2022年上海市青浦区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市青浦区高考数学二模试卷，共19页。

2022年上海市青浦区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．（4分）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则|z|＝　 　．
2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝[1，+∞），则集合A∩B＝　 　．
3．（4分）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为 　 　．
4．（4分）已知函数y＝f（x）的反函数为y＝2x，则f（3）＝　 　．
5．（4分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 　 　．
6．（4分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为 　 　．
7．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣7n，且满足16＜ak+ak+1＜22，则正整数k＝　 　．
8．（5分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为　 　cm3．

9．（5分）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 　 　.（结果用最简分数表示）
10．（5分）若命题：“存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）＜0成立”是假命题，则实数k的取值范围是 　 　．
11．（5分）已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，若bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，10，则公比q的取值范围是 　 　．
12．（5分）已知集合，其中1∉A且s+＜t，函数f（x）＝，且对任意a∈A，都有f（a）∈A，则t的值是 　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）“log2（x+1）＜0”成立的一个必要而不充分条件是（　　）
A． B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0
14．（5分）定义曲线Γ：为椭圆C：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线Γ有对称轴，②曲线Γ有对称中心，③曲线Γ与椭圆C有公共点．其中正确的结论个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
16．（5分）设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a338＝2022，且存在正整数k，使a1，a338，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值的个数为（　　）
A．1 B．4 C．5 D．无穷多
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧的中点．
（1）求该圆柱的表面积和体积；
（2）求异面直线BE与AD所成角的大小．

18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
19．（14分）治理垃圾是改善环境的重要举措．A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）．
（1）写出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数n（n∈N*）的表达式；
（2）设An为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列{An}为递减数列．
20．（16分）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．
（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；
（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；
（3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．

21．（18分）设函数f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定义集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．
（1）若p＝q＝0，写出相应的集合Df和Ef；
（2）若集合Df＝{0}，求出所有满足条件的p，q；
（3）若集合Ef只含有一个元素，求证：p≥0，q≥0．

2022年上海市青浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．（4分）已知i为虚数单位，复数z＝i（1+3i），则|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝i（1+3i）＝﹣3+i，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝[1，+∞），则集合A∩B＝　[1，2）　．
【分析】直接利用交集运算的概念得答案．
【解答】解：∵A＝（﹣1，2），B＝[1，+∞），
∴A∩B＝（﹣1，2）∩[1，+∞）＝[1，2）．
故答案为：[1，2）．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
3．（4分）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为 　﹣2　．
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，可得结论．
【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣1，2），∴tanα＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（4分）已知函数y＝f（x）的反函数为y＝2x，则f（3）＝　log23　．
【分析】根据反函数的定义求出f（x）的解析式，求出f（3）的值即可．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的反函数为y＝2x，
∴f（x）＝log2x，
∴f（3）＝log23，
故答案为：log23．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．
5．（4分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 　3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，1），
由z＝x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+2×1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（4分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为 　5　．
【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案．
【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝﹣1，即x+1＝0．
分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，
则有|AB|＝|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝10．
过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，
则MN为直角梯形ABDC中位线，
则|MN|＝（|AC|+|BD|）＝5，即M到准线x＝﹣1的距离为5．
故答案为：5．

【点评】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．
7．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣7n，且满足16＜ak+ak+1＜22，则正整数k＝　8　．
【分析】由于a1＝s1＝﹣6，当 n≥2时，an＝Sn﹣sn﹣1＝2n﹣8，故，an＝2n﹣8，ak+ak+1＝4k﹣14，由16＜4k﹣14＜22 求得正整数k 的值．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣7n，∴a1＝s1＝﹣6，当 n≥2时，an＝Sn﹣sn﹣1＝2n﹣8，
综上，an＝2n﹣8．∴ak+ak+1＝4k﹣14，∴16＜4k﹣14＜22，
∴＜k＜9，故 正整数k＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，得到 ak+ak+1＝4k﹣14，是解题的关键．
8．（5分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为　48　cm3．

【分析】根据图形，在等腰△PAB中算出高PE＝5，再由勾股定理得出四棱锥的高PO＝4，最后根据锥体体积公式，算出四棱锥P﹣ABCD的体积，即为该容器的容积．
【解答】解：等腰△PAB中，AB＝x＝6，高PE＝5
∴四棱锥的高PO＝＝＝4
由此可得，四棱锥P﹣ABCD的体积为V＝×S正方形ABCD×PO＝×62×4＝48
即得该容器的容积为48cm3
故答案为：48

