2022年广东省深圳市福田区外国语高级中学高考数学适应性试卷（2月份）（一模）

这是一份2022年广东省深圳市福田区外国语高级中学高考数学适应性试卷（2月份）（一模），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市福田区外国语高级中学高考数学适应性试卷（2月份）（一模）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞﹣1且x≠2} D．{x|x＞﹣1}
2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝4﹣3i，则z＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝0，a6＝6，则（　　）
A．an＝12﹣n B．a10＝16 C．Sn＝2n2﹣10n D．S10＝50
4．（5分）已知，则＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
5．（5分）某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
6．（5分）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（　　）

A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名
（多选）10．（5分）对于函数f（x）＝sinxcosx，x∈R，则（　　）
A．f（x）的最大值为1 B．直线为其对称轴
C．f（x）在上单调递增 D．点为其对称中心
（多选）11．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（　　）

A．在方向上的投影为0
B．
C．
D．
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，，λ∈（0，1），N为线段AQ的中点，则（　　）

A．CN与QM共面
B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关
C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．λ＝时，AM⊥QM
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则满足f（m）＞0的实数m的取值范围是 　 　．
14．（5分）（x+y）（x﹣y）8的展开式中，x2y7的系数为　 　．
15．（5分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为 　 　．
16．（5分）设数列{an}满足a1＝1，a3＝3且an+2﹣2an+1+an＝2，则a4﹣a3＝　 　，数列{an}的通项an＝　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，a2a4＝81．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1＝1，当n≥2时，，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB＝ccosA+acosC．
（1）求B；
（2）若a＝2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
19．（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
购买金额（元）
[0，150）
[150，300）
[300，450）
[450，600）
[600，750）
[750，900]
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．

不少于600元
少于600元
合计
男

40

女
18


合计



（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．
附：参考公式和数据：．
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
20．（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面质直的棱柱）ABC﹣A1B1C1内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在A1B1上，且A1D＝3DB1．若AC＝BC．
（1）求证：平面COD⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，又点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作直线l的垂线，垂足为Q，试探究：|OQ|是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，x∈（0，+∞）；g（x）＝x2﹣x+1，x∈R．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数f（x），g（x）的图象都相切．

2022年广东省深圳市福田区外国语高级中学高考数学适应性试卷（2月份）（一模）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞﹣1且x≠2} D．{x|x＞﹣1}
【分析】由已知直接利用并集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|x＞1}∪{x|﹣1＜x＜2}＝{x|x＞﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．
2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝4﹣3i，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法法则，即可求解．
【解答】解：∵z（1﹣i）＝4﹣3i，
∴＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的乘除法法则，属于基础题．
3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝0，a6＝6，则（　　）
A．an＝12﹣n B．a10＝16 C．Sn＝2n2﹣10n D．S10＝50
【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列a1与d的方程组，求得a1与d的值，则通项公式与前n项和可求，分析四个选项得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S5＝0，a6＝6，得，解得．
∴an＝﹣4+2（n﹣1）＝2n﹣6，a10＝14，故AB错误；
，．
故C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）已知，则＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【分析】先根据求出，进而求出．
【解答】解：因为，
所以，
故，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的求值问题，属于基础题．
5．（5分）某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【分析】由题意知支付方式分三种：只用现金支付，只用非现金支付，既用现金支付又用非现金支付，利用概率和为1即可求解．
【解答】解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付又用非现金支付，事件D为买菜后支付，
则P（D）＝P（A）+P（B）+P（C）＝1，
因为P（A）＝0.2，P（C）＝0.1，
所以P（B）＝0.7．
故选：C．
【点评】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题．
6．（5分）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积．
【解答】解：如图，设底面ABCD中心为O，连接CO，EO，由几何关系知，
CO＝，EO＝＝＝，
则正八面体的体积为V＝2××22×＝．
故选：C．

