2022年上海实验学校高考数学二模试卷

这是一份2022年上海实验学校高考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了，则|z|＝　 　，不等式≤0的解集为　 　，的值域为，求值等内容，欢迎下载使用。

2022年上海实验学校高考数学二模试卷
一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝　 　．
2．（4分）不等式≤0的解集为　 　．
3．（4分）函数y＝f（x）的值域是[﹣1，1]，则函数y＝2f（x+1）的值域为　 　
4．（4分）求值：＝　 　
5．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为　 　．
6．（4分）若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值为　 　
7．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的反函数为f﹣1（x），若y＝f﹣1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互为相反数，则a的值为　 　
8．（5分）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　 　．
9．（5分）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　 　．
10．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，且（n+1）an+1﹣nan﹣3＝0，若对任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，则实数t的范围为　 　
11．（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线AG的切点，B是圆弧与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

12．（5分）已知、是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意的m、n∈R，的最小值为1，的最小值为2，则的最小值为 　 　．
二．选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的（　　）条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
14．（5分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
A．3n（sin+tan） B．6n（sin+tan）
C．3n（sin+tan） D．6n（sin+tan）
15．（5分）已知点P（x0，y0）是曲线C1上的动点，若抛物线C2：y2＝4x上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C2上，则A、B两点的纵坐标是以下方程的解（　　）
A．
B．
C．
D．
16．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
三．解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F﹣DE﹣C的大小为θ，求sinθ的值．

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．
（1）求sinC的值；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．

19．某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N+）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N+），已知1≤n≤m时，函数f（n）＝32﹣n．
（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；
（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？

20．设抛物线y2＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹；
（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0），求x0的取值范围；
（3）若直线l的斜率依次取p，p2，p3，…，pn，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，N3，…，Nn，…，当0＜p＜1时，
求：的值．
21．已知数列{an}（n∈N*）的首项a1＝1，前n项和为Sn．设λ和k为常数，若对一切正整数n，均有Sn+1﹣Sn＝λan+1成立，则称此数列为“λ﹣k”数列．
（1）若等差数列{an}是“λ﹣1”数列，求λ的值；
（2）若数列{an}是“﹣2”数列，且an＞0，求数列{an}的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an}为“λ﹣3”数列，且an≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

