2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）

这是一份2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A，B均为R的子集，且A∩（∁RB）＝A，则下面选项中一定成立的是（　　）
A．A＝∁RB B．A∩B＝∅ C．B⊆A D．A∪B＝R
2．（5分）在复平面xOy内，满足（z﹣2）i＝1+i的复数z对应的点为Z，则||＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　　）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
4．（5分）在郑州市“高三第一次质量检测”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课．假设某位回归校园的同学的“高三第一次质量检测”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均分变大，方差不变 B．平均分变小，方差不变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
5．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝2，则S13的值为（　　）
A．26 B．39 C．56 D．117
7．（5分）在以OA为边、OB为对角线的菱形OABC中，＝（4，0），＝（6，a），则∠AOC＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则•的最小值是（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
10．（5分）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1]∪{2} B．{1}∪[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
11．（5分）已知点F为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点（点B在双曲线左支上），连接BF并延长交双曲线于点C，且BC＝3BF，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），则数列{an}第2022项为（　　）
A．21012﹣2 B．21012﹣3 C．21011﹣2 D．21011﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°．在直角边BC上任取一点M，使∠CAM＜30°的概率为　 　．
14．（5分）已知函数，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则＝　 　．
15．（5分）曲线y＝sinx﹣2cosx在点（π，2）处的切线方程是 　 　．
16．（5分）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；记an＝1+x1+x2+⋅⋅⋅+xk+2，若an＞2022成立，则n的最小值为 　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分
17．（12分）随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女



合计



（Ⅱ）按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取5人，若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中至少有一位是女生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为S，若．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．
19．（12分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，FA⊥底面ABCD，DE∥AF，M是BC的中点，且FA＝3DE＝3．
（Ⅰ）求证AM⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ACF的体积．

20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C上的点A（x0，y0）（x0y0≠0）的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，过原点O的直线m与l平行，且与C交于B，D两点，求△ABD面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝e•ex﹣+1，g（x）＝+2．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）≥g（x）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点Q（1，0），若射线l：与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．
[选修：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|．
（Ⅰ）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，求实数a的取值范围．

2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（文科）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知A，B均为R的子集，且A∩（∁RB）＝A，则下面选项中一定成立的是（　　）
A．A＝∁RB B．A∩B＝∅ C．B⊆A D．A∪B＝R
【分析】由已知结合集合的交集及集合包含关系的相互转化分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为A∩（∁RB）＝A，
所以A⊆∁RB，
则A∩B＝∅．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2．（5分）在复平面xOy内，满足（z﹣2）i＝1+i的复数z对应的点为Z，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：∵（z﹣2）i＝1+i，
∴，∴z＝3﹣i，
∴满足（z﹣2）i＝1+i的复数z对应的点为Z（3，﹣1），
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及向量模公式，属于基础题．
3．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　　）
A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．
∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0
故选：C．
【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．
4．（5分）在郑州市“高三第一次质量检测”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课．假设某位回归校园的同学的“高三第一次质量检测”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均分变大，方差不变 B．平均分变小，方差不变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
【解答】解：设原来n为同学成绩的平均数为，，
∵某位回归校园的同学的“高三第一次质量检测”数学成绩刚好是班级平均分，
∴新的平均数＝，新的方差为＝，
故平均分不变，方差较小．
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
5．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，
几何体的体积为：＝．
故选：D．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝2，则S13的值为（　　）
A．26 B．39 C．56 D．117
【分析】根据{an}是等差数列，利用S13＝（a1+a13）＝13a7进行求解即可．
【解答】解：由{an}是等差数列，得S13＝（a1+a13）＝×（2a7）＝13a7＝13×2＝26．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
7．（5分）在以OA为边、OB为对角线的菱形OABC中，＝（4，0），＝（6，a），则∠AOC＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出向量、的夹角即可．
【解答】解：以OA为边、OB为对角线的菱形OABC中，如图所示，