【点评】本题考查空间几何体的体积问题，属基础题．
7．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】直接利用函数的性质和平方法的应用判断a、b、c的大小关系．
【解答】解：由于，，由于函数f（x）＝在（0，+∞）上单调递增，故b＞a；
由于，所以c6＝16，b6＝27，所以b＞c，
同理a12＝29，c12＝44＝28，故a＞c，
所以b＞a＞c，即c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，平方法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e）
【分析】f′（x）在（0，1）上单调递增，根据f（x）在（0，1）上有最小值，可知f（x）有极小值点，也是最小值点，由此列不等式可求得a的取值范围．
【解答】解：因为f′（x）＝ex+3x2+（a﹣3）在区间（0，1）上单调递增，
由题意只需⇒，解得﹣e＜a＜2，
这时存在x0∈（0，1），使得f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，
即函数f（x）在（0，1）上有极小值也即最小值，
所以a的取值范围是（﹣e，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（　　）

A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名
【分析】对于A，结合扇形图的数据，以及及格率，即可求解，对于B，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C，先找出成绩的中位数，再结合平均数公式，即可求解，对于D，结合频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：对于A，由图可知，及格率为1﹣8%＝92%＞90%，故A正确，
对于B，该测试满分同学的百分比为1﹣8%﹣32%﹣48%＝12%，
则有12%×150＝18名，故B错误，
对于C，由图可知，中位数为80分，平均数为40×8%+60×32%+80×48%+100×12%＝72.8分，故C正确，
对于D，由题意可得，1500名学生成绩能得到优秀的同学有1500×（48%+12%）＝900，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查饼状图的应用，考查频率与频数的关系和平均数公式，属于基础题．
（多选）10．（5分）对于函数f（x）＝sinxcosx，x∈R，则（　　）
A．f（x）的最大值为1 B．直线为其对称轴
C．f（x）在上单调递增 D．点为其对称中心
【分析】利用倍角公式变形，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：∵f（x）＝sinxcosx＝，
∴f（x）的最大值为，故A错误；
∵f（）＝，∴直线为其对称轴，故B正确；
当x∈时，2x∈[0，π]，则f（x）在上先增后减，故C错误；
∵f（）＝，∴点为其对称中心，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是基础题．
（多选）11．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（　　）

A．在方向上的投影为0
B．
C．
D．
【分析】根据向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．
【解答】解：平行四边形ABCD中，，
所以，
所以AB⊥BD，E为CD的中点，AE与DB交于F，所以在AB方向上的投影为0，所以 A正确；
，∴．所以B正确；
，所以C不正确；
因为，所以，所以D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，，λ∈（0，1），N为线段AQ的中点，则（　　）

A．CN与QM共面
B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关
C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．λ＝时，AM⊥QM
【分析】依据正方体的几何性质逐项计算可判断．
【解答】解：显然MN∥CQ，所以CN与QM共面，所以A正确；
VA﹣DMN＝VN﹣ADM，N到平面ABCD的距离为定值，△ADM的面积为定值，所以B正确；
当时，过A，Q，M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，周长为L＝++2×＝，所以C正确；
当AM2＝，AQ2＝1+＝，QM2＝（）2+（）2+1＝，
所以AM2+QM2＞AQ2，所以AM⊥QM不成立，所以D不正确．
故选：ABC．

【点评】本题考查空间几何体的共面，体积，截面，周长，线线位置关系，属中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则满足f（m）＞0的实数m的取值范围是 　（﹣1，1）　．
【分析】直接利用函数的性质求出函数的关系式，最后求出m的中取值范围．
【解答】解：根据偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，若f（﹣1）＝0，则f（1）＝0；
故函数的图象如图所示：

当m＝0时，满足条件；
则满足f（m）＞0的实数m的取值范围为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．