【点评】本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．
9．（5分）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 　　.（结果用最简分数表示）
【分析】根据分组分配方法及分步计数原理求解即可．
【解答】解：四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务共有34＝81种情况，
要求三个核酸检测点都有志愿者到位，则4人选出2人一组，另两人各一人一组，有＝6种分组方法，再将3组分配到3个检测点，有＝6种分配方法，故共有36种情况．
所以，三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题和分步计数原理，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
10．（5分）若命题：“存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）＜0成立”是假命题，则实数k的取值范围是 　{k|≤k≤}　．
【分析】由题意求出原命题的否定为真命题，分类讨论可得k的取值范围．
【解答】解：命题：“存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）＜0成立”是假命题，
则等价命题为：“对任意的整数x使不等式（kx﹣k2﹣1）（x﹣2）≥0成立”是真命题，
当k＝0时，则﹣（x﹣2）≥0，即x＜2，不是恒成立，故不合题意；
当k＞0时且k≠1时，原不等式化简为，
所以，所以k＞0且k≠1，则不等式的解集{x|x≥k+或x≤2}，要使在整数集上恒成立，只需2＜k+≤3，
可得k2﹣3k+1≤0，解得≤k≤，
当k＝1时，不等式为（x﹣2）2≥0显然成立，
当k＜0，则k+＜﹣2，所以不等式的解集为{x|k+≤x≤2}，显然不是恒成立，所以舍去，
综上所述，k的取值范围为：{k|≤k≤}．
故答案为：{k|≤k≤}．
【点评】本题考查存在量词的否定的写法及分类讨论思想的应用，属于中档题．
11．（5分）已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，若bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，10，则公比q的取值范围是 　（2，）　．
【分析】根据ak＜bk+1，求出q＞2，由bk＜ak，结合指数运算可得（）k﹣1＜2，利用指数函数单调性求出[（）k﹣1]max，由此能求出公比q的取值范围．
【解答】解：k＝1，2，…，10，
∵ak＜bk+1，∴2k＜qk，∴q＞2，
∵bk＜ak，∴2k＞qk﹣1，∴（）k﹣1＜2，
∵q＞2，∴，∴（）9＜2，∴q＜，
∴2．
∴公比q的取值范围为（2，）．
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列、指数函数的运算法则、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）已知集合，其中1∉A且s+＜t，函数f（x）＝，且对任意a∈A，都有f（a）∈A，则t的值是 　或3　．
【分析】先判断区间[t，t+1]与x＝1的关系为t＞1，再分析s+＜1时，定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得s与t，确定定义域与值域的关系，能求出t的值．
【解答】解：先判断区间[t，t+1]与x＝1的关系，
∵1∉A，∴t+1＜1或t＞1，
∵当t+1＜1，即t＜0时，由题意当t∈A时，，不成立，故t＞1；
再分析区间[s，s+]与x＝1的关系，
∵1∉A，∴s+＜1或s＞1，
①当s+，即s＜时，∵f（x）＝在区间[s，s+]上为减函数，
∴当x∈[s，s+]，f（x）∈[，]，
∵，t＞1，∴[，]⊆[s，s+]，∴，
∵s＜，∴，∴，∴6s，解得s＝，
∵s，∴s＝，
此时区间[s，s+]在x＝1左侧，[t，t+1]在x＝1右侧，
∴当x∈[t，t+1]时，f（x）＝[]，
∵，∴[]⊆[t，t+1]，
∴，此时，∴t2﹣t﹣1＝0，
解得t＝，∵t＞1，∴t＝，
②当s＞1时，f（x）＝1+在区间x∈[s，s+]∪[t，t+1]上单调递减，
∴f（x）∈[1+，1+]∪[1+，1+]，
∴且，
且，∴，
∴＝，∴t2﹣t﹣6＝0，
∵t＞1，∴t＝3．
综上，t的值为或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查函数的定义域与值域的关系、函数的单调性、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）“log2（x+1）＜0”成立的一个必要而不充分条件是（　　）
A． B．x＞0 C．﹣1＜x＜0 D．x＜0
【分析】先求解log2（x+1）＜0，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可．
【解答】解：由log2（x+1）＜0，有0＜x+1＜1，解得﹣1＜x＜0，故“log2（x+1）＜0，”成立的一个必要而不充分条件是“x＜0”．故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．
14．（5分）定义曲线Γ：为椭圆C：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线Γ有对称轴，②曲线Γ有对称中心，③曲线Γ与椭圆C有公共点．其中正确的结论个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】曲线上取点（x，y），利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用x的范围可以判断出③，从而得出结论．
【解答】解：曲线上取点（x，y），则该点关于x轴对称的点（x，﹣y）也在曲线Γ，故曲线Γ关于x轴对称，
同理可证曲线Γ关于y轴对称，则该点关于原点对称点（﹣x，﹣y）也在曲线Γ，故曲线Γ关于原点对称，故①②正确；
曲线，则|x|＞a，而椭圆中，|x|≤a，故曲线Γ与椭圆C无公共点，③错误；
综上，正确的有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【分析】由题意，﹣sin（x+）≤1，求得b﹣a的最小值和最大值，可得结论．
【解答】解：∴函数f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+）的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，
即﹣≤sin（x+）≤1，
∴2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z．
当b﹣a最小时，a+＝2kπ﹣，b+＝2kπ+，k∈Z，此时b﹣a＝．
当b﹣a最大时，a+＝2kπ﹣，b+＝2kπ+，k∈Z，此时b﹣a＝．
∴b﹣a的取值范围是[，]，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
16．（5分）设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a338＝2022，且存在正整数k，使a1，a338，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值的个数为（　　）
A．1 B．4 C．5 D．无穷多
【分析】由已知可得，分析可知d∈N，则a1是337的倍数，且a1≤6×337，由已知，对a1的取值进行分类讨论，求出d的值，并求出对应的k的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意可知，a338＝a1+337d＝2022，化简可得，
因为{an}各项均为正整数，则d∈N，故a1是337的倍数，且a1≤6×337，
因为a1、a338，ak成等比数列，则，分以下情况讨论：
（1）若a1＝337，则1+d＝6，可得d＝5，ak＝337+5（k﹣1）＝36×337，解得k＝2360，合乎题意；
（2）若a1＝2×337，则2+d＝6，可得d＝4，ak＝2×337+4（k﹣1）＝18×337，解得k＝1349，合乎题意；
（3）若a1＝3×337，则3+d＝6，可得d＝3，ak＝3×337+3（k﹣1）＝12×337，解得k＝1012，合乎题意；
（4）若a1＝4×337，则4+d＝6，可得d＝2，ak＝4×337+2（k﹣1）＝9×337，解得，不合乎题意；
（5）若a1＝6×337，则6+d＝6，可得d＝0，此时，{an}是常数列，且每项均为2022，合乎题意．
综上所述，公差d的所有可能取值的个数为5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出，然后对a1的取值进行分类讨论，验证d的值是否满足题意，即可得解，属于中档题．
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧的中点．
（1）求该圆柱的表面积和体积；
（2）求异面直线BE与AD所成角的大小．

