2（﹣x），
则f（﹣2）＝log22＝1，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图像变换，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
4．（4分）若点M（1，1）为圆C：x2+y2﹣4x＝0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）
A．x﹣y﹣2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x+y＝0
【分析】由的一般方程可得，圆心为C（2，0），由点M为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C（2，0）
根据题意：kCM＝＝﹣1
又kABkCM＝﹣1，
∴kAB＝1，
∴直线AB的方程是x﹣y＝0
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，属基础题．
5．（4分）已知抛物线y2＝8x，O为坐标原点，过其焦点的直线l与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝10，则AB中点M到y轴的距离为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线的定义求得x1+x2+p＝10，求出p，得到AB中点的横坐标，然后推出结果．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p＝10，
y2＝8x，可知p＝4，
∴＝3，
线段AB的中点P到y轴的距离为：3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．
6．（4分）已知a＝log32，b＝20.1，，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵＝log3＜log32＜log33＝1，
∴＜a＜1，
又∵b＝20.1＞1，＜，
∴c＜a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．（4分）“角α，β的终边关于原点O对称”是“cos（α﹣β）＝﹣1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】角α，β的终边关于原点O对称，不妨设α＝β+（2k﹣1）π，k∈Z，利用特殊角的三角函数值及其充要条件的意义即可判断出结论．
【解答】解：角α，β的终边关于原点O对称，不妨设α＝β+（2k﹣1）π，k∈Z⇔cos（α﹣β）＝cos[（2k﹣1）π]＝﹣1，
∴“角α，β的终边关于原点O对称”是“cos（α﹣β）＝﹣1”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值及其充要条件的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（4分）已知D是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则的取值范围是（　　）
A． B． C．[0，2] D．[2，4]
【分析】画出图形，判断D的位置，求解向量数量积的最值即可．
【解答】解：如图：D在边长为2的正△ABC边BC上的动点，D在AB上的射影为E，
＝||||cos∠DAB＝||||，显然D在B时，取得最大值4．
D在C时，取得最小值2，
则的取值范围是[2，4]．
故选：D．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的几何性质，考查计算能力以及逻辑推理能力．
9．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线，交双曲线右支于M，若，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±2x D．
【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解．
【解答】解：如图所示，设 MF1 与圆相切于点 N，过 F2 作 F2P⊥F1M，

故 ，
又 ，则|MP|＝|PF2|＝2a，
则 ，
由双曲线定义得 ，
即 ，
故渐近线方程为 ，
故选：B．

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
10．（4分）新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（i（t）表示自4月20日开始t（单位：天）时刻累计感染人数，i（t）的导数i'（t）表示t时刻的新增病例数，ln9≈2.1972），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（　　）
A．4月30日～5月2日 B．5月3日～5月5日
C．5月6日～5月8日 D．5月9日～5月11日
【分析】根据已知条件，先对i（t） 求导，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：该传染病在当地的传播模型为，
求导可得，i'（t）＝＝≤＝，
当且仅当，即，即0.2t＝ln9，t≈11天时，
故该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为4月30日～5月2日．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查基本不等式的公式，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）
11．（5分）在（2x2﹣1）5的展开式中，x4的系数为 　﹣40　．（用数字作答）
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．
【解答】解：（2x2﹣1）5的展开式中的通项为（﹣1）5﹣r2rC5rx2r，
令2r＝4，解得r＝2，
∴x4的系数为（﹣1）322C52＝﹣40，
故答案为：﹣40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
12．（5分）下表记录了某地区一年之内的月降水量．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月降水量/mm
58
48
53
46
56
56
51
71
56
53
64
66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 　56　；80%分位数是 　64　．
【分析】把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数．
【解答】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；
计算中位数是×（56+56）＝56；
因为12×80%＝9.6，所以80%分位数是第10个数据，是64．
故答案为：56；64．
【点评】本题考查了中位数和百分位数的计算问题，是基础题．
13．（5分）在△ABC中，AC＝2，，，则∠B＝　　；D为BC的中点，则AD的长为 　　．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinB＝，又AC＜AB，可得B为锐角，进而可求B的值，利用三角形内角和定理可求A的值，进而可求BC＝AC＝2，可求CD的值，在△ADC中由余弦定理可得AD的值．
【解答】解：因为在△ABC中，AC＝2，，，
由正弦定理，可得，可得sinB＝，
因为AC＜AB，可得B为锐角，
所以B＝，
所以A＝π﹣B﹣C＝，可得BC＝AC＝2，
又D为BC的中点，可得CD＝1，
所以在△ADC中，由余弦定理可得AD＝＝＝．
故答案为：，．