【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题
14．（5分）（x+y）（x﹣y）8的展开式中，x2y7的系数为　20　．
【分析】把（x﹣y）8按照二项式定理展开，即可得到（x+y）（x﹣y）8的展开式中x7y2的系数．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）8＝（x+y）（•x8﹣•x7y+•x6•y2﹣…﹣•x•y7+•y8），
故（x+y）（x﹣y）8的展开式中x2y7的系数为＝+＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
15．（5分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为 　　．
【分析】根据题意求得基本事件总数为16个，其中A、B两位同学抽到同一本书的基本事件有4个，结合古典概型的概率计算公式即可．
【解答】解：每位同学从这4本书中随机抽取l本，基本事件总数为42＝16个，
其中A、B两位同学抽到同一本书，包含的基本事件有4个，
所以两位同学抽到同一本书的概率为P＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算，属于基础题．
16．（5分）设数列{an}满足a1＝1，a3＝3且an+2﹣2an+1+an＝2，则a4﹣a3＝　4　，数列{an}的通项an＝　n2﹣3n+3　．
【分析】直接由已知及数列递推式求解a2，a4的值，即可求得a4﹣a3；把已知数列递推式变形，可得数列{an+1﹣an}是以a2﹣a1＝0为首项，以2为公差的等差数列，再由累加法结合等差数列的前n项和求数列{an}的通项an．
【解答】解：由a1＝1，a3＝3且an+2﹣2an+1+an＝2，
得a3﹣2a2+a1＝2，即3﹣2a2+1＝2，即a2＝1，
当n＝2时，a4﹣2a3+a2＝2，即a4＝1+2×3＝7，
则a4﹣a3＝7﹣3＝4；
∵an+2﹣2an+1+an＝2，
∴an+2﹣an+1﹣（an+1﹣an）＝2，
可得数列{an+1﹣an}是以a2﹣a1＝0为首项，以2为公差的等差数列，
∴an+1﹣an＝0+2（n﹣1）＝2n﹣2．
∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1
＝2（n﹣1）﹣2+2（n﹣2）﹣2+...+2×1﹣2+1
＝．
故答案为：4；n2﹣3n+3．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，a2a4＝81．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1＝1，当n≥2时，，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由a2a4＝81，得到，再由S2＝a1+a2＝a1（1+q）＝4，求得q＝3，进而求得数列的通项公式；
（2）由，得到，求得，结合裂项相消法求和，即可求解．
【解答】解：（1）设数列{an}，公比为q，因为数列{an} 正项等比数列，所以q＞0，
因为，所以，
又由S2＝a1+a2＝a1（1+q）＝4，所以，即4q2﹣9q﹣9＝0，
解得q＝3或 （舍去），所以a1＝1，
所以数列{an}的通项公式．
（2）由，所以，
当n≥2时，可得，且b1＝1，
所以n≥2时，，
当n＝1时，T1＝a1＝1，适合，
所以．
【点评】本题考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB＝ccosA+acosC．
（1）求B；
（2）若a＝2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
（2）利用正弦定理求得∠BAC，∠C，由cos∠C＝列方程，即可求得CD，再结合BC的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵2bcosB＝ccosA+acosC，
∴由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（C+A）＝sinB，
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴，
∴．
（2）由（1）知，

∵a＝BC＝2，b＝，
∴由正弦定理可得，，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵AD⊥AC，
∴，，
∴，
∴．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
19．（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
购买金额（元）
[0，150）
[150，300）
[300，450）
[450，600）
[600，750）
[750，900]
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．

不少于600元
少于600元
合计
男

40

女
18


合计



（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．
附：参考公式和数据：．
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【分析】（1）根据已知条件填写2×2列联表，计算K2的值，由此作出判断；
（2）结合独立重复试验概率计算公式计算出分布列并求得数学期望．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：

不少于600元
少于600元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于600 元与性别有关．
（2）X的所有取值可能为650，700，750，800，且P＝＝，
，
，
，