又因为＝（4，0），＝（6，a），
所以＝﹣＝（2，a），
且||＝||，42+02＝22+a2，解得a＝±2；
a＝2时，＝（2，2），•＝8，||＝||＝4，
计算cos＜，＞＝＝＝，
所以∠AOC＝，
同理，a＝﹣2时，求出∠AOC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的夹角计算问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
8．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出函数定义域，判断函数奇偶性，再根据函数值的变化，即可求出得到答案．
【解答】解：由x2+|x|﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝1，
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），
∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称，故排除A，
令f（x）＝0，解得x＝0，故排除C，
当x＝时，f（）＝＜0，故排除B，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．
9．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则•的最小值是（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
【分析】将向量作为基底，其他向量用基底表示，按照数量积的定义计算即可．
【解答】解：设，
＝﹣9λ（1﹣λ）+λ×2×3×cos60°＝3λ（3λ﹣2），
当时，3λ（3λ﹣2）取最小值﹣1；
故选：B．

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其计算，属于中档题．
10．（5分）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1]∪{2} B．{1}∪[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
【分析】画出函数y＝x﹣2与y＝x2﹣2x的图象，利用分段函数的单调性，判断m的范围即可．
【解答】解：函数y＝x﹣2与y＝x2﹣2x的图象如图：由图象可知m＝1时，函数是定义在R上的增函数，
当m≥2时，函数是定义在R上的增函数，
实数m的取值范围是{1}∪[2，+∞）．
故选：B．

【点评】本题考查分段函数的单调性的判断，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是中档题．
11．（5分）已知点F为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点（点B在双曲线左支上），连接BF并延长交双曲线于点C，且BC＝3BF，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设双曲线右焦点为F'，设|BF|＝|AF'|＝m，AFBF'为矩形，根据双曲线定义表示出|AF|、|CF'|，在△CFF'中根据余弦定理列出一个方程，在Rt△AFF'中，根据勾股定理列出另外一个方程，两个方程联立可求m，由此即可求出离心率．
【解答】解：如图，F'为双曲线右焦点，则根据对称性知AFBF'为矩形，

设|BF|＝|AF'|＝m，则|BF'|＝|AF|＝2a+m，|CF|＝2m，|CF'|＝2a+2m，
，
在△CFF'中，由余弦定理得，|CF'|2＝|CF|2+|FF'|2﹣2|CF|⋅|FF'|⋅cos∠CFF'，
即，即4（a+m）2﹣8m2＝4c2①，
在Rt△AFF'中，|AF|2+|AF'|2＝|FF'|2，即（2a+m）2+m2＝4c2②，
联立①②解得，，
代入②，，解得．
故选：B．