2022年上海实验学校高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝　　．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
【解答】解：∵z（1+i）＝2，
∴，
则|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
2．（4分）不等式≤0的解集为　（﹣，1]　．
【分析】由两数相除商为负数，得到两数异号，将原不等式转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，即可确定出原不等式的解集．
【解答】解：≤0，
可化为或，
解得：﹣＜x≤1，
则原不等式的解集为（﹣，1]．
故答案为：（﹣，1]
【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，其转化的依据为两数相除的取符合法则．
3．（4分）函数y＝f（x）的值域是[﹣1，1]，则函数y＝2f（x+1）的值域为　[﹣2，2]　
【分析】由已知函数值域求得2f（x+1）的范围得答案．
【解答】解：由函数y＝f（x）的值域是[﹣1，1]，
得﹣1≤f（x+1）≤1，
则﹣2≤2f（x+1）﹣1≤2，
∴函数y＝2f（x+1）的值域为[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题考查函数值域的求法，是基础题．
4．（4分）求值：＝　﹣1　
【分析】由题意利用二项式定理、二项式展开式的通项公式，求得要求式子的值．
【解答】解：＝（1﹣2）2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
5．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为　　．
【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，∴r＝1．
∴圆锥的高h＝．
∴圆锥的体积V＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．
6．（4分）若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值为　0　
【分析】根据集合元素的特征，求出集合A，B，即可求出交集中所有元素之积．
【解答】解：实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，
则，此时无解，
或，此时无解，
或，解得x＝0，y≠
或，解得x≠13，y＝0，
∴集合A∪B中所有元素之积的值为0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的反函数为f﹣1（x），若y＝f﹣1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互为相反数，则a的值为　　
【分析】（1）由y＝f （x）＝ax+2﹣1，求得x＝loga（y+1）﹣2，即可得f﹣1（x）再由f﹣1（0）+f'（1）＝0，解此关于a方程即可求得a值；
【解答】解：设y＝ax﹣1﹣2，解得x＝loga（y+2）+1．
则f﹣1（x）＝loga（x+2）+1，
由y＝f﹣1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互为相反数，
所以f﹣1（0）+f'（1）＝0，
即（loga2+1）+（loga3+1）＝0
解得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，属于基础题．
8．（5分）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　0.88　．
【分析】利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，
一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，
它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，
至少有一个公司不需要维护的概率为：
P＝1﹣0.4×0.3＝0.88．
故答案为：0.88．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　x＝﹣　．
【分析】利用三角函数的平移可得新函数g（x）＝f（x﹣），求g（x）的所有对称轴x＝+，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，
【解答】解：因为函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得
g（x）＝f（x﹣）＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣），
则y＝g（x）的对称轴为2x﹣＝+kπ，k∈Z，
即x＝+，k∈Z，
当k＝0时，x＝，
当k＝﹣1时，x＝，
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝，
故答案为：x＝，
【点评】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．
10．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，且（n+1）an+1﹣nan﹣3＝0，若对任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，则实数t的范围为　t≥2或t≤﹣2　
【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题的应用和函数的性质的应用求出参数的取值范围．
【解答】解：数列{an}满足：a1＝1，且（n+1）an+1﹣nan﹣3＝0，
则：（n+1）an+1﹣nan＝3，
所以：数列{nan}是以1a1＝1为首项．3为公差的等差数列．
所以：nan＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
故：，
由于对任意的a∈[﹣2，2]，不等式恒成立，
故：3≤2t2+at﹣1，
整理成2t2﹣4≤at，
由于：a∈[﹣2，2]，
f（a）＝2t2﹣4+at，
所以：，
解得：t≥2或t≤﹣2．
故答案为：t≥2或t≤﹣2
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
11．（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线AG的切点，B是圆弧与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 　　cm2．

【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、QD的长，利用tan∠ODC＝求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出△AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：
作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，
∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM＝AM＝7，
又∵EF＝12，MN＝DE＝2，
∴NG＝MF＝12﹣7＝5，AN＝AM﹣NM＝7﹣2＝5，
∴∠AGD＝45°，∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°，
由于AG是圆弧的切线，
∴AG⊥OA，∠AOH＝45°，
设大圆的半径为R，则AS＝OS＝，
OQ＝SN＝5﹣，DQ＝DN﹣QN＝7﹣，
∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2，
图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积，
所以S阴影＝×π×（2）2+×2×2﹣×π×1＝π+4．
故答案为：π+4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
12．（5分）已知、是不共线的两个向量，的最小值为，若对任意的m、n∈R，的最小值为1，的最小值为2，则的最小值为 　4　．
【分析】设的夹角为θ，则，则由的最小值为的最小值为2，可得，，可得，结合，可得到，，由即可得到答案．
【解答】解：设的夹角为θ，
因为的最小值为，则，
则由的最小值为的最小值为2，
可得，两式相乘可得，（*）
而，结合（*）可得，
解得，∴，
则，
故答案为：4．
【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的（　　）条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】利用方程没有实数根，求解p的范围，结合充要条件判断即可．
【解答】解：关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根，
可得p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2．
所以“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的必要不充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查实系数方程根的问题，韦达定理的应用，充要条件的判断，是基础题．
14．（5分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔•卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
A．3n（sin+tan） B．6n（sin+tan）
C．3n（sin+tan） D．6n（sin+tan）
【分析】设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．
【解答】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，
可得a＝2sin＝2sin，
b＝2tan＝2tan，
则2π≈＝6n（sin+tan），
即π≈3n（sin+tan），
故选：A．