所以X的分布列为
X
650
700
750
800
P




．
【点评】本题考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20．（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面质直的棱柱）ABC﹣A1B1C1内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在A1B1上，且A1D＝3DB1．若AC＝BC．
（1）求证：平面COD⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）先证CO⊥AB，再利用AA1⊥平面ABC，可证CO⊥AA1，可证CO⊥平面AA1BB1，从而证明结论；
（2）以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面COD的一个法向量为，再求得平面CBB1C1的法向量，利用向量法可求平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AC＝BC，
且AB是圆柱底面圆O的直径，即OA＝OB，CO⊥AB，
又由已知AA1⊥平面ABC，CO⊂平面ABC，CO⊥AA1，
且AB∩AA1＝A，CO⊥平面AA1BB1，
又CO⊂平面COD，所以平面COD⊥平面AA1BB1，
（2）解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱且AB是圆柱底面圆O的直径，
所以CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC＝BC＝4，则AB＝AA1＝4，所以C（0，0，0），A（4，0，0），O（2，2，0），D（1，3，4），
显然＝（4，0，0）是平面CBB1C1的一个法向量，
设平面COD的一个法向量为＝（x，y，z），
∵＝（2，2，0），＝（1，3，4），
由，
令z＝1，得x＝2，y＝﹣2，∴平面COD的一个法向量为＝（2，﹣2，1），
设平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝＝，
∴平面COD与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查空间面面垂直与二面角的求法，属中档题．
21．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，又点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作直线l的垂线，垂足为Q，试探究：|OQ|是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E的标准方程；
（2）对切线l分三种情况讨论，设出直线l的方程，根据直线l与椭圆相切可得出参数所满足的等量关系式，求出点Q的坐标，计算出|OQ的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知得解得，
因此，椭圆E的标准方程为+y2＝1．
（2）①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx+m，
联立直线l和椭圆E的方程得，
消去y并整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
因为直线l和椭圆E有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，
所以Δ＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，化简并整理，得m2＝2k2+1，
因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y＝﹣（x﹣1），
联立，解得，即点Q（，）
所以|OQ|2＝＝＝＝＝＝2，
所以|OQ|＝；
②当切线l的斜率为0时，直线l：y＝±1，过点M（1，0）作直线l的垂线为x＝1，
即此时Q（1，1）或Q（1，﹣1），|OQ|＝；
③当切线l的斜率不存在时，直线l：x＝±，过点M（ 1，0）作直线l的垂线为y＝0，
即此时Q（，0）或Q（﹣，0），则|OQ|＝．
综上所述，|OQ|＝恒为定值．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的综合以及定值问题的求解，考查方程思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，x∈（0，+∞）；g（x）＝x2﹣x+1，x∈R．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数f（x），g（x）的图象都相切．
【分析】（1）求出h（x） 的解析式，利用导数判断单调性，由单调性可得极值；
（2）设直线l分别切f（x），g（x）的图象于点，分别求出切线的方程，比较两个方程可得关于x1与x2的方程组，消去x2可得关于x1的方程，再构造对应的函数，利用导数判断单调性结合零点存在性定理即可求得函数有两个零点，即方程有两个根即可求证．
【解答】解：（1）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣x2+x﹣1的定义域为（0，+∞），
，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以x＝1是h（x）的极大值点，
故h（x）的极大值为h（1）＝﹣1，没有极小值；
（2）证明：设直线l分别切f（x），g（x）的图象于点，
由f（x）＝lnx可得，
所以直线l的方程为，
即直线l：，
由g（x）＝x2﹣x+1得g′（x）＝2x﹣1，
所以直线l的方程为，
即l：，
比较l的方程可得，
消去x2可得，
令，
所以，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，
当x＞1时，F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以F（x）min＝F（1）＝﹣1＜0，
因为，
所以F（x）在（1，+∞）上有一个零点，
由得，
故有且只有两条直线与函数f（x），g（x）的图象都相切．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程等问题，属于难题．
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