【点评】本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．
12．（5分）已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），则数列{an}第2022项为（　　）
A．21012﹣2 B．21012﹣3 C．21011﹣2 D．21011﹣1
【分析】由题意得a2n﹣a2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1+2n，利用累加法即可求得结论．
【解答】解：∵数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n﹣1+2n（n∈N*），a2n+1＝a2n+（﹣1）n（n∈N*），
∴a2n＝a2n﹣1+2n＝a2（n﹣1）+（﹣1）n﹣1+2n，
所以，a2n﹣a2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1+2n，
∴a4﹣a2＝（﹣1）1+22，
a6﹣a4＝（﹣1）2+23，
a8﹣a6＝（﹣1）3+23，
......．
a2022﹣a2020＝（﹣1）1010+21011，
将上述各式两边分别取和，
得a2022﹣a2＝﹣1+1﹣1+1+....+1+22+23+.......+21011＝，
所以，a2022＝a2+21012﹣4＝21012﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查等比数列的前n项和公式及学生的运算能力，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°．在直角边BC上任取一点M，使∠CAM＜30°的概率为　　．
【分析】欲求∠CAM＜30°的概率，先求出M点可能在的位置的长度，及BC的长度，再让两者相除即可．
【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，设BC长为1，
在BC上取点D，使∠CAD＝30°，则CD＝，
则若M点在线段CD上，满足条件．
∴使∠CAM＜30°的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率里的古典概型．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的．
14．（5分）已知函数，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则＝　1　．
【分析】结合三角函数的平移变换及周期变换先求出g（x）的解析式，进而可求．
【解答】解：由题意，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得y＝2cos[2（x+）﹣]＝2cos2x，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2cosx，
则g（）＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象变化换，属于基础题．
15．（5分）曲线y＝sinx﹣2cosx在点（π，2）处的切线方程是 　x+y﹣2﹣π＝0　．
【分析】求出曲线在x＝π处的导数值，得到切线的斜率，再求出切线方程即可．
【解答】解：因为y＝sinx﹣2cosx，所以y′＝cosx+2sinx，则当x＝π时，y′＝﹣1，
又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），
整理得x+y﹣2﹣π＝0，
故答案为：x+y﹣2﹣π＝0．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．
16．（5分）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2；记an＝1+x1+x2+⋅⋅⋅+xk+2，若an＞2022成立，则n的最小值为 　7　．
【分析】写出数列{an}的前几项，推得an＝3+31+32+33+…+3n，由等比数列的求和公式，解不等式可得所求最小值．
【解答】解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，
，…，an＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，
由an＞2022，即＞2022，
即3n＞1347，
由于n为正整数，可得n≥7，
则n的最小值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查数列的新构造和等比数列的求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分
17．（12分）随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女



合计



（Ⅱ）按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取5人，若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中至少有一位是女生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【分析】（I）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（II）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（I）由题意可得，2×2列联表：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
30
20
50
女
45
5
50
合计
75
25
100
∵＞10.828，
∴有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．
（II）由分层抽样抽到的男生人数为：（人），女生人数为5﹣2＝3（人），
记2名男生分别是a，b，3名女生分别是A，B，C，
则从中选出2人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个，
选出的2人至少有一位是女生的事件有9个，
故选出的2人中至少有一位是女生的概率P＝．
【点评】本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为S，若．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式、正余弦定理可得sinCcosA+sinAcosC＝2sinBcosC，结合和角正弦公式及三角形内角的性质即可求角C；
（Ⅱ）由三角形内角性质及和角正弦公式、辅助角公式可得，最后利用正弦函数的性质求范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题设，，
而，
所以ccosA＝（2b﹣a）cosC，又sinCcosA+sinAcosC＝2sinBcosC，
所以sin（A+C）＝2sinBcosC，又sin（A+C）＝sinB，且sinB≠0，
所以且C∈（0，π），
则；
（Ⅱ）由（Ⅰ），，
由，则，
所以，
故．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理和正弦函数的性质，属于中档题．
19．（12分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，FA⊥底面ABCD，DE∥AF，M是BC的中点，且FA＝3DE＝3．
（Ⅰ）求证AM⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ACF的体积．