【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式能求出该圆柱的表面积和体积．
（2）根据AD∥BC，得到∠EBC或其补角是直线BE与AD所成角，取弧的中点F，连接EC、EF、BF，求出BE＝EC＝，由此能求出异面直线BE与AD所成角的大小．
【解答】解：（1）由已知可得圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
∴该圆柱的表面积为：
S＝S侧+S底＝2πrh+2πr2＝6π，
该圆柱的体积为：
V＝S底h＝πr2h＝2π．
（2）∵AD∥BC，∴∠EBC是异面直线BE与AD所成角（或所成角的补角），
取弧的中点F，连接EC、EF、BF，

BE＝EC＝＝＝，
在△EBC中，cos∠EBC＝＝，
∴，
∴异面直线BE与AD所成角的大小为arccos．
【点评】本题考查圆柱的表面积和体积、异面直线所成角、圆柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC＝sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A．
（2）由（1）所求A及S＝bcsinA可求bc，然后由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c的值．
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c＝0，
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
∴sinAcosC+sinAsinC＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC＝sinAcosC+sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴sinA﹣cosA＝1，
∴sin（A﹣30°）＝，
∴A﹣30°＝30°，
∴A＝60°．
（2）由S＝bcsinA＝，可得bc＝4，
由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，
即4＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，
∴b+c＝4，
解得：b＝c＝2．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于中档题．
19．（14分）治理垃圾是改善环境的重要举措．A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）．
（1）写出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数n（n∈N*）的表达式；
（2）设An为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列{An}为递减数列．
【分析】（1）根据题意可知从2020年开始的连续5年，焚烧垃圾量成等差数列，从第6年开始，成等比数列，根据等差等比的基本量即求，
（2）根据年平均值的表达式，可得，然后根据Sn，an的关系即可得到，结合等差等比的单调性，即可得到数列{An}的单调性．
【解答】解：（1）设治理n年后，A地每年的需要焚烧垃圾量构成数列{an}，
当n≤5时，{an}是首项为a1＝200﹣20＝180，公差为﹣20的等差数列，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝180﹣20（n﹣1）＝200﹣20n；
当n≥5时，数列{an}是以a5为首项，公比为的等比数列，所以，
所以，治理n年后，A地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为，
证明：（2）Sn为数列{an}的前n项和，则．
由于
＝
由（1）知，1≤n≤5时，an＝200﹣20n，所以{an}为递减数列，
n≥6时，，所以{an}为递减数列，
且a6＜a5，所以{an}为递减数列，
于是an+1﹣a1＜0，an+1﹣a2＜0，⋯，an+1﹣an＜0，因此An+1﹣An＜0，所以数列{An}为递减数列．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
20．（16分）已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．
（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；
（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；
（3）若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．