【点评】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知点P（x0，y0）是曲线C1上的动点，若抛物线C2：y2＝4x上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C2上，则A、B两点的纵坐标是以下方程的解（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出A，B的坐标，用中点公式求出PA，PB的中点坐标后代入抛物线方程可得．
【解答】解：设A（，y1），B（，y2），
则PA的中点M（，），PB的中点N（，），
∴（）2＝4•，即y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0，
同理得y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0，
因此y1，y2是方程y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0的两根．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【分析】问题转化为f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，⇒y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，再分三种情况当k＝0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值范围．
【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，
则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，
即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，
当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：

两图象只有两个交点，不符合题意，
当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）
图象如图所示，

当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，
当x＝时，函数y＝﹣x的函数值为﹣，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当k＞0时，
y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）
在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，
即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，
即k＝x+在（，+∞）还有两个根，
函数y＝x+≥2，（当且仅当，即x＝时，取等号），
所以，且k＞2，
所以k＞2，

综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．
三．解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F﹣DE﹣C的大小为θ，求sinθ的值．

【分析】（1）由题意画出图形，连接OC，由已知可得CO⊥BD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线AB与DE所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）由BF＝BC，得，设F（x，y，z），由向量等式求得F（，，0），进一步求出平面DEF的一个法向量与平面DEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．
【解答】解：（1）如图，连接OC，∵CB＝CD，O为BD的中点，∴CO⊥BD．

以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵BD＝2，∴OB＝OD＝1，则OC＝．
∴B（1，0，0），A（0，0，2），C（0，2，0），D（﹣1，0，0），
∵E是AC的中点，∴E（0，1，1），
∴，．
设直线AB与DE所成角为α，
则cosα＝，
即直线AB与DE所成角的余弦值为；
（2）∵BF＝BC，∴，
设F（x，y，z），则（x﹣1，y，z）＝（，，0），∴F（，，0）．
∴，，．
设平面DEF的一个法向量为，
由，取x1＝﹣2，得；
设平面DEC的一个法向量为，
由，取x2＝﹣2，得．
∴|cosθ|＝＝．
∴sin．
【点评】本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．
（1）求sinC的值；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．

【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值；
（2）三角形的内角和为180°，cos∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cos∠DAC，进而求出tan∠DAC的值．
【解答】解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝，
由正弦定理可得＝，所以sinC＝•sin45°＝＝，
所以sinC＝；
（2）因为cos∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝，
在三角形ADC 中，易知C为锐角，由（1）可得cosC＝＝，
所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C＝，
因为∠DAC，所以cos∠DAC＝＝，
所以tan∠DAC＝＝．

【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
19．某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N+）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N+），已知1≤n≤m时，函数f（n）＝32﹣n．
（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；
（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？