【分析】（Ⅰ）根据条件证明AM⊥底面ADEF即可；
（Ⅱ）先求出点C到平面ADEF的距离，再根据VE﹣ACF＝VC﹣AEF解题即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，底面ABCD是边长为2的菱形，
∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，因为M是BC的中点，
所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD，
因为FA⊥底面ABCD，
AM⊂平面ABCD，故FA⊥AM，
因为FA⊂平面ADEF，
AD⊂平面ADEF，AM⊄平面ADEF，FA∩AD＝A，
所以AM⊥底面ADEF，
EF⊂平面ADEF，故AM⊥EF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AD∥BC，AM⊥底面ADEF，
则点C到平面ADEF的距离即AM，
又因为△ABC为边长为2等边三角形，
所以，
因为FA⊥底面ABCD，DE∥AF，所以ADEF为直角梯形，
所以，
所以．
即三棱锥E﹣ACF的体积为．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系，三棱锥体积的计算，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C上的点A（x0，y0）（x0y0≠0）的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，过原点O的直线m与l平行，且与C交于B，D两点，求△ABD面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）依题意可得b＝1，再利用离心率的变形公式可求得a，即得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）以A点坐标为参数表示出S△ABD的面积，再利用均值不等式求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得b＝1，又
所以a＝2
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）∵点A在椭圆上，∴，即
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），
则，
则．
，即，
∴直线l的斜率
∵BD∥l，
∴直线BD的方程为，即y0x+2x0y＝0．
联立，解得，∴，
∴，
又点A到直线BD的距离
，
∴，
又，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
∴
∴0＜S△ABD≤2．
∴△ABD面积的最大值为2．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，椭圆方程的求解等知识，属于中等题．
21．（12分）已知函数f（x）＝e•ex﹣+1，g（x）＝+2．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）≥g（x）．
【分析】（I）首先确定g（x）的定义域为（0，+∞），求导可得g′（x）＝，根据导数的应用，分x∈（0，e）时x∈（e，+∞），两种情况即可得解；
（Ⅱ）要证f（x）≥g（x）即证xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥0，令h（x）＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2，求导利用隐零点问题的解决方法求得h（x）min≥0即可．
【解答】解：（I）g（x）＝+2．定义域为（0，+∞），g′（x）＝，
则x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，
则x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在∈（e，+∞）上单调递减，
故函数g（x）的极大值为g（e）＝+2，无极小值，
（II）证明：要证f（x）≥g（x）等价证明xex+1﹣2≥lnx+x，
即证xex+1﹣lnx﹣x﹣2≥0，令h（x）＝xex+1﹣lnx﹣x﹣2，（x＞0），
h′（x）＝（x+1）ex+1﹣＝（x+1）（ex+1﹣），
令φ（x）＝ex+1﹣，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，而φ（）＝e﹣10＜e2﹣10＜0，φ（1）＝e2﹣1＞0，
故φ（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x0，且x0∈（，1），
x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在x∈（0，x0）上单调递减，
x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在x∈（x0，+∞）上单调递增，
故h（x）min＝h（x0）＝x0e﹣lnx0﹣x0﹣2，又因为φ（x0）＝0，即e＝，
∴h（x0）＝﹣lnx0﹣x0﹣1＝（x0+1）﹣x0﹣1＝0，从而h（x）≥h（x0）＝0，即f（x）≥g（x）．
【点评】本题考查了导数的应用，导函数f′（x）＞0则原函数f（x）为增函数，f′（x）＜0则原函数f（x）为减函数，同时考查了极值的概念，属难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设点Q（1，0），若射线l：与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△ABQ的面积．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（Ⅱ）利用点到直线的直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ），曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，
根据，转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ，
已知M是曲线C1上的动点，将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON，设点N的轨迹为曲线C2，
C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（2）由题意可以，，
所以．
又Q到射线l的距离为．
故△ABQ的面积为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|．
（Ⅰ）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）不等式等价于|x﹣a|≥|2x﹣1|，两边平方整理为3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2≤0，根据不等式与对应方程的关系求出a的值；
（Ⅱ）利用绝对值不等式求出f（x）+|x+2a|＞3|a|，由此求关于a的不等式解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥|2x﹣1|，即|x﹣a|≥|2x﹣1|，
两边平方整理得：3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2≤0，
由题意可知0和2是方程3x2+（2a﹣4）x+1﹣a2＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知，解得a＝﹣1．
（Ⅱ）因为f（x）+|x+2a|＞|x﹣a|+|x+2a|≥|（x﹣a）﹣（x+2a）|＝3|a|，
所以要使不等式f（x）+|x+2a|＞2a+3恒成立，只需3|a|＞2a+3，
当a≥0时，3a＞2a+3，解得a＞3，即a＞3．
当a＜0时，﹣3a＞2a+3，解得，即．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．
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