【分析】（1）令x＝1，求出y＝±即可．
（2）设直线l：x＝my+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出△ABO的面积即可．
（3）分类讨论直线l，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出M的坐标，再利用重心的性质求出C的坐标，代入椭圆即可求解．
【解答】解：（1）∵F（1，0），令x＝1，则+＝1，∴y＝±，∴|AB|＝3．
（2）设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得，则（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则Δ＝144（m2+1），y1+y2＝，y1•y2＝，
∴|y1﹣y2|＝＝，
∴S△AOB＝|OF|•|y1﹣y2|＝×，
令＝t，t≥1，则S△AOB＝＝，
∵y＝3t+在[1，+∞）上为增函数，
∴S△AOB＝＝≤＝，当且仅当t＝1，即m＝0时取等号，
∴△AOB面积的最大值为．
（3）当直线l不与x轴重合时，
设直线l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M，
联立得，则（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
Δ＝144（m2+1），y1+y2＝，y1•y2＝，
∵△ABC的重心G在y轴上，
∴x1+x2+xC＝0，
∴xC＝﹣（x1+x2）＝﹣m（y1+y2）﹣2＝，
xM＝＝＝，
yM＝＝，
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，
∴直线CM：y﹣yM＝﹣m（x﹣xM），∴yC＝yM﹣m（xC﹣xM）＝，
∴C（，），代入椭圆得，m2（3m2﹣1）＝0，
∴m＝0或m＝±，
∴直线l：x＝1或x＝±y+1，
当直线l与x轴重合时，C点在椭圆的上，下顶点，满足题意，此时l：y＝0，
综上，直线l：x＝1或y＝0或x＝±y+1．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题．
21．（18分）设函数f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定义集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．
（1）若p＝q＝0，写出相应的集合Df和Ef；
（2）若集合Df＝{0}，求出所有满足条件的p，q；
（3）若集合Ef只含有一个元素，求证：p≥0，q≥0．
【分析】（1）由x4＝x、x4＝0解得x，可得Df，Ef；
（2）由f（f（x））﹣x＝0得x2+（p+1）x+p+q+1＝0或x2+（p﹣1）x+q＝0，然后由Δ1＝（p+1）2﹣4（p+q+1），Δ2＝（p﹣1）2﹣4q＞Δ1，方程f（f（x））﹣x＝0只有一个实数解0，得Δ2＝0，Δ1＜0，转化为x2+（p﹣1）x+q＝0有唯一实数解0，可得答案；
（3）由条件，f（f（x））＝0有唯一解，得f（x）＝0有解，分f（x）＝0有唯一解x0、f（x）＝0有两个解x1，x2 （x1＜x2），则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且两个方程f（x）＝x1，f（x）＝x2总共只有一个解，结合f（x）图像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，结合f（x）的图像和实数解的个数可得答案．
【解答】解：f（x）＝x2，f（f（x））＝x4，由x4＝x解得x＝0或x＝1，
由x4＝0解得x＝0，所以Df＝{0，1}，Ef＝{0}．
（2）由f（f（x））﹣x＝f（f（x））﹣f（x）+f（x）﹣x
＝f2 （x）+pf（x）﹣x2﹣px+f（x）﹣x＝（f（x）+x+p+1）（f（x）﹣x）
＝（x2+（p+1）x+p+q+1）（x2+（p﹣1）x+q）＝0，
得x2+（p+1）x+p+q+1＝0或x2+（p﹣1）x+q＝0，
Δ1＝（p+1）2﹣4（p+q+1）＝（p﹣1）2﹣4q﹣4，
Δ2＝（p﹣1）2﹣4q＝（p﹣1）2﹣4q＞Δ1，
而方程f（f（x））﹣x＝0只有一个实数解0，
所以Δ2＝0，Δ1＜0，即只需x2+（p﹣1）x+q＝0有唯一实数解0，所以p＝1，q＝0．
（3）由条件，f（f（x））＝0有唯一解，所以f（x）＝0有解，
①若f（x）＝0有唯一解x0，则f（x）＝（x﹣x0）2，且f（x）＝x0有唯一解，
结合f（x）图像可知x0＝0，所以f（x）＝x2，所以p＝q＝0．
②若f（x）＝0有两个解x1，x2 （x1＜x2），则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且两个方程f（x）＝x1，f（x）＝x2总共只有一个解，结合f（x）图像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，
则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且两个方程f（x）＝x1，f（x）＝x2总共只有一个解，
结合f（x）图像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，所以q＝x1x2＞0，且f（x）的对称轴x＝﹣＜0，
所以p＞0，所以p＞0，q＞0．
综上，p≥0，q≥0．
【点评】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力．
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