【分析】（1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）＝kn+b，（n∈N*），利用f（16）＝40，f（30）＝68，求出参数，进而得到f （n）的表达式；
（2）利用1≤n≤m时，函数f（n）＝32﹣n；当m≤n≤30时，f（n）＝2n+8，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前m天此型号空调的销售总量；
（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+≥570，求出x，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）＝kn+b，（n∈N*）
∵f（16）＝40，f（30）＝68，
∴，∴k＝2，b＝8，
∴f（n）＝2n+8（m≤n≤30），
（2）∵1≤n≤m时，函数f（n）＝32﹣n；当m≤n≤30时，f（n）＝2n+8，
∴32﹣m＝2m+8，∴m＝8．
∴该店前m天此型号空调的销售总量＝220台；
（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+≥570，
∴x2+9x﹣386≥0，∴x≥18，
∴设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销．
【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．
20．设抛物线y2＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹；
（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0），求x0的取值范围；
（3）若直线l的斜率依次取p，p2，p3，…，pn，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，N3，…，Nn，…，当0＜p＜1时，
求：的值．
【分析】（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y2＝4px，利用韦达定理求解AB的中点为P（x，y），求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧．
（2）设AB的中点为P'（x'，y'），求出线段AB的垂直平分线的方程，然后求解x0＞3p．
（3）求出AB中点的横坐标，求出点Nn的横坐标，通过数列为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．
【解答】解：（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y2＝4px，
得：k2x2+（2pk2﹣4p）x+k2p2＝0，……………（1分）
由k≠0且Δ＞0得到：0＜k2＜1．……（1分）
设AB的中点为P（x，y），则，……（1分）
消去k得，y2＝2p（x+p）（x＞p）．……（1分）
实际轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧．……（1分）
（2）设AB的中点为P'（x'，y'），……（1分）
则线段AB的垂直平分线的方程为：．……（1分）
令y＝0，得，……（2分）
由x'＞p，得x0＞3p．……（1分）
（3）∵x0＝2p+x'，由（1）知AB中点的横坐标，∴．……（1分）
则当k＝pn时，点Nn的横坐标，……（1分）
同理Nn+1的横坐标，∴，……（1分）
．……（1分）
∴数列为一无穷递缩等比数列，所有项的和为．……（2分）
【点评】本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，考查发现问题解决问题的能力．
21．已知数列{an}（n∈N*）的首项a1＝1，前n项和为Sn．设λ和k为常数，若对一切正整数n，均有Sn+1﹣Sn＝λan+1成立，则称此数列为“λ﹣k”数列．
（1）若等差数列{an}是“λ﹣1”数列，求λ的值；
（2）若数列{an}是“﹣2”数列，且an＞0，求数列{an}的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an}为“λ﹣3”数列，且an≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由“λ﹣1”数列可得k＝1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；
（2）运用“﹣2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；
（3）若存在三个不同的数列{an}为“λ﹣3”数列，则Sn+1﹣Sn＝λan+1，由两边立方，结合数列的递推式，以及t的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．
【解答】解：（1）k＝1时，an+1＝Sn+1﹣Sn＝λan+1，由n为任意正整数，且a1＝1，an≠0，可得λ＝1；
（2）﹣＝，则an+1＝Sn+1﹣Sn＝（﹣）•（+）＝•（+），
因此+＝•，即＝，Sn+1＝an+1＝（Sn+1﹣Sn），
从而Sn+1＝4Sn，又S1＝a1＝1，可得Sn＝4n﹣1，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝3•4n﹣2，n≥2，
综上可得an＝，n∈N*；
（3）若存在三个不同的数列{an}为“λ﹣3”数列，
则Sn+1﹣Sn＝λan+1，
则Sn+1﹣3Sn+1Sn+3Sn+1Sn﹣Sn＝λ3an+1＝λ3（Sn+1﹣Sn），
由a1＝1，an≥0，且Sn＞0，令pn＝（）＞0，
则（1﹣λ3）pn3﹣3pn2+3pn﹣（1﹣λ3）＝0，
λ＝1时，pn＝pn2，
由pn＞0，可得pn＝1，则Sn+1＝Sn，
即an+1＝0，
此时{an}唯一，不存在三个不同的数列{an}，
λ≠1时，令t＝，则pn3﹣tpn2+tpn﹣1＝0，则（pn﹣1）[pn2+（1﹣t）pn+1]＝0，
①t≤1时，pn2+（1﹣t）pn+1＞0，则pn＝1，同上分析不存在三个不同的数列{an}；
②1＜t＜3时，Δ＝（1﹣t）2﹣4＜0，pn2+（1﹣t）pn+1＝0无解，
则pn＝1，同上分析不存在三个不同的数列{an}；
③t＝3时，（pn﹣1）3＝0，则pn＝1，同上分析不存在三个不同的数列{an}．
④t＞3时，即0＜λ＜1时，Δ＝（1﹣t）2﹣4＞0，pn2+（1﹣t）pn+1＝0有两解α，β，
设α＜β，α+β＝t﹣1＞2，αβ＝1＞0，则0＜α＜1＜β，
则对任意n∈N*，＝1或＝α3（舍去）或＝β3，
由于数列{Sn}从任何一项求其后一项均有两种不同的结果，
所以这样的数列{Sn}有无数多个，则对应的数列{an}有无数多个．
则存在三个不同的数列{an}为“λ﹣3”数列，且an≥0，
综上可得0＜λ＜1．
【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．
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