【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14．（5分）请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列{an}，使得它的前n项和Sn满足：数列也是等差数列，则an＝　2n﹣1　．
【分析】当an＝2n﹣1时，Sn＝＝n2，＝n也是等差数列，满足题意．
【解答】解：当an＝2n﹣1时为等差数列，此时Sn＝＝n2，
则＝n也是等差数列，满足题意．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查数学运算能力，属于基础题．
15．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，且，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；
②FC＝PO；
③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；
④△AEC面积的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 　①④　．

【分析】①通过线面垂直证明线线垂直；②通过计算可得到结果；③通过线面角的定义与计算可得到结果；④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围．
【解答】解：由AC⊥BD，AC⊥PD 得AC⊥平面PBD，
因为OE⊂平面PBD，所以AC⊥OE，①正确
计算可得，，，，
，
，
，
所以，②不正确；

由线面角定义知，∠POD就是直线PO与底面ABCD所成的角，，③不正确；
由AC⊥PBD得，AC⊥OE，，
，PB⊥OE时|OE|最小，④正确．
故答案为：①④．

【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）
16．（12分）已知函数，是函数f（x）的对称轴，且f（x）在区间上单调．
（Ⅰ）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f（x）的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数f（x）的图像经过点；
条件②：是f（x）的对称中心；
条件③：是f（x）的对称中心．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的f（x），求函数的值域．
【分析】（I）是函数f（x）的对称轴，且f（x）在区间上单调．可得ω≤2，再依据选①利用sinφ＝，求φ的值，进而求ω，得到解析式；③ω+φ＝mπ，m∈Z，ω＝4（m﹣k）﹣2，可求得f（x）的解析式；选条件②，由不满足≥，解析式不存在；
（II）由0≤x≤，≤2x+≤，可求f（x）值域．
【解答】解：（I）由题意，得ω+φ＝kπ+，k∈Z；在区间上单调，≥﹣＝，∴ω≤2，
选条件①：sinφ＝，∴φ＝，ω＝6k+2，得ω＝2，符合题意，可得f（x）＝sin（2x+），
选条件③：ω+φ＝mπ，m∈Z，可得ω＝（m﹣k）π﹣，
即ω＝4（m﹣k）﹣2，可得ω＝2，符合题意，可得f（x）＝sin（2x+），
选条件②：﹣＝，不满足≥，故解析式不存在．
（II）由（I）得f（x）＝sin（2x+），0≤x≤，
∴≤2x+≤，∴﹣≤f（x）≤1，
∴函数的值域为[﹣，1]．
【点评】本题考查正弦型函数的单调性，求解析式，值域问题，属中档题．
17．（13分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．
（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
（Ⅲ）2.7万名志愿者中，18﹣35岁人群占比达到95%，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：

18﹣35岁人群
其它人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
90人
5人
1人
4人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．
将志愿者支持方案的概率估计值记为p0，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）根据古典概型的计算公式直接计算；
（Ⅱ）分别计算概率并列出分布列，并求期望；
（Ⅲ）根据古典概型计算公式分别计算p0与p1，并比较大小．
【解答】解：（Ⅰ）由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，
且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，
故乙可被分配的志愿服务共11，
所以乙被分配到场馆运行服务的概率为：
（Ⅱ）由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，
故，
，
，
分布列如下：
ξ
0
1
2
P



期望E（ξ）＝0×+1×+2×＝；
（Ⅲ）由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，
去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，
故p1＞p0．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18．（15分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D，P分别是BC，CC1的中点．
（Ⅰ）在侧棱BB1上作出点F，满足DF∥平面AB1P，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角B1﹣AP﹣C1的余弦值及点B到平面AB1P的距离．

【分析】（I）由线面平行的判定定理证明；
（II）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出夹角；设点B到平面AB1P的距离为d，由，即可求得距离．
【解答】解：（I）证明：设BB1的中点为E，BE的中点为F，

则EC∥B1P，DF∥EC，则DF∥B1P，
DF⊄平面AB1P，B1P⊂平面AB1P，DF∥平面AB1P．
（II）设O是边AC的中点，Z是A1C1的中点，
则OZ⊥平面ABC，△ABC为正三角形，
所以，OB⊥AC，OB，OC，OZ两两垂直，
建立如图所示坐标系O﹣XYZ．

则，
，
设平面AB1P的法向量为＝（x，y，z），
所以，则⇒，
平面C1AP的法向量为，
所以二面角B1﹣AP﹣C1的余弦值为，又，
设点B到平面AB1P的距离为d，则．

【点评】本题考查线面平面，及利用向量法求二面角与距离，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（15分）已知f（x）＝ksinx+2x．
（Ⅰ）当k＝2时，判断函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若f（x）＞ln（x+1）在恒成立，求k的最小值．
【分析】（Ⅰ）当k＝2时，求导得f（x）在R上单调递增，又因为f（0）＝0，即可求出f（x）零点的个数．
（Ⅱ）设g（x）＝2x﹣sinx﹣ln（x+1），求导得g（x）在（0，）上单调递增，则g（x）＞g（0）＝0，即可证明．
（Ⅲ）当k≥﹣1时，由（2）得f（x）≥﹣sinx+2x＞ln（x+1）恒成立．
当k＜﹣1时，设h（x）＝f（x）﹣ln（x+1），判断h（x）的最小值大于0是否成立，即可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝2时，f'（x）＝2cosx+2≥0，所以f（x）在R上单调递增，而f（0）＝0，所以f（x）只有一个零点x＝0；
证明：（Ⅱ）设g（x）＝2x﹣sinx﹣ln（x+1），当时，g'（x）＝2﹣cosx﹣＞0，所以g（x）在上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，
所以2x﹣sinx﹣ln（x+1）＞0，即2x﹣sinx＞ln（x+1）．
（Ⅲ）当k≥﹣1时，由（2）得f（x）≥﹣sinx+2x＞ln（x+1）恒成立．
当k＜﹣1时，设h（x）＝f（x）﹣ln（x+1），则h'（x）＝2+kcosx﹣＞，h''（x）＝﹣ksinx+＞0，
所以h'（x）在上单调递增，h'（0）＝k+1＜0，h'（）＝2﹣＞0，
由零点的存在性定理得：存在，使得h'（x0）＝0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，
所以h（x0）＜h（0）＝0不恒成立，所以k的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，长轴的右端点为A（2，0）．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx+m与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM⊥AN，点A不在直线l上，
（ⅰ）试证明直线l过一定点，并求出此定点；
（ⅱ）从点A作AD⊥MN垂足为D，点，写出|BD|的最小值（结论不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）根据题意得出关于a，b，c的方程组，求得a＝2，b＝1，解得求解；
（Ⅱ）（ⅰ）联立方程组得出，根据AM⊥AN，得到，结合，列出方程求得，即可求解；
（ii）根据AD⊥MN，得到点D落在以AP为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可求解．
【解答】（Ⅰ）解：椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为A（2，0），
可得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）联立方程组，整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
可得，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，
因为AM⊥AN，即，
可得
＝
＝＝，
所以5m2+16km+12k2＝0，解得m＝﹣2k或，
当m＝﹣2k时，直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2），此时过A（2，0），不符合题意（舍去）；
当时，直线方程为，此时过，符合题意，
综上可得，直线过定点．
（ii）由题意，从点A作AD⊥MN垂足为D，点，
如图所示，点D落在以AP为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
则|O1B|＝2，所以|BD|的最小值为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的定点问题，韦达定理及其应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．
21．（15分）素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在2000多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．1934年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A，具体构造的方法如下：
A中位于第i行第j列的数记为aij，首项为3i+1且公差为2i+1的等差数列的第j项恰好为aij，其中i＝1，2，⋯⋯；j＝1，2，⋯⋯．
请同学们阅读以上材料，回答下列问题：
（Ⅰ）求a53；
（Ⅱ）证明：aij＝aji；
（Ⅲ）证明：①若s在A中，则2s+1不是素数；
②若s不在A中，则2s+1是素数．
【分析】（Ⅰ）先求出a51和d，根据等差数列a53＝a51+2d 即可求解；
（Ⅱ）先求ai1和aj1，再求出d＝2i+1，d＝2j+1，代入等差数列公式求解即可；
（Ⅲ）先假设s在A中，得到s＝i+2ij+j，所以2s+1＝（2i+1）（2j+1）不是素数；
再假设s不在A中，利用反证法，2s+1为合数，令2s+1＝ab，a＝2p+1，b＝2q+1，
得到2s+1＝2（2pq+p+q）+1，可知s＝2pq+p+q在A中，假设不成立即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意：a51＝3×5+1＝16，d＝2×5+1＝11，a53＝a51+2d＝38．
证明：（Ⅱ）ai1＝3i+1，公差d＝2i+1，
aij＝3i+1+（2i+1）（j﹣1）＝i+2ij+j，
aj1＝3j+1，公差d＝2j+1，
aji＝3j+1+（2j+1）（i﹣1）＝i+2ij+j，
故aij＝aji．
证明：（Ⅲ）①若s在A中，由（2）可知，存在i，j∈N*，使得s＝i+2ij+j．
2s+1＝2i+4ij+2j+1＝（2i+1）（2j+1），所以2s+1不是素数．
②若s不在A中，反证法：假设2s+1为合数．
不妨令2s+1＝ab，这里a，b皆为大于1的奇数（这是因为2s+1为奇数）．
令a＝2p+1，b＝2q+1（其中p，q为正整数），
则2s+1＝（2p+1）（2q+1）＝2（2pq+p+q）+1．
由（2）得A中数的通项公式aij＝i+2ij+j，可知s＝2pq+p+q在A中，
这与已知矛盾，所以假设不成立，从而2s+1为素数．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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